AKUT TREKANT: EGENSKABER OG TYPER - MATEMATIK - 2025

De akutte trekanter er dem, hvis tre indre vinkler er akutte vinkler; det vil sige, at målet for hver af disse vinkler er mindre end 90 ° grader. Ved ikke at have nogen ret vinkel har vi, at Pythagorean-sætningen ikke gælder for denne geometriske figur.

Derfor, hvis vi ønsker at have en form for information om nogen af ​​dens sider eller vinkler, er det nødvendigt at gøre brug af andre sætninger, der giver os mulighed for at få adgang til disse data. De, vi kan bruge, er sinusetningen og kosinus-sætningen.

egenskaber

Blandt de egenskaber, som denne geometriske figur har, kan vi fremhæve dem, der er givet ved den enkle kendsgerning at være en trekant. Blandt disse har vi:

- En trekant er en polygon, der har tre sider og tre vinkler.

- Summen af ​​dens tre indvendige vinkler er lig med 180 °.

- Summen af ​​to sider er altid større end den tredje.

Lad os som et eksempel se på den følgende trekant ABC. På en generel måde identificerer vi dens sider med et lille bogstav og dets vinkler med en stor bogstav, på en sådan måde, at den ene side og den modsatte vinkel har det samme bogstav.

Ud fra de allerede givne egenskaber ved vi, at:

A + B + C = 180 °

a + b> c, a + c> b og b + c> a

Det vigtigste træk, der adskiller denne type trekant fra resten, er, at som det allerede er nævnt, dets indre vinkler er skarpe; det vil sige, målet for hver af dens vinkler er mindre end 90 °.

Akutte trekanter sammen med stumpe trekanter (dem, hvor en af ​​deres vinkler har et mål over 90 °), er en del af sættet med skrå trekanter. Dette sæt består af trekanter, der ikke er rette vinkler.

Da de skrå trekanter er en del, skal vi være i stand til at løse problemer, der involverer akutte trekanter, vi må gøre brug af sinusetningen og kosinus-sætningen.

Sine sætning

Sinussteoremet fortæller os, at forholdet mellem en side og sinus i dens modsatte vinkel er lig med dobbelt så radius af cirklen dannet af de tre hjørner i nævnte trekant. Det vil sige:

2r = a / sin (A) = b / sin (B) = c / sin (C)

Kosinus-sætning

På den anden side giver kosinus-sætningen os disse tre ligheder for enhver trekant ABC:

a ² = b ² + c ² -2bc * cos (A)

b ² = en ² + c ² -2ac * cos (B)

c ² = a ² + b ² -2ab * cos (C)

Disse sætninger er også kendt som henholdsvis sinusens og loven om kosinus.

En anden egenskab, som vi kan give af de akutte trekanter, er, at to af disse er ens, hvis de opfylder et af følgende kriterier:

- Hvis de har de samme tre sider.

- Hvis de har den ene side og to lige vinkler på hinanden.

- Hvis de har to lige sider og en vinkel.

typer

Akutte trekanter kan klassificeres efter deres sider. Disse kan være:

Lignende akutte trekanter

De er de akutte trekanter, der har alle deres sider lige, og derfor har alle deres indre vinkler den samme værdi, hvilket er A = B = C = 60 ° grader.

Lad os som et eksempel tage den følgende trekant, hvis sider a, b og c har en værdi på 4.

Isosceles akutte trekanter

Disse trekanter har, udover at have akutte indre vinkler, kendetegnende for at have to af deres lige sider, og den tredje, der generelt betragtes som basen, forskellig.

Et eksempel på denne type trekanter kan være en, hvis base er 3 og dens to andre sider har en værdi af 5. Med disse målinger ville den have de modsatte vinkler til de lige sider med værdien 72,55 ° og den modsatte vinkel af basen ville være 34,9 °.

Scalene akutte trekanter

Dette er trekanterne, der alle har forskellige sider to for to. Derfor er alle dens vinkler, ud over at være mindre end 90 °, forskellige fra to til to.

Trekanten DEF (hvis mål er d = 4, e = 5 og f = 6 og dens vinkler er D = 41,41 °, E = 55,79 ° og F = 82,8 °) er et godt eksempel på en akut trekant scalene.

Opløsning af akutte trekanter

Som vi sagde før, er det nødvendigt at anvende sinus- og kosinus-sætningerne for at løse problemer, der involverer akutte trekanter.

Eksempel 1

Givet en trekant ABC med vinkler A = 30 °, B = 70 ° og side a = 5 cm, ønsker vi at vide værdien af ​​vinkel C og siderne b og c.

Den første ting, vi gør, er at bruge det faktum, at summen af ​​de indvendige vinkler i en trekant er 180 ° for at opnå værdien af ​​vinkel C.

180 ° = A + B + C = 30 ° + 70 ° + C = 100 ° + C

Vi rydder C, og vi har:

C = 180 ° - 100 ° = 80 °

Da vi allerede kender de tre vinkler og den ene side, kan vi bruge sinusretningen til at bestemme værdien af ​​de resterende sider. Ved sætningen har vi:

a / sin (A) = b / sin (B) og a / sin (A) = c / (sin (C)

Vi isolerer b fra ligningen og står tilbage med:

b = (a * sin (B)) / sin (A) ≈ (5 * 0,940) / (0,5) ≈ 9,4

Nu behøver vi kun at beregne værdien af ​​c. Vi fortsætter på samme måde som i det foregående tilfælde:

c = (a * sin (C)) / sin (A) ≈ (5 * 0,998) / (0,5) ≈ 9,84

Således får vi alle data i trekanten. Som vi kan se, falder denne trekant ind i kategorien skalden akut trekant.

Eksempel 2

Givet en trekant DEF med siderne d = 4cm, e = 5cm og f = 6cm, ønsker vi at vide værdien af ​​vinklerne i nævnte trekant.

I dette tilfælde bruger vi kosinusloven, der siger, at:

d ² = e ² + f ² - 2efcos (D)

Fra denne ligning kan vi løse for cos (D), hvilket giver os som et resultat:

Cos (D) = ((4) ² - (5) ² - (6) ²) / (- 2 * 5 * 6) = 0,75

Derfor har vi D≈ 41,41 °

Brug af senom-sætningen har vi følgende ligning:

d / (sin (D) = e / (sin (E)

Løsning for synd (E) har vi:

sin (E) = e * sin (D) / d = (5 * 0,66) / 4 ≈ 0,827

Derfor har vi E≈55,79 °

Endelig, når vi bruger, at summen af ​​de indvendige vinkler i en trekant er 180 °, har vi F≈82,8 °.

1. Landaverde, F. d. (1997). Geometri (redprint red.). Fremskridt.
2. Leake, D. (2006). Trekanter (illustreret udg.). Heinemann-Raintree.
3. Leal G. Juan Manuel. (2003). Planmetrisk geometri CODEPRE
4. Ruiz, Á., & Barrantes, H. (2006). Geometrier. CR-teknologi.
5. Sullivan, M. (1997). Trigonometri og analytisk geometri. Pearson Uddannelse.