BOOLSK ALGEBRA: HISTORIE, SÆTNINGER OG POSTULATER, EKSEMPLER - MATEMATIK - 2024

Den boolske algebra eller den boolske algebra er algebraisk notation, der bruges til behandling af binære variabler. Det dækker studierne af enhver variabel, der kun har 2 mulige resultater, komplementære og gensidigt eksklusive. For eksempel er variabler, hvis eneste mulighed er sand eller falske, korrekte eller forkerte, tændt eller slukket grundlaget for studiet af boolsk algebra.

Boolsk algebra udgør grundlaget for digital elektronik, hvilket gør den ret til stede i dag. Det styres af begrebet logiske porte, hvor kendte operationer i traditionel algebra især påvirkes.

Kilde: pexels.com

Historie

Boolsk algebra blev introduceret i 1854 af den engelske matematiker George Boole (1815 - 1864), som var en selvlært lærd på den tid. Hans bekymring stammede fra en eksisterende konflikt mellem Augustus De Morgan og William Hamilton om parametrene, der definerer dette logiske system.

George Boole hævdede, at definitionen af ​​de numeriske værdier 0 og 1 svarer inden for logikfeltet henholdsvis tolkningen Nothing og Universe.

George Boole havde til hensigt at definere udtryk for propositionslogik, der er nødvendig for at håndtere variabler af binær type gennem algebraegenskaber.

I 1854 blev de mest betydningsfulde sektioner af den boolske algebra offentliggjort i bogen "En undersøgelse af tankelovene, som de matematiske teorier om logik og sandsynlighed bygger på."

Denne nysgerrige titel blev sammenfattet senere som "Tænkets love" ("Tænkets love"). Titlen steg til berømmelse på grund af den øjeblikkelige opmærksomhed, den fik fra datidens matematiske samfund.

I 1948 anvendte Claude Shannon det på designet af bistabile elektriske switching kredsløb. Dette fungerede som en introduktion til anvendelsen af ​​boolsk algebra inden for hele det elektronisk-digitale skema.

Struktur

De elementære værdier i denne type algebra er 0 og 1, som svarer til henholdsvis FALSE og TRUE. De grundlæggende operationer i den boolske algebra er 3:

- OG betjening eller kombination. Repræsenteret af en periode (.). Produktets synonym.

- ELLER betjening eller adskillelse. Repræsenteret ved et kryds (+). Synonym for summen.

- IKKE betjening eller negation. Repræsenteret af præfikset NOT (NOT A). Det er også kendt som et supplement.

Hvis der i et sæt A 2 love med intern sammensætning er defineret betegnet som produkt og sum (. +), Siges tripplen (A. +) at være en boolsk algebra, og kun hvis nævnte tredobbelt opfylder betingelsen om at være et gitter distributive.

For at definere et distribuerende gitter skal fordelingsbetingelserne være opfyldt mellem de givne operationer:

. er fordelende med hensyn til summen + a. (b + c) = (a. b) + (a. c)

+ distribuerer med hensyn til produktet. a + (b. c) = (a + b). (a + c)

Elementerne, der udgør sæt A, skal være binære og således have universelle eller ugyldige værdier.

Applikationer

Dets vigtigste applikationsscenarie er den digitale gren, hvor den tjener til at strukturere de kredsløb, der udgør de involverede logiske operationer. Kunsten med kredsløb enkelhed til fordel for optimering af processer er resultatet af korrekt anvendelse og praksis af boolsk algebra.

Fra udarbejdelsen af ​​elektriske paneler, der passerer gennem transmission af data, til ankomsten til programmering på forskellige sprog, kan vi ofte finde boolsk algebra i alle slags digitale applikationer.

Booleske variabler er meget almindelige i strukturen for programmering. Afhængigt af det anvendte programmeringssprog vil der være strukturelle operationer i koden, der bruger disse variabler. Betingelserne og argumenterne for hvert sprog indrømmer boolske variabler til at definere processerne.

postulater

Der er teoremer, der styrer de strukturelle logiske love i boolsk algebra. På samme måde er der postulater for at kende de mulige resultater i forskellige kombinationer af binære variabler, afhængigt af den udførte operation.

