KOMPLEMENTÆRE VINKLER: HVILKE OG HVORDAN DE BEREGNES, EKSEMPLER, ØVELSER - MATEMATIK - 2024

To eller flere vinkler er komplementære vinkler, hvis summen af ​​deres mål svarer til den i en ret vinkel. Som det er kendt, er målet for en ret vinkel i grader 90º, og i radianer er den π / 2.

For eksempel er de to vinkler, der støder op til hypotenusen i en højre trekant, komplementære til hinanden, da summen af ​​deres mål er 90º. Følgende figur er meget illustrerende i denne forbindelse:

Figur 1. Til venstre flere vinkler med et fælles toppunkt. Til højre en vinkel på 60º, der supplerer vinklen α (alfa). Kilde: F. Zapata.

I alt fire vinkler er vist i figur 1. a og β er komplementære, da de er tilstødende, og deres sum fuldender en ret vinkel. Tilsvarende er ß komplementær til γ, hvorfra det følger, at γ og α er lige store.

Eftersom summen af ​​a og δ er lig med 90 grader, kan det siges, at α og δ er komplementære. Eftersom β og δ endvidere har det samme komplementære α, kan det siges, at β og δ har samme mål.

Eksempler på komplementære vinkler

Følgende eksempler beder om at finde de ukendte vinkler markeret med spørgsmålstegn i figur 2.

Figur 2. Forskellige eksempler på komplementære vinkler. Kilde: F. Zapata.

- Eksempler A, B og C

De følgende eksempler er i rækkefølge af kompleksitet.

Eksempel A

I figuren ovenfor har vi, at de tilstødende vinkler α og 40º føjer sig til en ret vinkel. Det vil sige α + 40º = 90º, derfor α = 90º- 40º = 50º.

Eksempel B

Da ß er komplementær til vinklen på 35º, er β = 90º - 35º = 55º.

Eksempel C

Fra figur 2C har vi, at summen af ​​γ + 15º + 15º = 90º. Med andre ord γ er komplementær til vinklen 30º = 15º + 15º. Så det:

γ = 90º- 30º = 60º

- Eksempler D, E og F

I disse eksempler er der flere vinkler involveret. For at finde de ukendte skal læseren anvende begrebet komplementær vinkel så mange gange som nødvendigt.

Eksempel D

Da X er komplementær til 72º, følger det, at X = 90º - 72º = 18º. Y er endvidere komplementære til X, så Y = 90º - 18º = 72º.

Endelig er Z komplementær med Y. Fra alt det ovenstående følger det, at:

Z = 90º - 72º = 18º

Eksempel E

Vinklerne δ og 2δ er komplementære, derfor er δ + 2δ = 90º.

Det vil sige 3δ = 90º, hvilket betyder, at δ = 90º / 3 = 30º.

Eksempel F

Hvis vi kalder vinklen mellem que og 10º U, er U supplerende til begge, fordi det observeres, at deres sum fuldender en ret vinkel. Fra hvilket følger, at U = 80º. Da U er komplementær til ω, er ω = 10º.

Øvelser

Tre øvelser foreslås nedenfor. I alle dem skal værdien af ​​vinklerne A og B i grader findes, således at forholdene vist i figur 3 er opfyldt.

Figur 3. Illustrationer til komplementære vinkeløvelser. Kilde: F. Zapata.

- Øvelse 1

Bestemm værdierne for vinklerne A og B fra del I) i figur 3.

Løsning

Fra den viste figur ses det, at A og B er komplementære, derfor er A + B = 90º. Vi erstatter udtrykket for A og B som en funktion af x givet i del I):

(x / 2 + 7) + (2x + 15) = 90

Betegnelserne grupperes derefter passende, og der opnås en enkel lineær ligning:

(5x / 2) + 22 = 90

Trækker 22 i begge medlemmer har vi:

5x / 2 = 90-22 = 68

Og til sidst ryddes værdien af ​​x:

x = 2 * 68/5 = 136/5

Nu findes vinklen A ved at erstatte værdien af ​​X:

A = (136/5) / 2 +7 = 103/5 = 20,6 º.

Mens vinkel B er:

B = 2 * 136/5 + 15 = 347 / 5. = 69,4º.

- Øvelse 2

Find værdierne for vinklerne A og B i billede II, figur 3.

Løsning

Igen, da A og B er komplementære vinkler, følger det at: A + B = 90º. Ved at udskifte udtrykket for A og B som en funktion af x givet i del II) i figur 3, har vi:

(2x - 10) + (4x +40) = 90

Ligesom termer grupperes sammen for at opnå ligningen:

6 x + 30 = 90

Ved at dele begge medlemmer med 6 får du:

x + 5 = 15

Herfra følger det, at x = 10º.

Dermed:

A = 2 * 10 - 10 = 10º

B = 4 * 10 + 40 = 80º.

- Øvelse 3

Bestemm værdierne for vinklerne A og B fra del III) i figur 3.

Løsning

Igen analyseres figuren omhyggeligt for at finde de komplementære vinkler. I dette tilfælde har vi, at A + B = 90 grader. Ved at udskifte udtrykket for A og B som en funktion af x, der er givet i figuren, har vi:

(-x +45) + (4x -15) = 90

3 x + 30 = 90

Deling af begge medlemmer med 3 resulterer i følgende:

x + 10 = 30

Herfra følger det, at x = 20º.

Med andre ord, vinklen A = -20 +45 = 25º. Og for sin del: B = 4 * 20 -15 = 65º.

Vinkelrette sidevinkler

To vinkler siges at have vinkelrette sider, hvis hver side har en tilsvarende vinkelret på den anden. Følgende figur tydeliggør begrebet:

Figur 4. Vinkler på vinkelrette sider. Kilde: F. Zapata.

I figur 4 observeres for eksempel vinklerne a og θ. Bemærk nu, at hver vinkel har sin tilsvarende vinkelret i den anden vinkel.

Det ses også, at α og θ har den samme komplementære vinkel z, derfor observerer observatøren straks, at α og θ har samme mål. Det ser ud til, at hvis to vinkler har sider vinkelret på hinanden, er de lige, men lad os se på en anden sag.

Overvej nu vinklerne α og ω. Disse to vinkler har også tilsvarende vinkelrette sider, men de kan ikke siges at være af samme mål, da den ene er akut og den anden er stump.

Bemærk, at ω + θ = 180º. Desuden θ = α. Hvis du erstatter dette udtryk med z i den første ligning, får du:

δ + α = 180º, hvor δ og α er indbyrdes vinkelret på siderne.

Generel regel for vinkler på vinkelrette sider

1. Baldor, JA 1973. Fly og rumgeometri. Mellemamerikansk kultur.
2. Matematiske love og formler. Vinkelmålingssystemer. Gendannes fra: ingemecanica.com.
3. Wentworth, G. Plane Geometry. Gendannet fra: gutenberg.org.
4. Wikipedia. Komplementære vinkler. Gendannet fra: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Conveyor. Gendannet fra: es.wikipedia.com
6. Zapata F. Goniómetro: historie, dele, operation. Gendannes fra: lifeder.com