Den indskrevne vinkel på en cirkel er en, der har sit toppunkt på cirklen, og dens stråler er fast eller tangent til den. Som en konsekvens vil den indskrevne vinkel altid være konveks eller flad.
I figur 1 er flere vinkler, der er indskrevet i deres respektive omkredse repræsenteret. Vinklen ∠EDF er indskrevet ved at have sit toppunkt D på omkredsen og dets to stråler =.
I en ensartet trekant er vinklerne ved siden af basen lige, derfor er ∠BCO = ∠ABC = α. På den anden side ∠COB = 180º - β.
I betragtning af summen af de indre vinkler i trekanten COB har vi:
α + α + (180º - β) = 180º
Herfra følger det, at 2 α = β, eller hvad der er ækvivalent: α = β / 2. Dette stemmer overens med, hvad sætning 1 siger: Målingen på den indskrevne vinkel er halvdelen af den centrale vinkel, hvis begge vinkler underlægger den samme akkord.
Demonstration 1b
Figur 6. Hjælpekonstruktion for at vise, at α = β / 2. Kilde: F. Zapata med Geogebra.
I dette tilfælde har vi en indskrevet vinkel ∠ABC, hvor cirkelens centrum O er inden for vinklen.
For at bevise sætning 1 i dette tilfælde, træk hjælpestrålen). Push ({});
Tilsvarende er de centrale vinkler p 1 og β 2 er støder op til nævnte stråle. Vi har således den samme situation som vist 1a, så kan siges, at α 2 = β 2 /2 og a 1 = β 1 /2. Som α = α 1 + α 2 og β = β 1 + β 2 har derfor, at α = α 1 + α 2 = β 1 /2 + β 2 /2 = (β 1 + β 2) / 2 = β / to.
Afslutningsvis er a = β / 2, der opfylder sætning 1.
- Sætning 2
Figur 7. Inskrevne vinkler med samme mål α, fordi de underlægger den samme bue A⌒C. Kilde: F. Zapata med Geogebra.
- sætning 3
De indskrevne vinkler, der subjekter akkorder med samme mål, er ens.
Figur 8. Inskrevne vinkler, der subjekter akkorder med samme mål, har samme mål β. Kilde: F. Zapata med Geogebra.
eksempler
- Eksempel 1
Vis, at den indskrevne vinkel, der subjekterer diameteren, er en ret vinkel.
Løsning
Den centrale vinkel ∠AOB, der er forbundet med diameteren, er en plan vinkel, hvis mål er 180º.
I henhold til sætning 1 har hver vinkel, der er indskrevet i omkredsen, der underlægger den samme akkord (i dette tilfælde diameteren), som mål halvdelen af den centrale vinkel, der subjekterer den samme akkord, som for eksempel er 180º / 2 = 90º.
Figur 9. Hver indskrevet vinkel, der subjekterer til diameter, er en ret vinkel. Kilde: F. Zapata med Geogebra.
- Eksempel 2
Linjen (BC) tangens ved A til omkredsen C bestemmer den indskrevne vinkel ∠BAC (se figur 10).
Kontroller, at sætning 1 af de indskrevne vinkler er opfyldt.
Figur 10. Inskrevet vinkel BAC og dens centrale konvekse vinkel AOA. Kilde: F. Zapata med Geogebra.
Løsning
Vinklen ∠BAC er indskrevet, fordi dens toppunkt er på omkredsen, og dens sider [AB) og [AC) er tangent til omkredsen, så definitionen af den indskrevne vinkel er tilfreds.
På den anden side subuterer den indskrevne vinkel ∠BAC buen A⌒A, som er hele omkredsen. Den centrale vinkel, der underlægger buen A⌒A, er en konveks vinkel, hvis mål er den fulde vinkel (360º).
Den indskrevne vinkel, der subjekterer hele buen, måler halvdelen af den tilhørende centrale vinkel, dvs. ∠BAC = 360º / 2 = 180º.
Med alt det ovenstående bekræftes det, at denne særlige sag opfylder sætning 1.
Referencer
- Baldor. (1973). Geometri og trigonometri. Mellemamerikansk kulturforlag.
- EA (2003). Geometrielementer: med øvelser og kompassgeometri. University of Medellin.
- Geometri 1. ESO. Vinkler på omkredsen. Gendannet fra: edu.xunta.es/
- Al videnskab. Foreslåede øvelser af vinkler i omkredsen. Gendannes fra: francesphysics.blogspot.com
- Wikipedia. Indskrevet vinkel. Gendannet fra: es.wikipedia.com