Sum (+)

OR- operatøren, hvis logiske element er unionen (U) er defineret for binære variabler som følger:

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 1

Produkt (.)

Den AND- operator, hvis logiske element er skæringspunktet (∩), defineres for binære variabler som følger:

0. 0 = 0

0. 1 = 0

en. 0 = 0

en. 1 = 1

Modsat (IKKE)

Den IKKE- operatør, hvis logiske element er komplementet (X) 'er defineret for binære variabler som følger:

IKKE 0 = 1

IKKE 1 = 0

Mange af postulaterne adskiller sig fra deres modparter i konventionel algebra. Dette skyldes domænet for variablerne. For eksempel kan tilføjelsen af ​​universelementer i boolsk algebra (1 + 1) ikke give det konventionelle resultat af 2, fordi det ikke hører til elementerne i det binære sæt.

teoremer

Reglen for nul og enhed

Enhver simpel operation, der involverer et element med de binære variabler, er defineret:

0 + A = A

1 + A = 1

0. A = 0

en. A = A

Lige kræfter eller idempotens

Funktioner mellem samme variabler defineres som:

A + A = A

TIL. A = A

Komplementeringsanalyse

Enhver operation mellem en variabel og dens komplement er defineret som:

A + IKKE A = 1

TIL. IKKE A = 0

Involution eller dobbelt negation

Enhver dobbelt negation betragtes som den naturlige variabel.

NOT (NOT A) = A

kommutativ

A + B = B + A; Summenes kommutativitet.

TIL. B = B. TIL; Produktets kommutativitet.

associative

A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C; Associativitet af summen.

TIL. (B.C) = (A. B). C = A. B. C; Produktassociativitet.

distributiv

A + (B. C) = (A + B). (A + C); Fordeling af summen i forhold til produktet.

TIL. (B + C) = (A. B) + (A + C); Produktets distribution i forhold til summen.

Absorptionslove

Der er mange absorptionslove blandt flere referencer, nogle af de bedst kendte er:

TIL. (A + B) = A

TIL. (IKKE A + B) = A. B

IKKE A (A + B) = IKKE A. B

(A + B). (A + IKKE B) = A

A + A. B = A

A + IKKE A. B = A + B

IKKE A + A. B = IKKE A + B

TIL. B + A. IKKE B = A

Morgan's sætning

Det er transformationslove, der håndterer par af variabler, der interagerer mellem de definerede operationer i boolsk algebra (+.).

NOT (A. B) = IKKE A + NOT B

IKKE (A + B) = IKKE A. IKKE B

A + B = IKKE (IKKE A + IKKE B)

TIL. B = IKKE (IKKE A. IKKE B)

dualitet

Alle postulater og teoremer besidder dualitetens fakultet. Dette indebærer, at ved at udveksle variabler og operationer, er det resulterende forslag verificeret. Det vil sige, når man bytter 0 for 1 og AND for OR eller vice versa; der oprettes et udtryk, der også vil være fuldstændigt gyldigt.

For eksempel hvis postulatet er taget

en. 0 = 0

Og dualitet anvendes

0 + 1 = 1

Et andet perfekt gyldigt postulat opnås.

Karnaugh kort

Karnaugh-kortet er et diagram, der bruges i den boolske algebra for at forenkle logiske funktioner. Det består af et todimensionalt arrangement, der ligner sandhedstabellerne i propositionslogik. Dataene fra sandhedstabellerne kan indfanges direkte på Karnaugh-kortet.

Karnaugh-kortet kan rumme op til 6 variabler. For funktioner med et større antal variabler anbefales brug af software for at forenkle processen.

Det blev foreslået i 1953 af Maurice Karnaugh og blev etableret som et fast værktøj inden for boolsk algebra, fordi dens implementering synkroniserer det menneskelige potentiale med behovet for at forenkle de boolske udtryk, et vigtigt aspekt i de digitale processers fluiditet.

eksempler

Boolsk algebra bruges til at reducere logiske porte i et kredsløb, hvor prioriteringen er at bringe kredsløbet kompleksitet eller niveau til dets lavest mulige udtryk. Dette skyldes den beregningsforsinkelse, som hver gate antager.

I det følgende eksempel vil vi observere forenkling af et logisk udtryk til dets minimale udtryk ved hjælp af sætninger og postulater af boolsk algebra.

