DERIVAT AF COTANGENT: BEREGNING, BEVIS, ØVELSER - MATEMATIK - 2024

Den afledte af cotangens er lig med det modsatte af kvadratet på cosecans "-Csc ² ". Denne formel adlyder afledte love pr. Definition og differentiering af trigonometriske funktioner. Det betegnes som følger:

d (ctg u) = -csc ² u. du

Hvor "du" symboliserer udtrykket fra argumentfunktionen med hensyn til den uafhængige variabel.

Kilde: Pixabay.com

Hvordan beregnes det?

Proceduren for at udvikle disse derivater er ganske enkel. Det er nok bare at identificere argumentet korrekt og typen af ​​funktion, det repræsenterer.

For eksempel har udtrykket Ctg (f / g) en opdeling i sit argument. Dette vil kræve en differentiering med hensyn til U / V, efter at der er udviklet derivatet af cotangenten.

Cotangenten er gensidens mellem tangenten. Algebraisk betyder det, at:

(1 / tg x) = ctg x

Ctg x = Cos x / Sen x

Det er ukorrekt at sige, at cotangentfunktionen er "invers" af tangenten. Dette skyldes, at den inverse tangentfunktion pr. Definition er buetangens.

(Tg ^-1 x) = arctg x

I henhold til Pythagorean trigonometri er cotangenten involveret i de følgende sektioner:

Ctg x = (cos x) / (sin x)

Ctg ² x + 1 = Csc ² x

I henhold til analytisk trigonometri svarer den til følgende identiteter:

Ctg (a + b) = (1 - tg a. Tg b) / (tg a + tg b)

Ctg (a - b) = (1 + tg a. Tg b) / (tg a - tg b)

Ctg (2a) = (1 - tg ² a) / (2tg a)

Karakteristika for cotangentfunktionen

Det er nødvendigt at analysere forskellige egenskaber ved funktionen f (x) = ctg x for at definere de nødvendige aspekter for at undersøge dens differentierbarhed og anvendelse.

Lodrette asymptoter

Cotangent-funktionen er ikke defineret på de værdier, der gør udtrykket "Senx" nul. På grund af dets ækvivalente Ctg x = (cos x) / (sin x), vil det have en ubestemmelse i alle “nπ” med n tilhørende heltalene.

Det vil sige, at i hver af disse værdier af x = nπ vil der være en lodret asymptot. Når du nærmer dig fra venstre, falder værdien af ​​cotangenten hurtigt, og når du nærmer dig fra højre, vil funktionen stige på ubestemt tid.

Domæne

Domænet for cotangentfunktionen udtrykkes med sættet {x ∈ R / x ≠ nπ, n ∈ Z}. Dette læses som "x, der hører til sættet med reelle tal, således at x er forskellig fra nπ, hvor n hører til sæt med heltal".

Rang

Området for cotangentfunktionen er fra minus til plus uendelig. Derfor kan det konkluderes, at dens rang er sættet med reelle tal R.

Frekvens

Cotangent-funktionen er periodisk, og dens periode er lig med π. På denne måde er ligheden Ctg x = Ctg (x + nπ) opfyldt, hvor n hører til Z.

Opførsel

Det er en underlig funktion, da Ctg (-x) = - Ctg x. På denne måde vides det, at funktionen præsenterer en symmetri med hensyn til koordinatens oprindelse. Det præsenterer også et fald i hvert interval mellem 2 på hinanden følgende vertikale asymptoter.

Det har ikke maksimale eller minimumsværdier, fordi dens tilnærmelser til de lodrette asymptoter viser opførsel, hvor funktionen øges eller formindskes på ubestemt tid.

Nullerne eller rødderne til cotangentfunktionen findes ved ulige multipla af π / 2. Dette betyder, at Ctg x = 0 gælder for værdier i formen x = nπ / 2 med et ulige heltal.

Demonstration

Der er 2 måder at bevise derivatet af cotangentfunktionen.

Trigonometrisk differentielt bevis

Derivatet af cotangentfunktionen fra dets ækvivalent i sines og cosinus er beviset.

Det behandles som et derivat af en funktionsdeling

Efter afledningen er faktorerne grupperet, og målet er at efterligne de Pythagoreiske identiteter

At udskifte identiteterne og anvende gensidighed, udtrykket

Bevis ved definition af derivat

Det følgende udtryk svarer til det derivat pr. Definition. Hvor afstanden mellem 2 punkter i funktionen nærmer sig nul.

I stedet for den cotangent, vi har:

Identiteter anvendes til summen af ​​argumenter og gensidighed

Fraktionen af ​​tælleren betjenes traditionelt

Vi fjerner de modsatte elementer og tager en fælles faktor

Anvendelse af Pythagoreiske identiteter og gensidighed skal vi

Elementerne evalueret i x er konstante med hensyn til grænsen, derfor kan de forlade argumentet om dette. Derefter anvendes egenskaber ved trigonometriske grænser.

Grænsen evalueres

Derefter indregnes det, indtil den ønskede værdi er nået

Derivatet af cotangenten demonstreres således som det modsatte af kosecantens firkant.

Løst øvelser

Øvelse 1

Baseret på funktionen f (x) skal du definere udtrykket f '(x)

Den tilsvarende afledning anvendes under overholdelse af kædereglen

Udlede argumentet

Nogle gange er det nødvendigt at anvende gensidig eller trigonometrisk identitet for at tilpasse løsningen.

Øvelse 2

Definér det differentielle udtryk, der svarer til F (x)

I henhold til afledningsformlen og respekt for kædereglen

Argumentet er afledt, mens resten forbliver det samme

At udlede alle elementerne

Arbejder på en traditionel måde produkterne af samme base

De lige elementer tilføjes, og den fælles faktor udvindes

Skilte forenkles og betjenes. At give vej til det fuldt afledte udtryk

Referencer

1. Trigonometrisk serie, bind 1. A. Zygmund. Cambridge University Press, 2002
2. Beregning af en enkelt variabel. Ron Larson, Bruce H. Edwards. Cengage Learning, 10. nov 2008
3. Beregning med trigonometri og analytisk geometri. John H. Saxon, John Saxon, Frank Wang, Diana Harvey. Saxon forlag, 1988
4. Multivariabel analyse. Satish Shirali, Harkrishan Lal Vasudeva. Springer Science & Business Media, 13. december. 2010
5. Systemdynamik: modellering, simulering og styring af mekatroniske systemer. Dean C. Karnopp, Donald L. Margolis, Ronald C. Rosenberg. John Wiley & Sons, 7. mar 2012
6. Calculus: Matematik og modellering. William Bauldry, Joseph R. Fiedler, Frank R. Giordano, Ed Lodi, Rick Vitray. Addison Wesley Longman, 1. jan 1999