SÆT TEORI: EGENSKABER, ELEMENTER, EKSEMPLER, ØVELSER - MATEMATIK - 2025

Den mængdelære er en gren af matematisk logik-som er ansvarlig for studiet af relationer mellem enheder kaldet sæt. Sættene er kendetegnet ved at være samlinger af genstande af samme art. Nævnte objekter er elementerne i sættet og kan være: tal, bogstaver, geometriske figurer, ord, der repræsenterer objekter, selve objekterne og andre.

Det var Georg Cantor, mod slutningen af ​​det 19. århundrede, der foreslog sætteori. Mens andre bemærkelsesværdige matematikere i det 20. århundrede gjorde deres formalisering: Gottlob Frege, Ernst Zermelo, Bertrand Russell, Adolf Fraenkel blandt andre.

Figur 1. Venn-diagram over sæt A, B og deres skæringspunkt A⋂ B. (Egen uddybning).

Venn-diagrammer er den grafiske måde at repræsentere et sæt på, og det består af en lukket planfigur, som er elementets element i.

For eksempel er der i figur 1 vist to sæt A og B, der har elementer til fælles, elementerne fælles for A og B. Disse danner et nyt sæt kaldet skæringssættet A og B, som er skrevet i formen symbolsk som følger:

A ∩ B

egenskaber

Sættet er et primitivt koncept, som det er i geometri begrebet punkt, linje eller plan. Der er ingen bedre måde at udtrykke konceptet på ved at påpege eksempler:

Sæt E dannet af farverne på Spaniens flag. Denne måde at udtrykke sættet kaldes ved forståelse. Det samme sæt E skrevet efter udvidelse er:

E = {rød, gul}

I dette tilfælde er rød og gul elementer i sæt E. Det skal bemærkes, at elementerne er anført i seler og ikke gentages. For det spanske flag er der tre farvede striber (rød, gul, rød), hvoraf to gentages, men elementerne gentages ikke, når helheden udtrykkes.

Antag, at sættet V dannet af de første tre vokalbogstaver:

V = {a, e, i}

Kraftsættet V, betegnet med P (V), er sætet af alle sæt, der kan dannes med elementerne i V:

P (V) = {{a}, {e}, {i}, {a, e}, {a, i}, {e, i}, {a, e, i}}

Typer sæt

Finit sæt

Det er et sæt, hvor dens elementer kan tælles. Eksempler på endelige sæt er bogstaverne i det spanske alfabet, vokalerne i det spanske, planeterne i solsystemet, blandt andre. Antallet af elementer i et endeligt sæt kaldes dets kardinalitet.

Uendelig sæt

Et uendeligt sæt forstås som alt, hvad antallet af dets elementer er utallige, da uanset hvor stort antallet af dets elementer kan være, er det altid muligt at finde flere elementer.

Et eksempel på et uendeligt sæt er sættet med naturlige tal N, som i udstrakt form udtrykkes som følger:

N = {1, 2, 3, 4, 5,….} Er helt klart et uendeligt sæt, da uanset hvor stort et naturligt antal der er, kan det næste største altid findes i en uendelig proces. Det er klart, at et uendeligt sæt er kardinalitet ∞.

Tomt sæt

Det er det sæt, der ikke indeholder noget element. Det tomme sæt V betegnes med Ø eller af et par taster uden elementer indeni:

V = {} = Ø.

Det tomme sæt er unikt, derfor skal det være forkert at sige "et tomt sæt", den korrekte form er at sige "det tomme sæt".

Blandt egenskaberne for det tomme sæt har vi, at det er en undergruppe af ethvert sæt:

Ø ⊂ A

Yderligere, hvis et sæt er en undergruppe af det tomme sæt, så er nødvendigvis det nævnte sæt vakuumet:

A ⊂ Ø ⇔ A = Ø

Unitary sæt

Et enheds sæt er ethvert sæt, der indeholder et enkelt element. For eksempel er jordens naturlige satellitter et enheds sæt, hvis eneste element er månen. Sættet B med heltal mindre end 2 og større end nul har kun element 1, derfor er det et enheds sæt.

