VECTORALGEBRA: GRUNDLÆGGENDE ELEMENTER, STØRRELSER, VEKTORER - MATEMATIK

Den vektor algebra er en gren af matematikken, der systemer af lineære ligninger, vektorer, matricer, vektorrum og lineære transformationer. Det er relateret til områder som engineering, løsning af differentialligninger, funktionel analyse, driftsundersøgelser, computergrafik, blandt andre.

Et andet område, som lineær algebra har anvendt, er fysik, da det gennem dette har været muligt at udvikle studiet af fysiske fænomener ved at beskrive dem ved hjælp af vektorer. Dette har gjort det muligt for en bedre forståelse af universet.

Fundamentals

Vectoralgebra stammede fra undersøgelsen af kvaternioner (udvidelse af reelle tal) 1, i, j og k, såvel som fra den kartesiske geometri, der blev fremmet af Gibbs og Heaviside, som indså, at vektorer ville tjene som et instrument til repræsenterer forskellige fysiske fænomener.

Vectoralgebra studeres gennem tre grundlæggende:

geometrisk

Vektorer er repræsenteret af linjer, der har en retning, og operationer såsom tilføjelse, subtraktion og multiplikation med reelle tal defineres ved hjælp af geometriske metoder.

analytisk

Beskrivelsen af vektorer og deres operationer udføres med tal, kaldet komponenter. Denne type beskrivelse er resultatet af en geometrisk repræsentation, fordi der anvendes et koordinatsystem.

aksiomatisk

En beskrivelse af vektorerne er lavet, uanset koordinatsystemet eller enhver form for geometrisk repræsentation.

Undersøgelsen af figurer i rummet foregår gennem deres repræsentation i et referencesystem, der kan være i en eller flere dimensioner. Blandt de vigtigste systemer er:

- Endimensionelt system, som er en lige linje, hvor et punkt (O) repræsenterer oprindelsen, og et andet punkt (P) bestemmer skalaen (længden) og dens retning:

- Rektangulært koordinatsystem (to-dimensionelt), der er sammensat af to vinkelrette linjer kaldet x-aksen og y-aksen, der passerer gennem et punkt (O) oprindelse; på denne måde er flyet opdelt i fire regioner kaldet kvadranter. I dette tilfælde gives et punkt (P) i planet af de afstande, der findes mellem akserne og P.

- Polært koordinatsystem (to-dimensionelt). I dette tilfælde er systemet sammensat af et punkt O (oprindelse), der kaldes polen og en stråle med oprindelse i O kaldet polaraksen. I dette tilfælde er planet P's punkt, med henvisning til polen og den polære akse, angivet med vinklen (Ɵ), som er dannet af afstanden mellem oprindelsen og punktet P.

- Rektangulært tredimensionelt system, dannet af tre vinkelrette linjer (x, y, z), hvis oprindelse er et punkt O i rummet. Der dannes tre koordinatplan: xy, xz og yz; rummet vil blive opdelt i otte regioner, der kaldes oktanter. Henvisningen til et punkt P i rummet er givet af de afstand, der findes mellem flyene og P.

størrelser

En størrelse er en fysisk mængde, der kan tælles eller måles gennem en numerisk værdi, som i tilfælde af nogle fysiske fænomener; dog er det ofte nødvendigt at kunne beskrive disse fænomener med andre faktorer end numeriske. Derfor klassificeres størrelserne i to typer:

Skalarstørrelse

Det er de mængder, der er defineret og repræsenteret numerisk; det vil sige ved et modul sammen med en måleenhed. For eksempel:

a) Tid: 5 sekunder.

b) Masse: 10 kg.

c) Volumen: 40 ml.

d) Temperatur: 40 ºC.

Vector størrelse

Det er de mængder, der er defineret og repræsenteret af et modul sammen med en enhed, såvel som af en sans og retning. For eksempel:

a) Hastighed: (5ȋ - 3ĵ) m / s.

b) Acceleration: 13 m / s ²; S 45º E.

c) Kraft: 280 N, 120º.

d) Vægt: -40 ĵ kg-f.

Vektormængder er grafisk repræsenteret af vektorer.

Hvad er vektorer?

Vektorer er grafiske repræsentationer af en vektormængde; det vil sige, de er linjesegmenter, hvor deres endelige ende er spidsen af en pil.

