AKSIOMATISK METODE: EGENSKABER, TRIN, EKSEMPLER - KULTURORDFORRÅD - 2025

Den aksiomatiske metode eller også kaldet Axiomatic er en formel procedure, der anvendes af videnskaberne, ved hjælp af hvilke udsagn eller forslag, der kaldes aksiomer, er formuleret, forbundet til hinanden ved en relation til fradragsberettigelse, og som er grundlaget for hypoteserne eller betingelserne i et bestemt system.

Denne generelle definition skal indrammes inden for den udvikling, som denne metodologi har haft gennem historien. For det første er der en gammel eller indholdsmetode, født i det antikke Grækenland fra Euclid og senere udviklet af Aristoteles.

For det andet, så tidligt som i det 19. århundrede, optrådte en geometri med aksiomer forskellig fra Euclids. Og endelig den formelle eller moderne aksiomatiske metode, hvis største eksponent var David Hilbert.

Ud over dens udvikling over tid har denne procedure været grundlaget for den deduktive metode, der blev brugt i geometrien og logikken, hvor den stammer fra. Det er også blevet brugt i fysik, kemi og biologi.

Og det er endda blevet anvendt inden for juridisk videnskab, sociologi og politisk økonomi. I øjeblikket er det vigtigste anvendelsesområde i øjeblikket matematik og symbolisk logik og nogle grene af fysik såsom termodynamik, mekanik, blandt andre discipliner.

egenskaber

Selvom det grundlæggende kendetegn ved denne metode er formuleringen af ​​aksiomer, er disse ikke altid blevet betragtet på samme måde.

Der er nogle, der kan defineres og konstrueres på en vilkårlig måde. Og andre efter en model, hvor dens garanterede sandhed intuitivt overvejes.

For at forstå specifikt, hvad denne forskel og dens konsekvenser består af, er det nødvendigt at gennemgå udviklingen af ​​denne metode.

Antik eller indhold aksiomatisk metode

Det er den, der blev etableret i det antikke Grækenland mod det 5. århundrede f.Kr. Dets anvendelsesområde er geometri. Det grundlæggende arbejde på dette trin er Euclids elementer, skønt det anses for, at Pythagoras før ham allerede havde født den aksiomatiske metode.

Således tager grækerne visse kendsgerninger som aksiomer uden behov for noget logisk bevis, det vil sige uden behov for bevis, eftersom de for dem er en selvindlysende sandhed.

For hans del præsenterer Euclid fem aksiomer til geometri:

1-Givet to punkter er der en linje, der indeholder eller forbinder dem.

2-Ethvert segment kan udvides kontinuerligt i en ubegrænset linje på begge sider.

3-Du kan tegne en cirkel, der har et center på ethvert punkt og enhver radius.

4-De rigtige vinkler er alle de samme.

5-Ved at tage en lige linje og ethvert punkt, der ikke er i den, er der en lige linje parallelt med den, og der indeholder dette punkt. Dette aksiom er senere kendt som axiomet af paralleller og er også udtalt som: en enkelt parallel kan trækkes fra et punkt uden for en linje.

Imidlertid er både Euclid og senere matematikere enige om, at den femte aksiom ikke er så intuitivt klar som den anden 4. Selv under renæssancen forsøges der at trække den femte fra de andre 4, men det er ikke muligt.

Dette gjorde, at allerede i XIX århundrede var de, der opretholdt de fem, til fordel for euklidisk geometri, og dem, der benægtede det femte, var dem, der skabte de ikke-euklidiske geometrier.

Ikke-euklidisk aksiomatisk metode

Det er netop Nikolai Ivanovich Lobachevski, János Bolyai og Johann Karl Friedrich Gauss, der ser muligheden for uden konstruktion at konstruere en geometri, der kommer fra andre aksiomsystemer end Euclids. Dette ødelægger troen på den absolutte sandhed eller priori for de aksiomer og teorier, der stammer fra dem.

Derfor begynder aksiomer at blive udtalt som udgangspunkt for en given teori. Også hans valg og problemet med dets gyldighed i en eller anden forstand begynder at være relateret til fakta uden for den aksiomatiske teori.

På denne måde fremstår geometriske, algebraiske og aritmetiske teorier bygget ved hjælp af den aksiomatiske metode.

