NUL VINKEL: DEFINITION OG EGENSKABER, EKSEMPLER, ØVELSER - MATEMATIK - 2024

Den null vinkel er én, hvis foranstaltning er 0, både i grader og i radianer eller et andet system af vinkel måling. Derfor mangler det bredde eller åbning, som den, der er dannet mellem to parallelle linjer.

Selvom dens definition lyder enkel nok, er nulvinklen meget nyttig i mange fysik- og ingeniørapplikationer såvel som i navigation og design.

Figur 1. Mellem hastigheden og accelerationen på bilen er der en vinkel på nul, derfor går bilen hurtigere og hurtigere. Kilde: Wikimedia Commons.

Der er fysiske mængder, der skal justeres parallelt for at opnå visse effekter: hvis en bil bevæger sig i en lige linje langs en motorvej og mellem dens hastighedsvektor v og dens accelerationsvektor a er der 0º, bevæger bilen sig hurtigere og hurtigere, men hvis bilen bremser, dens acceleration er modsat dens hastighed (se figur 1).

Den følgende figur viser forskellige vinkeltyper inklusive nulvinklen til højre. Som det ses, mangler 0 ° -vinklen bredde eller åbning.

Figur 2. Vinkeltyper, inklusive nulvinklen. Kilde: Wikimedia Commons. Orias.

Eksempler på nulvinkler

Parallelle linier er kendt for at danne en nulvinkel med hinanden. Når du har en vandret linje, er den parallel med x-aksen i det kartesiske koordinatsystem, derfor er dens hældning i forhold til det med andre ord. Med andre ord har vandrette linjer nul hældning.

Figur 3. De vandrette linjer har nul hældning. Kilde: F. Zapata.

Også de trigonometriske forhold mellem nulvinklen er 0, 1 eller uendelig. Derfor er nulvinklen til stede i mange fysiske situationer, der involverer operationer med vektorer. Disse grunde er:

-sin 0º = 0

-cos 0º = 1

-tg 0º = 0

-sek 0 ° = 1

-cosec 0º → ∞

-ctg 0º → ∞

Og de vil være nyttige til at analysere nogle eksempler på situationer, hvor tilstedeværelsen af ​​nulvinklen spiller en grundlæggende rolle:

- Effekter af nulvinklen på fysiske størrelser

Vector tilføjelse

Når to vektorer er parallelle, er vinklen mellem dem nul, som det ses i figur 4a ovenfor. I dette tilfælde udføres summen af ​​begge ved at placere den ene efter den anden, og størrelsen af ​​sumvektoren er summen af ​​størrelserne af tilføjelserne (figur 4b).

Figur 4. Summen af ​​parallelle vektorer, i dette tilfælde er vinklen mellem dem en nulvinkel. Kilde: F. Zapata.

Når to vektorer er parallelle, er vinklen mellem dem nul, som det ses i figur 4a ovenfor. I dette tilfælde udføres summen af ​​begge dele ved at placere den ene efter den anden, og størrelsen af ​​sumvektoren er summen af ​​størrelserne af tilføjelserne (figur 4b)

Moment eller drejningsmoment

Drejningsmoment eller drejningsmoment forårsager rotation af kroppen. Det afhænger af størrelsen af ​​den påførte kraft og hvordan den påføres. Et meget repræsentativt eksempel er skiftenøglen i figuren.

For at opnå den bedste drejevirkning påføres kraften vinkelret på skruenøglens håndtag, hverken op eller ned, men der forventes ingen rotation, hvis kraften er parallel med håndtaget.

Figur 5. Når vinklen mellem positions- og kraftvektorerne er nul, frembringes der ikke et moment, og der er derfor ingen spin-effekt. Kilde: F. Zapata.

Matematisk er momentet τ defineret som vektorproduktet eller tværproduktet mellem vektorerne r (positionsvektor) og F (kraftvektor) i figur 5:

τ = r x F

Størrelsen af ​​drejningsmomentet er:

τ = r F sin θ

Θ er vinklen mellem r og F. Når sin θ = 0, er drejningsmomentet nul, i dette tilfælde θ = 0º (eller også 180º).

Elektrisk feltstrøm

Elektrisk feltflux er en skalermængde, der afhænger af intensiteten af ​​det elektriske felt såvel som orienteringen af ​​den overflade, gennem hvilket det passerer.

