- Oprindelse af rektangulære koordinater
- Det kartesiske fly
- Afstand mellem to punkter
- Analytisk udtryk af en linje
- eksempler
- Eksempel 1
- Eksempel 2
- Løst øvelser
- Øvelse 1
- Øvelse 2
- Referencer
De rektangulære koordinater eller kartesiske er dem, der opnås på den ortogonalt fremspringende de tre kartesiske akser X, Y, Z, et punkt beliggende i tredimensionelt rum.
Kartesiske akser er gensidigt orienterede linjer vinkelret på hinanden. I det kartesiske koordinatsystem tildeles hvert punkt i rummet tre reelle tal, som er dets rektangulære koordinater.
Figur 1. Rektangulære koordinater for punkt P (Egen uddybning)
Et plan er et underrum i tredimensionelt rum. I tilfælde af at man overvejer punkter på et plan, er det nok at vælge et par vinkelrette akser X, Y som kartesisk system. Derefter tildeles hvert punkt på planet to reelle tal, som er dets rektangulære koordinater.
Oprindelse af rektangulære koordinater
Rektangulære koordinater blev oprindeligt foreslået af den franske matematiker René Descartes (1596 og 1650), hvorfor de kaldes Cartesian.
Med denne idé om Descartes tildeles punkterne i planet og rummet tal, så de geometriske figurer har en algebraisk ligning tilknyttet, og de klassiske geometriske teoremer kan bevises algebraisk. Med de kartesiske koordinater fødes analytisk geometri.
Det kartesiske fly
Hvis der i et plan vælges to vinkelrette linjer, der krydser hinanden ved et punkt O; og hvis der ud over hver linje er tildelt en retning og en numerisk skala mellem successive ækvidistante punkter, så er der et kartesisk system eller plan, hvor hvert punkt i planet er knyttet til et ordnet par af to reelle tal, der er deres fremspring henholdsvis på X- og Y-akserne.
Punktene A = (3, 2); B = (- 2, 3); C = (- 2, -3) og D = (3, -3) er repræsenteret i det kartesiske plan som vist nedenfor:
Figur 2. Punkter i det kartesiske plan. (Egen uddybning)
Bemærk, at de to akser X og Y opdeler planet i fire sektorer kaldet kvadranter. Punkt A er i den første kvadrant, B er i den anden kvadrant, C er i den tredje kvadrant, og punkt D er i den fjerde kvadrant.
Afstand mellem to punkter
Afstanden mellem to punkter A og B på det kartesiske plan er længden på det segment, der forbinder dem. Denne afstand kan beregnes analytisk som følger:
d (A, B) = √ (Bx - Ax) ^ 2 + (By - Ay) ^ 2)
Ovenstående formel opnås ved anvendelse af Pythagorean sætning.
Anvendelse af denne formel på punkter A, B i figur 2 har vi:
d (A, B) = √ (-2 - 3) ^ 2 + (3 - 2) ^ 2) = √ (-5) ^ 2 + 1 ^ 2) = √ (26)
Det vil sige d (A, B) = 5,10 enheder. Bemærk, at afstanden blev opnået uden behov for at måle med en lineal, en fuldstændig algebraisk procedure er blevet fulgt.
Analytisk udtryk af en linje
Rektangulære koordinater tillader analytisk repræsentation af grundlæggende geometriske objekter såsom punktet og linjen. To punkter A og B definerer en enkelt linje. Linjens hældning er defineret som kvoten mellem forskellen mellem Y-koordinaterne i punkt B minus A divideret med forskellen mellem X-koordinaterne for punkt B minus A:
hældning = (By - Ay) / (Bx - Ax)
Ethvert punkt P af koordinater (x, y), der hører til linjen (AB), skal have den samme hældning:
hældning = (y - Ay) / (x - Ax)
Ligningen, der opnås gennem lighed på skråningerne, er den analytiske eller algebraiske repræsentation af linjen, der passerer gennem punkterne A og B:
(y - Ay) / (x - Ax) = (By - Ay) / (Bx - Ax).
Hvis vi for A og B tager de rektangulære koordinater i figur 2, har vi:
(y - 2) / (x - 3) = (3 - 2) / (- 2 - 3)
(y - 2) / (x - 3) = -⅕
I dette særlige tilfælde har vi en linje med en negativ hældning -⅕, hvilket betyder, at ved at placere på et punkt på linjen og øge x-koordinaten med en enhed, falder y-koordinaten med 0,2 enheder.
