SARRUS-REGEL: HVAD DET BESTÅR AF OG TYPER AF DETERMINANTER - KULTURORDFORRÅD - 2025

Den regel Sarrus bruges til at beregne resultatet af 3 × 3 determinanter. Disse bruges til at løse lineære ligninger og finde ud af, om de er kompatible.

Kompatible systemer gør det lettere at få løsningen. De bruges også til at bestemme, om sæt vektorer er lineært uafhængige og til at danne grundlaget for vektorrummet.

Disse applikationer er baseret på matrisernes invertibilitet. Hvis en matrix er regelmæssig, er dens determinant forskellige fra 0. Hvis den er ental, er dens determinant lig med 0. Determinanter kan kun beregnes i firkantede matrixer.

For at beregne matrixer af enhver rækkefølge kan Laplaces sætning bruges. Denne sætning giver os mulighed for at forenkle matrixer med høje dimensioner i summer af små determinanter, som vi nedbrydes fra hovedmatrixen.

Den siger, at determinanten af ​​en matrix er lig med summen af ​​produkterne i hver række eller søjle, gange bestemmelsesstedet for dens tilstødende matrix.

Dette reducerer determinanterne, så en determinant for grad n bliver n determinanter for n-1. Hvis vi anvender denne regel successivt, kan vi få determinanter for dimension 2 (2 × 2) eller 3 (3 × 3), hvor dens beregning er meget lettere.

Sarrus-regel

Pierre Frederic Sarrus var en fransk matematiker fra det 19. århundrede. De fleste af hans matematiske behandler er baseret på metoder til løsning af ligninger og beregningen af ​​variationer inden for numeriske ligninger.

I en af ​​sine afhandlinger løste han en af ​​de mest komplekse gåder i mekanik. For at løse problemerne med de artikulerede stykker introducerede Sarrus transformationen af ​​alternative retlinjære bevægelser i ensartede cirkulære bevægelser. Dette nye system er kendt som Sarrus-mekanismen.

Den forskning, der gav denne matematiker mest berømmelse, var, hvor han introducerede en ny metode til beregning af determinanter, i artiklen "Nouvelles méthodes pour la résolution des équations" (Ny metode til løsning af ligninger), som blev offentliggjort i år 1833. Denne måde at løse lineære ligninger er kendt som Sarrus's regel.

Sarrus's regel giver os mulighed for at beregne determinanten af ​​en 3 × 3-matrix uden behov for at bruge Laplaces teorem og introducere en meget enklere og mere intuitiv metode. For at kontrollere værdien af ​​Sarrus's regel tager vi enhver matrix med dimension 3:

Beregningen af ​​dets determinant vil blive udført ved hjælp af produktet fra dets hoveddiagonaler, idet produktet fra de inverse diagonaler trækkes fra. Dette ville være som følger:

Sarrus 'regel giver os mulighed for at opnå en meget lettere vision, når vi beregner diagonalerne på determinanten. Det ville blive forenklet ved at tilføje de første to kolonner bag på matrixen. På denne måde ses det mere tydeligt, hvilke er dets hoveddiagonaler, og hvilke er de inverse til beregning af produktet.

Gennem dette billede kan vi se anvendelsen af ​​Sarrus's regel, vi inkluderer række 1 og 2, under den grafiske repræsentation af den indledende matrix. På denne måde er de vigtigste diagonaler de tre diagonaler, der vises først.

De tre omvendte diagonaler er til gengæld dem, der vises først bagerst.

På denne måde vises diagonalerne på en mere visuel måde uden at komplicere determinantens opløsning og forsøge at finde ud af hvilke elementer i matrixen der hører til hver diagonal.

Som det vises på billedet, vælger vi diagonaler og beregner det resulterende produkt af hver funktion. Diagonalerne, der vises i blåt, er dem, der tilføjer. I summen af ​​disse trækker vi værdien af ​​diagonalerne, der vises i rødt.

For at gøre komprimering lettere kan vi bruge et numerisk eksempel i stedet for at bruge algebraiske termer og undertermer.

Hvis vi tager nogen 3 × 3-matrix, for eksempel:

For at anvende Sarrus's regel og løse den på en mere visuel måde, bør vi inkludere række 1 og 2, som henholdsvis række 4 og 5. Det er vigtigt at holde række 1 i 4. position og række 2 i 5. position. Da hvis vi udveksler dem, vil Sarrus-reglen ikke være effektiv.

For at beregne determinanten ville vores matrix være som følger:

For at fortsætte med beregningen multiplicerer vi elementerne i de vigtigste diagonaler. Efterkommere der starter fra venstre vil have et positivt tegn; mens de inverse diagonaler, der starter fra højre, har et negativt tegn.

I dette eksempel ville de blå have et positivt tegn og de røde med et negativt tegn. Den endelige beregning af Sarrus-reglen ville se sådan ud:

Typer af determinanter

Bestemmende af dimension 1

Hvis matrixens dimension er 1, ser matrixen sådan ud: A = (a)

Derfor vil dens determinant være som følger: det (A) = -A- = a

I resumé er determinanten af ​​matrix A lig med den absolutte værdi af matrix A, som i dette tilfælde er en.

Bestemmende af dimension 2

Hvis vi videregiver til matricer med dimension 2, får vi matrixer af typen:

Hvor dens determinant er defineret som:

Opløsningen af ​​denne determinant er baseret på multiplikationen af ​​dens hoveddiagonal, hvorved produktet af dens inverse diagonal trækkes fra.

Som en mnemonic kan vi bruge følgende diagram til at huske dens determinant:

Bestemmende af dimension 3

Hvis dimensionen af ​​matrixen er 3, ville den resulterende matrix være af denne type:

Bestemmelsen af ​​denne matrix ville blive løst gennem Sarrus's regel på denne måde:

Referencer

1. Jenny Olive (1998) Maths: A Student's Survival Guide. Cambridge University Press.
2. Richard J. Brown (2012) 30-sekunders matematik: De 50 mest mind-ekspanderende teorier i matematik. Ivy Press Limited.
3. Dave Kirkby (2004) Maths Connect. Heinemann.
4. Awol Assen (2013) En undersøgelse af beregningen af ​​determinanterne for en 3 × 3-matrix. Lap Lambert Academic Publishing.
5. Anthony Nicolaides (1994) Determinants & Matrices. Godkendt publikation.
6. Jesse Russell (2012) Rule of Sarrus.
7. M. Casteleiro Villalba (2004) Introduktion til lineær algebra. ESIC Redaktion.