I figur 6 er der en cirkulær overflade af område A, gennem hvilket de elektriske feltlinjer E passerer. Orienteringen af ​​overfladen er givet af den normale vektor n. Til venstre danner feltet og den normale vektor en vilkårlig akut vinkel θ, i midten danner de en nulvinkel med hinanden, og til højre er de vinkelret.

Når E og n er vinkelret, krydser feltlinjerne ikke overfladen, og derfor er fluxen nul, mens når vinklen mellem E og n er nul, krydser linjerne fuldstændigt overfladen.

At betegne det elektriske feltflux med det græske bogstav Φ (læst “fi”), dets definition for et ensartet felt som på figuren, ser sådan ud:

Φ = E • n A

Punktet i midten af ​​begge vektorer angiver dotproduktet eller skalarproduktet, som alternativt er defineret som følger:

Φ = E • n A = EAcosθ

Den fed skrift og pilene over brevet er ressourcer til at skelne mellem en vektor og dens størrelse, der er angivet med normale bogstaver. Da cos 0 = 1, er fluxen maksimal, når E og n er parallelle.

Figur 6. Det elektriske feltflux afhænger af orienteringen mellem overfladen og det elektriske felt. Kilde: F. Zapata.

Øvelser

- Øvelse 1

To kræfter P og Q virker samtidig på et punktobjekt X, begge kræfter danner oprindeligt en vinkel θ mellem dem. Hvad sker der med størrelsen af ​​den resulterende kraft, når θ falder til nul?

Figur 7. Vinklen mellem to kræfter, der virker på et legeme, falder, indtil det annulleres, i hvilket tilfælde størrelsen af ​​den resulterende kraft får sin maksimale værdi. Kilde: F. Zapata.

Løsning

Størrelsen af ​​den resulterende kraft Q + P øges gradvist, indtil den er maksimal, når Q og P er helt parallelle (figur 7 til højre).

- Øvelse 2

Angiv, om nullvinklen er en løsning af følgende trigonometriske ligning:

Løsning

En trigonometrisk ligning er en, hvor det ukendte er en del af argumentet om et trigonometrisk forhold. For at løse den foreslåede ligning er det praktisk at bruge formlen til cosinus i dobbeltvinklen:

cos 2x = cos ² x - sin ² x

Fordi på denne måde bliver argumentet på venstre side x i stedet for 2x. Så:

cos ² x - sin ² x = 1 + 4 sin x

På den anden side cos ² x + sin ² x = 1, så:

cos ² x - sin ² x = cos ² x + sin ² x + 4 sin x

Udtrykket cos ² x annullerer og forbliver:

- sin ² x = sin ² x + 4 sin x → - ² sin ² x - 4 sinx = 0 → ² sin ² x + 4 sinx = 0

Nu foretages følgende variabel ændring: sinx = u, og ligningen bliver:

2u ² + 4u = 0

2u (u + 4) = 0

Hvis løsninger er: u = 0 og u = -4. Når vi vender tilbage til ændringen, har vi to muligheder: sin x = 0 og sinx = -4. Denne sidste løsning er ikke levedygtig, fordi sinussen i en hvilken som helst vinkel er mellem -1 og 1, så vi står tilbage med det første alternativ:

sin x = 0

Derfor er x = 0º en løsning, men enhver vinkel, hvis sinus er 0, fungerer også, som også kan være 180º (π radianer), 360º (2 π radianer) og de respektive negativer.

Den mest generelle løsning af den trigonometriske ligning er: x = kπ, hvor k = 0, ± 1, ± 2, ± 3,…. k et heltal.

Referencer

1. Baldor, A. 2004. Plane and Space Geometry with Trigonometry. Publicaciones Cultural SA de CV México.
2. Figueroa, D. (2005). Serie: Fysik til videnskab og teknik. Bind 3. Partikelsystemer. Redigeret af Douglas Figueroa (USB).
3. Figueroa, D. (2005). Serie: Fysik til videnskab og teknik. Bind 5. Elektrisk interaktion. Redigeret af Douglas Figueroa (USB).
4. OnlineMathLearning. Typer af vinkler. Gendannes fra: onlinemathlearning.com.
5. Zill, D. 2012. Algebra, Trigonometry and Analytical Geometry. McGraw Hill Interamericana.