Binært sæt

Et sæt er binært, hvis det kun har to elementer. For eksempel er sætet X, således at x er en reel talløsning af x ^ 2 = 2. Dette sæt med udvidelse er skrevet sådan:

X = {-√2, + √2}

Universal sæt

Det universelle sæt er et sæt, der indeholder andre sæt af samme type eller art. For eksempel er det universelle sæt af naturlige tal sæt med reelle tal. Men de reelle tal er et universelt sæt også af hele tallene og de rationelle tal.

Kerneelementer

- Forhold mellem sæt

I samlinger kan der oprettes forskellige typer forhold mellem dem og deres elementer. Hvis to sæt A og B har nøjagtigt de samme elementer imellem, etableres et ligestillingsforhold, betegnet som følger:

A = B

Hvis alle elementerne i et sæt A hører til et sæt B, men ikke alle elementerne i B hører til A, er der mellem disse sæt en inkluderingsrelation, der betegnes sådan:

A ⊂ B, men B ⊄ A

Ovenstående udtryk lyder: A er en undergruppe af B, men B er ikke en undergruppe af A.

For at indikere, at nogle elementer eller elementer hører til et sæt, anvendes medlemssymbolet ∈, for eksempel for at sige, at x element eller elementer hører til sætet A, skrives symbolsk på denne måde:

x ∈ A

Hvis et element ikke hører til sættet A, skrives denne relation sådan:

og ∉ A

Medlemskabsforholdet eksisterer mellem elementerne i et sæt og sættet, med den eneste undtagelse af kraftsættet, idet kraftsættet er samlingen eller sættet af alle mulige sæt, der kan dannes med elementerne i nævnte sæt.

Antag, at V = {a, e, i}, dets strømforsyning er P (V) = {{a}, {e}, {i}, {a, e}, {a, i}, {e, i}, {a, e, i}}, i dette tilfælde bliver sættet V et element i sættet P (V) og kan skrives:

V ∈ P (V)

- Egenskaber ved inkludering

Den første egenskab ved inklusion fastlægger, at hvert sæt er indeholdt i sig selv, eller med andre ord, at det er en undergruppe af sig selv:

A ⊂ A

Den anden egenskab ved inkludering er transitivitet: Hvis A er en undergruppe af B og B på sin side er en undergruppe af C, så er A en undergruppe af C. I symbolsk form skrives transitivitetsforholdet som følger:

(A ⊂ B) ^ (B ⊂ C) => A ⊂ C

Nedenfor er Venn-diagrammet, der svarer til inkluderingens transitivitet:

Figur 2. (A ⊂ B) ^ (B ⊂ C) => A ⊂ C

- Betjening mellem sæt

Vejkryds

Krydset er en operation mellem to sæt, der giver anledning til et nyt sæt, der hører til det samme universelle sæt som de første to. I den forstand er det en lukket operation.

Symbolisk er krydsoperationen formuleret således:

A⋂B = {x / x∈A ^ x∈B}

Et eksempel er følgende: sæt A for bogstaverne i ordet "elementer" og sæt B for bogstaverne i ordet "gentaget", krydset mellem A og B er skrevet på denne måde:

A⋂B = {e, l, m, n, t, s} ⋂ {r, e, p, t, i, d, o, s} = {e, t, s}. Det universelle sæt U af A, af B og også af A⋂B er sæt med bogstaver i det spanske alfabet.

Union

Samlingen mellem to sæt er det sæt, der dannes af de elementer, der er fælles for de to sæt, og de ikke-fælles elementer i de to sæt. Unionens operation mellem sæt udtrykkes symbolsk på denne måde:

A∪B = {x / x∈A vx∈B}

Forskel

Forskellets funktion for sæt A minus sæt B angives af AB. AB er et nyt sæt dannet af alle de elementer, der er i A, og som ikke hører til B. Symbolisk er det skrevet sådan:

A - B = {x / x ∈ A ^ x ∉ B}

Figur 3. A - B = {x / x ∈ A ^ x ∉ B}

Symmetrisk forskel

Den symmetriske forskel er en operation mellem to sæt, hvor det resulterende sæt består af elementer, der ikke er fælles for de to sæt. Den symmetriske forskel er symbolsk repræsenteret på denne måde:

A⊕B = {x / x∈ (AB) ^ x∈ (BA)}

eksempler

Eksempel 1

Venn-diagrammet er en grafisk måde at repræsentere sæt på. For eksempel er sæt C for bogstaverne i ordet repræsenteret på denne måde:

Eksempel 2

Det er vist nedenfor ved Venn-diagrammer, at vokalsættet i ordet "sæt" er en undergruppe af bogstavsættet i ordet "sæt".

Eksempel 3

Sættet Ñ for bogstaverne i det spanske alfabet er et endeligt sæt, dette sæt med udvidelse er skrevet sådan:

Ñ = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, ñ, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z}, og dens kardinalitet er 27.

Eksempel 4

Sættet V for vokalerne på spansk er en undergruppe af sættet Ñ:

V ⊂ Ñ ​​er derfor et begrænset sæt.

Det endelige sæt V i omfattende form er skrevet på denne måde: V = {a, e, i, o, u}, og dets kardinalitet er 5.

Eksempel 5

Givet sæt A = {2, 4, 6, 8} og B = {1, 2, 4, 7, 9}, bestem AB og BA.

A - B er elementerne i A, der ikke er i B:

A - B = {6, 8}

B - A er elementerne i B, der ikke er i A:

B - A = {1, 7, 9}

Løst øvelser

Øvelse 1

Skriv i symbolsk form og også ved forlængelse setet P med lige naturlige tal mindre end 10.

Løsning: P = {x∈ N / x <10 ^ x mod 2 = 0}

P = {2, 4, 6, 8}

Øvelse 2

Antag, at sættet A, der er dannet af de naturlige tal, der er faktorer på 210, og sættet B, der er dannet af de primære naturlige tal mindre end 9. Bestem ved forlængelse begge sæt, og fastlæg, hvilket forhold der er mellem de to sæt.

Løsning: For at bestemme elementerne i sæt A, skal vi begynde med at finde faktorer for det naturlige nummer 210:

210 = 2 * 3 * 5 * 7

Så skrives sætet A:

A = {2, 3, 5, 7}

Vi betragter nu sæt B, som er primerne mindre end 9. 1 er ikke prim, fordi det ikke opfylder definitionen på prim: "et tal er prim, hvis og kun hvis det har nøjagtigt to divisorer, 1 og tallet selv." De 2 er lige og på samme tid er det primært, fordi det opfylder definitionen på prime, de andre primater mindre end 9 er 3, 5 og 7. Så at sæt B er:

B = {2, 3, 5, 7}

Derfor er de to sæt ens: A = B.

Øvelse 3

Bestem det sæt, hvis elementer x er forskellige fra x.

Løsning: C = {x / x ≠ x}

Da hvert element, nummer eller objekt er lig med sig selv, kan sættet C ikke være andet end det tomme sæt:

C = Ø

Øvelse 4

Lad sættet af N'er med naturlige tal og Z være et sæt heltal. Bestem N ⋂ Z og N ∪ Z.

Løsning:

N ⋂ Z = {x ∈ Z / x ≤ 0} = (-∞, 0]

N ∪ Z = Z fordi N ⊂ Z.

Referencer

1. Garo, M. (2014). Matematik: kvadratiske ligninger: Hvordan man løser en kvadratisk ligning Marilù Garo.
2. Haeussler, EF, & Paul, RS (2003). Matematik til ledelse og økonomi. Pearson Uddannelse.
3. Jiménez, J., Rodríguez, M., Estrada, R. (2005). Matematik 1 SEP. Grænseværdi.
4. Preciado, CT (2005). Matematik Kursus 3. Redaktionel Progreso.
5. Matematik 10 (2018). "Eksempler på endelige sæt". Gendannet fra: matematicas10.net
6. Wikipedia. Sæt teori. Gendannet fra: es.wikipedia.com