TORRICELLIS SÆTNING: HVAD DET BESTÅR AF, FORMLER OG ØVELSER - FYSISK - 2025

Den sætning Torricelli eller princip Torricelli, at hastigheden af væsken, der forlader åbningen i væggen af en tank eller beholder, er identisk med den erhverver et objekt tabes frit fra en højde lig med overfladen fri for væske til hullet.

Sætningen er illustreret i følgende figur:

Illustration af Torricellis sætning. Kilde: self made.

På grund af Torricellis teorem kan vi derefter oplyse, at væskens udgangshastighed gennem en åbning, der er i højden h under væskens frie overflade, er givet ved følgende formel:

Hvor g er tyngdeaccelerationen, og h er højden fra hullet til væskens frie overflade.

Evangelista Torricelli var en fysiker og matematiker født i byen Faenza, Italien i 1608. Torricelli krediteres opfindelsen af ​​kviksølvbarometeret og anerkendes der en tryk enhed kaldet "torr", svarende til en millimeter kviksølv (mm Hg).

Bevis for teorem

I Torricellis teorem og i den formel, der giver hastigheden, antages det, at viskositetstabene er ubetydelige, ligesom i frit fald antages det, at friktionen på grund af luften omkring det faldende objekt er ubetydelig.

Ovenstående antagelse er rimelig i de fleste tilfælde og involverer også bevarelse af mekanisk energi.

For at bevise teoremet finder vi først formlen for hastigheden for et objekt, der frigøres med nul starthastighed, fra den samme højde som væskeoverfladen i tanken.

Princippet om energibesparelse vil blive anvendt for at opnå hastigheden af ​​det faldende objekt lige når det er faldet ned en højde h, der er lig med den fra hullet til den frie overflade.

Da der ikke er friktionstab, er det gyldigt at anvende princippet om bevarelse af mekanisk energi. Antag, at den faldende genstand har masse m, og højden h måles fra væskens udgangsniveau.

Faldende objekt

Når objektet frigøres fra en højde, der er lig med væskens frie overflade, er dens energi kun gravitationspotentiale, da dens hastighed er nul, og dens kinetiske energi er derfor nul. Den potentielle energi Ep gives af:

Ep = mgh

Når den passerer foran hullet, er dens højde nul, så er den potentielle energi nul, så den har kun kinetisk energi Ec givet af:

Ec = ½ mv ²

Da energien spares Ep = Ec fra det, der opnås:

½ mv ² = mgh

Når man løser hastigheden v, opnås derefter Torricelli-formlen:

Væske kommer ud af hullet

Derefter finder vi væskeens udgangshastighed gennem hullet for at vise, at den falder sammen med det, der netop blev beregnet for et frit faldende objekt.

Til dette vil vi basere os på Bernoullis princip, der ikke er andet end bevarelse af energi, der tilføres væsker.

Bernoullis princip er formuleret således:

Fortolkningen af ​​denne formel er som følger:

• Det første udtryk repræsenterer væskens kinetiske energi pr. Volumen
• Den anden repræsenterer arbejdet udført ved tryk pr. Enheds tværsnitsareal
• Den tredje repræsenterer den tyngdepotentiale energi pr. Enheds væskeenhed.

Når vi tager udgangspunkt i, at det er en ideel væske under ikke-turbulente forhold med relativt lave hastigheder, er det relevant at bekræfte, at den mekaniske energi pr. Volumenhed i væsken er konstant i alle dens områder eller tværsnit.

I denne formel V er fluidets hastighed, ρ dens vægtfylde, P trykket og z den lodrette position.

Figuren nedenfor viser Torricellis formel fra Bernoullis princip.

Vi anvender Bernoullis formel på den frie overflade af væsken, som vi betegner med (1) og på udgangshullet, som vi betegner med (2). Nulhovedniveauet er valgt i flugt med udløbshullet.

Under den antagelse, at tværsnittet i (1) er meget større end i (2), kan vi derefter antage, at væskens nedstigningshastighed i (1) praktisk talt er ubetydelig.

Af denne grund V ₁ = 0 har været sæt, det tryk, som væsken udsættes i (1) er atmosfærisk tryk, og højden målt fra åbningen er h.

For udløbsafsnittet (2) antager vi, at udløbshastigheden er v, trykket, som væsken udsættes for ved udløbet, også er atmosfærisk tryk, og at udløbshøjden er nul.

Værdierne svarende til sektioner (1) og (2) er substitueret i Bernoullis formel og indstillet lig. Ligestillingen gælder, fordi vi antager, at væsken er ideel, og at der ikke er nogen tyktflydende friktionstab. Når alle betingelserne er blevet forenklet, opnås hastigheden ved udgangshullet.

Boksen ovenfor viser, at det opnåede resultat er det samme som for et frit faldende objekt,

Løst øvelser

Øvelse 1

I) Det lille udløbsrør i en vandtank er 3 m under vandoverfladen. Beregn vandets udgangshastighed.

Løsning:

Følgende figur viser, hvordan Torricellis formel anvendes i dette tilfælde.

Øvelse 2

II) Hvis man antager, at tankens udløbsrør fra den foregående øvelse har en diameter på 1 cm, skal man beregne vandudløbstrømmen.

Løsning:

Strømningshastighed er væskemængden, der forlader pr. Enhedstid, og beregnes simpelthen ved at multiplicere området for udgangsåbningen med udgangshastigheden.

Den følgende figur viser detaljerne i beregningen.

Øvelse 3

III) Bestem, hvor høj den frie overflade af vandet er i en beholder, hvis du ved

at vandet kommer ud ved 10 m / s i et hul i bunden af ​​beholderen.

Løsning:

Selv når hullet er i bunden af ​​beholderen, kan Torricelli-formlen stadig anvendes.

Den følgende figur viser detaljerne i beregningerne.

Referencer

1. Wikipedia. Torricellis sætning.
2. Hewitt, P. Konceptuel fysisk videnskab. Femte udgave.119.
3. Ung, Hugh. 2016. Sears-Zemanskys universitetsfysik med moderne fysik. 14. ed. Pearson. 384.