Den logaritmiske funktion er et matematisk forhold, der forbinder hvert positivt reelt tal x med dens logaritme y på basis a. Denne relation opfylder kravene for at være en funktion: hvert element x, der hører til domænet, har et unikt billede.
Dermed:
Da logaritmen, der er baseret på et tal x, er det antal y, hvortil basen a skal hæves for at opnå x.
-Basisens logaritme er altid 1. Grafen for f (x) = log a x skærer altid x-aksen ved punktet (1,0)
-Den logaritmiske funktion er transcendent og kan ikke udtrykkes som et polynom eller som en kvotient af disse. Ud over logaritmen inkluderer denne gruppe de trigonometriske funktioner og den eksponentielle blandt andre.
eksempler
Den logaritmiske funktion kan etableres ved forskellige baser, men de mest anvendte er 10 og e, hvor e er Euler-tallet lig med 2,71828….
Når base 10 bruges, kaldes logaritmen en decimal logaritme, almindelig logaritme, Briggs 'eller bare almindelig logaritme.
Og hvis tallet e bruges, kaldes det en naturlig logaritme efter John Napier, den skotske matematiker, der opdagede logaritmer.
Notationen, der bruges til hver enkelt, er følgende:
-Decimal logaritme: log 10 x = log x
-Neperian logaritme: ln x
Når en anden base skal bruges, er det absolut nødvendigt at angive det som et underskrift, fordi logaritmen for hvert nummer er forskellig afhængigt af den base, der skal bruges. Hvis det f.eks. Er logaritmer i base 2, skal du skrive:
y = log 2 x
Lad os se på logaritmen for tallet 10 i tre forskellige baser for at illustrere dette punkt:
log 10 = 1
ln 10 = 2.30259
log 2 10 = 3.32193
Almindelige regnemaskiner medbringer kun decimallogaritmer (logfunktion) og naturlig logaritme (ln-funktion). På Internettet findes der regnemaskiner med andre baser. Under alle omstændigheder kan læseren med sin hjælp verificere, at de tidligere værdier er tilfredse:
10 1 = 10
e 2.3026 = 10.0001
2 3,32193 = 10,0000
Små decimalforskelle skyldes antallet af decimaler, der er taget i beregningen af logaritmen.
Fordelene ved logaritmer
Blandt fordelene ved at bruge logaritmer er den lethed, de giver til at arbejde med stort antal, ved at bruge deres logaritme i stedet for antallet direkte.
Dette er muligt, fordi logaritmefunktionen vokser langsommere, når tallene bliver større, som vi kan se på grafen.
Så selv med meget store antal er deres logaritmer meget mindre, og det er altid lettere at manipulere små numre.
Derudover har logaritmer følgende egenskaber:
- Produkt: log (ab) = log a + log b
- Kvotient: log (a / b) = log a - log b
- Power: log a b = b.log a
Og på denne måde bliver produkterne og kvoterne tilføjelser og subtraktioner af mindre antal, mens empowerment bliver et simpelt produkt, selvom kraften er stor.
Derfor giver logaritmer os mulighed for at udtrykke tal, der varierer i meget store værdiområder, såsom lydstyrken, pH-værdien i en opløsning, stjernenes lysstyrke, den elektriske modstand og intensiteten af jordskælv i Richters skala.
Figur 2. Logaritmer bruges i Richters skala til at kvantificere størrelsen af jordskælv. Billedet viser en sammenbrudt bygning i Concepción, Chile, under jordskælvet i 2010. Kilde: Wikimedia Commons.
Lad os se et eksempel på håndtering af logaritmernes egenskaber:
Eksempel
Find værdien af x i følgende udtryk:
Svar
Vi har her en logaritmisk ligning, da det ukendte er i logaritmens argument. Det løses ved at efterlade en enkelt logaritme på hver side af ligestillingen.
Vi starter med at placere alle udtryk, der indeholder "x" til venstre for ligheden, og dem, der kun indeholder tal til højre:
log (5x + 1) - log (2x-1) = 1
Til venstre har vi subtraktion af to logaritmer, der kan skrives som en kvotients logaritme:
log = 1
Til højre er imidlertid nummeret 1, som vi kan udtrykke som log 10, som vi så tidligere. Så:
log = log 10
For at lighed skal være sand, skal logaritmenes argumenter være lige:
(5x + 1) / (2x-1) = 10
5x + 1 = 10 (2x - 1)
5x + 1 = 20 x - 10
-15 x = -11
x = 11/15
Ansøgningsøvelse: Richter-skalaen
I 1957 skete der et jordskælv i Mexico, hvis styrke var 7,7 i Richters skala. I 1960 skete der et andet jordskælv med større styrke i Chile på 9,5.
Beregn, hvor mange gange jordskælvet i Chile var mere intens end det i Mexico, vel vidende, at størrelsen M R på Richters skala er givet ved formlen:
M R = log (10 4 I)
Løsning
Størrelsen på et jordskælv på Richters skala er en logaritmisk funktion. Vi vil beregne intensiteten af hvert jordskælv, da vi har Richter-størrelserne. Lad os gøre det trin for trin:
- Mexico: 7,7 = log (10 4 I)
Da den inverse af logaritmefunktionen er den eksponentielle, anvender vi dette på begge sider af ligestillingen med den hensigt at løse for I, som findes i logaritmens argument.
Da de er decimallogaritmer, er basen 10. Derefter:
10 7,7 = 10 4 I
Intensiteten af jordskælvet i Mexico var:
I M = 10 7,7 / 10 4 = 10 3,7
- Chile: 9,5 = log (10 4 I)
Den samme procedure fører os til intensiteten af det chilenske I Ch jordskælv:
I Ch = 10 9,5 / 10 4 = 10 5,5
Nu kan vi sammenligne begge intensiteter:
I Ch / I M = 10 5,5 / 10 3,7 = 10 1,8 = 63,1
I Ch = 63,1. I M
Jordskælvet i Chile var omkring 63 gange mere intenst end det i Mexico. Da størrelsen er logaritmisk, vokser den langsommere end intensiteten, så en forskel på 1 i størrelsesordenen betyder en 10 gange større amplitude af den seismiske bølge.
Forskellen mellem størrelsen af begge jordskælv er 1,8, derfor kunne vi forvente en forskel i intensiteter tættere på 100 end til 10, som det faktisk skete.
Faktisk, hvis forskellen havde været nøjagtigt 2, ville det chilenske jordskælv have været 100 gange mere intens end det mexicanske.
Referencer
- Carena, M. 2019. Pre-University Mathematics Manual. National Litoral University.
- Figuera, J. 2000. Matematik 1.. Diversificeret år. CO-BO-udgaver.
- Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
- Larson, R. 2010. Beregning af en variabel. 9th. Edition. McGraw Hill.
- Stewart, J. 2006. Precalculus: Mathematics for Calculus. 5.. Edition. Cengage Learning.