Denne fase kulminerer med oprettelsen af ​​aksiomatiske systemer til regnestykker som Giuseppe Peano's i 1891; David Huberts geometri i 1899; udsagn og beregninger af Alfred North Whitehead og Bertrand Russell i England i 1910; Ernst Friedrich Ferdinand Zermelos aksiomatiske teori om sæt i 1908.

Moderne eller formel aksiomatisk metode

Det er David Hubert, der indleder forestillingen om en formel aksiomatisk metode, og som fører til dens kulmination, David Hilbert.

Det er netop Hilbert, der formaliserer det videnskabelige sprog og betragter dets udsagn som formler eller sekvenser af tegn, der ikke har nogen mening i sig selv. De får kun mening i en bestemt fortolkning.

I "Grundlæggende for geometri" forklarer han det første eksempel på denne metode. Herefter bliver geometri en videnskab med rene logiske konsekvenser, der udvindes fra et system af hypoteser eller aksiomer, bedre artikuleret end det euklidiske system.

Dette skyldes, at i det gamle system er den aksiomatiske teori baseret på beviset for aksiomerne. Mens det er grundlaget for den formelle teori, gives det ved demonstration af ikke-modsigelse af dens aksiomer.

Steps

Proceduren, der udfører en aksiomatisk strukturering inden for videnskabelige teorier, anerkender:

a-valget af et vist antal aksiomer, det vil sige et antal påstande om en bestemt teori, der accepteres uden at skulle bevises.

b-begreberne, der er en del af disse påstande, bestemmes ikke inden for rammerne af den givne teori.

c-reglerne for definition og deduktion af den givne teori er indstillet og tillader nye koncepter at blive introduceret i teorien og logisk trække nogle forslag fra andre.

d-de øvrige påstande om teorien, det vil sige teoremet, trækkes fra a på basis af c.

eksempler

Denne metode kan verificeres gennem beviset for de to bedst kendte Euclid-sætninger: benets sætning og højde teorem.

Begge stammer fra observationen af ​​dette græske geometer, at når højden i forhold til hypotenusen er afbildet inden for en højre trekant, vises to mere trekanter af originalen. Disse trekanter ligner hinanden og på samme tid ligner oprindelsestrekanten. Dette antager, at deres respektive homologe sider er proportional.

Det kan ses, at de kongruente vinkler i trekanterne på denne måde verificerer ligheden, der findes mellem de tre involverede trekanter i henhold til AAA-lighedskriteriet. Dette kriterium hævder, at når to trekanter har alle de samme vinkler, er de ens.

Når det først er vist, at trekanterne er ens, kan proportioner, der er specificeret i den første sætning, bestemmes. Den samme udsagn som i en højre trekant er målet for hvert ben det geometriske proportionelle middelværdi mellem hypotenusen og projektionen af ​​benet på det.

Det andet sætning er højden. Den specificerer, at en hvilken som helst højre trekant, den højde, der tegnes i henhold til hypotenusen, er det geometriske proportionelle middelværdi mellem segmenterne, der bestemmes af det geometriske middelværdi på hypotenusen.

Begge sætninger har naturligvis adskillige anvendelser rundt om i verden ikke kun inden for undervisning, men også inden for teknik, fysik, kemi og astronomi.

Referencer

1. Giovannini, Eduardo N. (2014) Geometri, formalisme og intuition: David Hilbert og den formelle aksiomatiske metode (1895-1905). Revista de Filosofía, bind 39 nr. 2, s.121-146. Hentet fra magasiner.ucm.es.
2. Hilbert, David. (1918) Axiomatisk tanke. I W. Ewald, redaktør, fra Kant til Hilbert: en kildebog i grundlaget for matematik. Bind II, s. 1105-1114. Oxford University Press. 2005 a.
3. Hintikka, Jaako. (2009). Hvad er den aksiomatiske metode? Synthese, november 2011, bind 189, s.69-85. Taget fra link.springer.com.
4. López Hernández, José. (2005). Introduktion til nutidig lovfilosofi. (Pp.48-49). Taget fra books.google.com.ar.
5. Nirenberg, Ricardo. (1996) Den Axiomatic Method, en læsning af Ricardo Nirenberg, efterår 1996, Universitetet i Albany, Project Renaissance. Taget fra Albany.edu.
6. Venturi, Giorgio. (2015) Hilbert mellem den formelle og den uformelle side af matematik. Manuskript vol. 38 nr. 2, Campinas juli / Augusto 2015. Taget fra scielo.br.