Den mest almindelige måde at skrive ligningen på linjen i planet er med y-koordinaten ryddet som en funktion af variablen x:
y = - (1/5) x + 13/5
eksempler
Eksempel 1
Opnå ved hjælp af analysemetoder afstanden mellem punkterne C og A, der er de rektangulære koordinater af C = (-2, -3) og afstanden til A = (3,2).
Formlen for den euklidiske afstand mellem disse to punkter er skrevet sådan:
d (A, C) = √ ((Cx - Ax) ^ 2 + (Cy - Ay) ^ 2)
Ved at erstatte deres tilsvarende rektangulære koordinater har vi:
d (A, C) = √ (-2 - 3) ^ 2 + (-3 - 2) ^ 2) = √ (-5) ^ 2 + (-5) ^ 2) = 5√2 = 7,07
Eksempel 2
Få ligningen af linjen, der passerer gennem punkt C for koordinater (-2, -3) og punkt P for koordinater (2, 0).
Først opnås hældningen af linjen CP:
hældning = (0 - (- 3)) / (2 - (-2)) = ¾
Ethvert punkt Q i generiske rektangulære koordinater (x, y), der hører til linjen CP, skal have den samme hældning:
hældning = (y - (- 3)) / (x - (-2)) = (y +3) / (x +2)
Med andre ord er ligningen på linjen CP:
(y +3) / (x +2) = ¾
En alternativ måde at skrive ligningen på linjen CP er at løse for y:
y = ¾ x - 3/2
Løst øvelser
Øvelse 1
Få de rektangulære koordinater for skæringspunktet mellem linjerne y = - (1/5) x + 13/5 og linjen y = ¾ x - 3/2.
Løsning: Pr. Definition deler skæringspunktet mellem de to linjer de samme rektangulære koordinater. Derfor er y-koordinaterne i skæringspunktet identiske for begge linjer:
- (1/5) x + 13/5 = ¾ x - 3/2
hvilket fører til følgende udtryk:
(¾ + ⅕) x = 13/5 +3/2
at løse summen af brøk vi får:
19/20 x = 41/10
Løsning for x:
x = 82/19 = 4,32
For at opnå krydsets y-værdi erstattes den opnåede x-værdi i en af linjerne:
y = ¾ 4,32 - 3/2 = 1,74
Dette betyder, at de givne linjer skærer hinanden ved punktet I af koordinaterne I = (4.32, 1.74).
Øvelse 2
Få ligningen af omkredsen, der passerer gennem punktet R for rektangulære koordinater (3, 4), og som har sit centrum ved koordinaternes oprindelse.
Løsning: Radius R er afstanden fra punkt R til oprindelsen O af koordinater (0, 0).
d (R, O) = √ ((Rx - 0) ^ 2 + (Ry - 0) ^ 2) = √ ((3 - 0) ^ 2 + (4 - 0) ^ 2) = √ (3 ^ 2 + 4 ^ 2) = √ (9 + 16) = √ (25) = 5
Det vil sige, det er en cirkel med radius 5 centreret ved (0,0).
Ethvert punkt P (x, y) på omkredsen skal have den samme afstand 5 fra midten (0, 0), så det kan skrives:
d (P, O) = √ ((x - 0) ^ 2 + (y - 0) ^ 2) = √ (x ^ 2 + y ^ 2) = 5
Det vil sige:
√ (x ^ 2 + y ^ 2) = 5
For at fjerne kvadratroten er begge medlemmer af ligestillingen kvadratisk, hvilket får:
x ^ 2 + y ^ 2 = 25
Hvad er ligningen af omkredsen.
Dette eksempel illustrerer kraften i det rektangulære koordinatsystem, som gør det muligt at bestemme geometriske objekter, såsom omkredsen, uden at det er nødvendigt at bruge papir, blyant og kompas. Den anmodede omkreds er bestemt alene ved algebraiske metoder.
Referencer
- Arfken G og Weber H. (2012). Matematiske metoder til fysikere. En omfattende guide. 7. udgave. Academic Press. ISBN 978-0-12-384654-9
- Beregning cc. Løst problemer med rektangulære koordinater. Gendannes fra: calculo.cc
- Weisstein, Eric W. "Cartesianske koordinater." Fra MathWorld-A Wolfram Web. Gendannes fra: mathworld.wolfram.com
- wikipedia. Kartesisk koordinatsystem. Gendannet fra: en.wikipedia.com