IKKE (AB + A + B). IKKE (A + IKKE B)

IKKE. IKKE (A + IKKE B); Factoring A med en fælles faktor.

IKKE. IKKE (A + IKKE B); Ved sætning A + 1 = 1.

IKKE (A + B). IKKE (A + IKKE B); af sætning A. 1 = A

(IKKE A. IKKE B).;

Ved Morgan's sætning NOT (A + B) = IKKE A. IKKE B

(IKKE A. IKKE B). (IKKE A. B); Ved dobbelt negationsteorem NOT (NOT A) = A

IKKE A. IKKE B. IKKE A. B; Algebraisk gruppering.

IKKE A. IKKE A. IKKE B. B; Produkt A. Produktets kommutativitet B = B. TIL

IKKE A. IKKE B. B; Af sætning A. A = A

IKKE A. 0; Af sætning A. IKKE A = 0

0; Af sætning A. 0 = 0

TIL. B. C + IKKE A + A. IKKE B. C

TIL. C. (B + IKKE B) + IKKE A; Factoring (A. C) med en fælles faktor.

TIL. C. (1) + IKKE A; Ved sætning A + NOT A = 1

TIL. C + IKKE A; Efter regel om nul-sætning og enhed 1. A = A

IKKE A + C; I henhold til Morgan A + NOT A. B = A + B

For denne løsning skal Morgan's lov udvides til at definere:

IKKE (IKKE A). C + IKKE A = IKKE A + C

Fordi IKKE (IKKE A) = A ved involvering.

Forenkle logikfunktionen

IKKE A. IKKE B. IKKE C + IKKE A. IKKE B. C + IKKE A. IKKE C ned til dets minimale udtryk

IKKE A. IKKE B. (IKKE C + C) + IKKE A. IKKE C; Factoring (IKKE A. IKKE B) med fælles faktor

IKKE A. IKKE B. (1) + IKKE A. IKKE C; Ved sætning A + NOT A = 1

(IKKE A. IKKE B) + (IKKE A. IKKE C); Efter regel om nul-sætning og enhed 1. A = A

IKKE A (IKKE B + IKKE C); Factoring IKKE A med en fælles faktor

IKKE A. IKKE (B. C); Ved Morgan love NOT (A. B) = NOT A + NOT B

IKKE I følge Morgan's love NOT (A. B) = NOT A + NOT B

Enhver af de 4 muligheder med fed skrift repræsenterer en mulig løsning til at reducere niveauet for kredsløbet

Forenkle den logiske funktion til dens enkleste form

(A. IKKE B. C + A. IKKE B. B. D + IKKE A. IKKE B). C

(A. IKKE B. C + A. 0. D + IKKE A. IKKE B). C; Af sætning A. IKKE A = 0

(A. IKKE B. C + 0 + IKKE A. IKKE B). C; Af sætning A. 0 = 0

(A. IKKE B. C + IKKE A. IKKE B). C; Ved sætning A + 0 = A

TIL. IKKE B. C. C + IKKE A. IKKE B. C; Ved distribution af produktet med hensyn til summen

TIL. IKKE B. C + IKKE A. IKKE B. C; Af sætning A. A = A

IKKE B. C (A + IKKE A) ; Factoring (IKKE B. C) med fælles faktor

IKKE B. C (1); Ved sætning A + NOT A = 1

IKKE B. C; Efter regel om nul-sætning og enhed 1. A = A

Referencer

1. Boolsk algebra og dens anvendelser J. Eldon Whitesitt. Continental Publishing Company, 1980.
2. Matematik og ingeniørvidenskab i datalogi. Christopher J. Van Wyk. Institut for Computer Sciences and Technology. National Bureau of Standards. Washington, DC 20234
3. Matematik til datalogi. Eric Lehman. Google Inc.

   F Thomson Leighton Institut for matematik og datalogi og AI-laboratorium, Massachussetts Institute of Technology; Akamai Technologies.

4. Elementer af abstrakt analyse. Mícheál O'Searcoid PhD. Institut for matematik. University college Dublin, Beldfield, Dublind.
5. Introduktion til logik og metodikken for deduktive videnskaber. Alfred Tarski, New York Oxford. Oxford University presse.