Disse bestemmes af dets modul eller længde af segmentet, dets retning, der er angivet ved spidsen af dens pil og dens retning i henhold til den linje, det tilhører. Oprindelsen af en vektor er også kendt som anvendelsesstedet.

Elementerne i en vektor er som følger:

Modul

Det er afstanden fra oprindelsen til slutningen af en vektor repræsenteret af et reelt tal sammen med en enhed. For eksempel:

-OM- = -A- = A = 6 cm

Adresse

Det er målet for den vinkel, der findes mellem x-aksen (fra den positive) og vektoren, såvel som kardinalpunkterne (nord, syd, øst og vest) bruges.

Følelse

Det er givet ved pilespidsen, der er placeret i slutningen af vektoren, og angiver, hvor den skal hen.

Klassificering af vektorer

Generelt klassificeres vektorer som:

Fast vektor

Det er et, hvis anvendelsessted (oprindelse) er fast; det vil sige, det forbliver knyttet til et punkt i rummet, så det kan ikke bevæge sig i det.

Gratis vektor

Den kan bevæge sig frit i rummet, fordi dens oprindelse bevæger sig til ethvert punkt uden at ændre dets modul, retning eller retning.

Glider vektor

Det er en, der kan overføre sin oprindelse langs sin handlingslinje uden at ændre dens modul, retning eller retning.

Egenskaber ved vektorer

Blandt de vigtigste egenskaber ved vektorer er følgende:

Vektorer teamlinser

Det er de frie vektorer, der har det samme modul, retning (eller de er parallelle) og føles som en glidevector eller en fast vektor.

Ækvivalente vektorer

Det opstår, når to vektorer har den samme retning (eller er parallelle), den samme forstand, og til trods for at de har forskellige moduler og anvendelsessteder, forårsager de de samme effekter.

Vector lighed

Disse har det samme modul, retning og sans, selv når deres udgangspunkt er forskellige, hvilket tillader en parallel vektor at oversætte sig selv uden at påvirke det.

Modsatte vektorer

Det er dem, der har det samme modul og retning, men deres betydning er modsat.

Enhedsvektor

Det er et, hvor modulet er lig med enheden (1). Dette opnås ved at dele vektoren med dens modul og bruges til at bestemme retningen og sansen for en vektor, enten i planet eller i rummet, ved hjælp af basis- eller normaliserede enhedsvektorer, som er:

Nul vektor

Det er en, hvis modul er lig med 0; det vil sige dets oprindelsessted og slut falde sammen på det samme punkt.

Komponenter i en vektor

Komponenterne i en vektor er disse værdier for projektionerne af vektoren på axlerne i referencesystemet; Afhængig af nedbrydningen af vektoren, der kan være på to eller tredimensionelle akser, opnås henholdsvis to eller tre komponenter.

Komponenterne i en vektor er reelle tal, som kan være positive, negative eller endda nul (0).

Så hvis vi har en vektor Ā, med oprindelse i et rektangulært koordinatsystem i xy-planet (todimensionalt), er projektionen på x-aksen Āx, og projektionen på y-aksen er Āy. Således udtrykkes vektoren som summen af dets komponentvektorer.

eksempler

Første eksempel

Vi har en vektor Ā, der starter fra oprindelsen, og koordinaterne for dens ender er givet. Således er vektoren Ā = (Ā _x, A _y) = (4, 5) cm.

Hvis vektoren Ā virker ved oprindelsen af et tredimensionelt trekantet koordinatsystem (i rummet) x, y, z, op til et andet punkt (P), vil fremspringene på dets akser være Āx, Āy og Āz; vektoren udtrykkes således som summen af dens tre komponentvektorer.

Andet eksempel

Vi har en vektor Ā, der starter fra oprindelsen, og koordinaterne for dens ender er givet. Således er vektoren Ā = (_Ax, A _y, A _z) = (4, 6, -3) cm.

Vektorer, der har deres rektangulære koordinater, kan udtrykkes med hensyn til deres basvektorer. Til dette skal du kun multiplicere hver koordinat med sin respektive enhedsvektor på en sådan måde, at de for planet og rummet er følgende:

For planet: Ā = A _x i + A _y j.

For mellemrummet: Ā = A _x i + A _y j + A _z k.

Vector operationer

Der er mange mængder, der har et modul, sans og retning, såsom acceleration, hastighed, forskydning, kraft, blandt andre.

Disse anvendes i forskellige videnskabelige områder, og for at anvende dem er det i nogle tilfælde nødvendigt at udføre operationer som tilføjelse, subtraktion, multiplikation og opdeling af vektorer og skalarer.

tilføjelse og subtraktion af vektorer

Tilføjelse og subtraktion af vektorer betragtes som en enkelt algebraisk operation, fordi subtraktionen kan skrives som en sum; for eksempel kan subtraktionen af vektorerne Ā og Ē udtrykkes som:

Ā - Ē = Ā + (-Ē)

Der er forskellige metoder til at tilføje og subtrahere vektorer: de kan være grafiske eller analytiske.

Grafiske metoder

Bruges når en vektor har modul, retning og retning. Til dette tegnes linjer, der danner et tal, der senere hjælper med at bestemme resultatet. Blandt de bedst kendte er følgende:

Parallelogrammetode

For at foretage tilføjelse eller subtraktion af to vektorer vælges et fælles punkt på koordinataksen - hvilket vil repræsentere vektorernes oprindelsessted - ved at beholde dets modul, retning og retning.

Linjer trækkes derefter parallelt med vektorerne for at danne et parallelogram. Den resulterende vektor er diagonalen, der går fra begge vektorers oprindelsessted til parallelogramets toppunkt:

Trekantmetode

I denne metode placeres vektorerne den ene efter den anden ved at beholde deres moduler, retninger og retninger. Den resulterende vektor vil være foreningen af oprindelsen af den første vektor med slutningen af den anden vektor:

Analytiske metoder

To eller flere vektorer kan tilføjes eller subtraheres ved hjælp af en geometrisk eller vektormetode:

Geometrisk metode

Når to vektorer danner en trekant eller parallelogram, m).push ({});

- Scalar fordelende egenskab: hvis en vektor ganges med summen af to skalarer, er den lig med multiplikationen af vektoren for hver skalar.

Multiplikation af vektorer

Multiplikation eller produkt af vektorer kunne udføres som tilføjelse eller subtraktion, men at gøre det på den måde mister den fysiske betydning og findes næsten aldrig i applikationer. Af denne grund er de mest almindeligt anvendte typer produkter det skalære og vektorprodukt.

Scalar produkt

Det er også kendt som dot-produktet fra to vektorer. Når modulerne i to vektorer multipliceres med kosinus i den mindste vinkel, der er dannet mellem dem, opnås en skalar. For at udtrykke et skalært produkt mellem to vektorer placeres et punkt mellem dem, og dette kan defineres som:

Værdien af den vinkel, der findes mellem de to vektorer, afhænger af, om de er parallelle eller vinkelrette. Derfor skal du:

- Hvis vektorerne er parallelle og har samme forstand, kosinus 0º = 1.

- Hvis vektorerne er parallelle og har modsatte retninger, kosinus 180º = -1.

- Hvis vektorerne er vinkelret, kosinus 90º = 0.

Denne vinkel kan også beregnes, velvidende at:

Punktproduktet har følgende egenskaber:

- Kommutativ egenskab: rækkefølgen af vektorer ændrer ikke skalaren.

-Distributiv egenskab: hvis en skalar multipliceres med summen af to vektorer, er den lig med multiplikationen af skalaren for hver vektor.

Vector produkt

Vektormultiplikation eller tværprodukt af to vektorer A og B vil resultere i en ny vektor C og udtrykkes ved hjælp af et kryds mellem vektorerne:

Den nye vektor har sine egne karakteristika. Den vej:

- Retningen: denne nye vektor vil være vinkelret på planet, der bestemmes af de originale vektorer.

- Retningen: dette bestemmes med reglen for højre hånd, hvor vektor A drejes mod B, hvilket indikerer rotationsretningen med fingrene, og vektorens retning markeres med tommelfingeren.

- Modulet: Det bestemmes af multiplikationen af modulerne til vektorerne AxB af sinussen for den mindste vinkel, der findes mellem disse vektorer. Det udtrykkes:

Værdien af den vinkel, der findes mellem de to vektorer, afhænger af, om de er parallelle eller vinkelrette. Så det er muligt at angive følgende:

- Hvis vektorerne er parallelle og har den samme betydning, sinus 0º = 0.

- Hvis vektorerne er parallelle og har modsatte retninger, er sinus 180º = 0.

- Hvis vektorerne er vinkelret, er 90 ° = 1.

Når et vektorprodukt udtrykkes som deres vektorer, har vi: