ELASTISKE CHOK: I ÉN DIMENSION, SPECIELLE TILFÆLDE, ØVELSER - FYSISK - 2025

De elastiske kollisioner eller de elastiske kollisioner er korte, men intense interaktioner mellem genstande, hvori både momentum og kinetisk energi bevares. Nedbrud er meget hyppige begivenheder i naturen: fra subatomære partikler til galakser, til billardkugler og kofanger i forlystelsesparker, de er alle genstande, der kan kollidere.

Under en kollision eller kollision er kræfterne i interaktion mellem genstande meget stærke, meget mere end dem, der kan handle eksternt. På denne måde kan det siges, at partiklerne under kollisionen danner et isoleret system.

Billardkollisioner kan betragtes som elastiske. Kilde: Pixabay.

I dette tilfælde er det sandt, at:

Fremdriften P _o før kollisionen er den samme som efter kollisionen. Dette gælder for enhver type kollision, både elastisk og uelastisk.

Overvej nu følgende: Under en kollision gennemgår objekter en vis deformation. Når chokket er elastisk, vender genstande hurtigt tilbage til deres oprindelige form.

Bevaring af kinetisk energi

Normalt bruges en del af energien fra genstande under varme, deformation, lyd og nogle gange endda til at producere lys. Så den kinetiske energi i systemet efter kollisionen er mindre end den oprindelige kinetiske energi.

Når den kinetiske energi K bevares:

Hvilket betyder, at kræfterne, der virker under kollisionen, er konservative. Under kollisionen omdannes den kinetiske energi kort til potentiel energi og derefter tilbage til kinetisk energi. De respektive kinetiske energier varierer, men summen forbliver konstant.

Perfekt elastiske kollisioner er sjældne, selvom billardkugler er en ret god tilnærmelse, ligesom kollisioner, der forekommer mellem ideelle gasmolekyler.

Elastiske stød i én dimension

Lad os undersøge en kollision af to partikler af dette i en enkelt dimension; det vil sige, de interagerende partikler bevæger sig, siger, langs x-aksen. Antag, at de har masser m ₁ og m ₂. Begyndelseshastighederne for hver er henholdsvis u _{1 og} u ₂. De endelige hastigheder er v ₁ og v ₂.

Vi kan undvære vektornotationen, da bevægelsen udføres langs x-aksen, men tegnene (-) og (+) angiver bevægelsesretningen. Til venstre er negativ og til højre positiv efter konvention.

-Formel til elastisk kollision

For mængden af ​​bevægelse

Til kinetisk energi

Så længe masserne og begyndelseshastighederne er kendte, kan ligningerne grupperes igen for at finde de endelige hastigheder.

Problemet er, at det i princippet er nødvendigt at udføre en smule kedelig algebra, da ligningerne for kinetisk energi indeholder kvadraterne for hastighederne, hvilket gør beregningen en smule besværlig. Det ideelle ville være at finde udtryk, der ikke indeholder dem.

Den første er at dispensere fra faktoren ½ og omarrangere begge ligninger på en sådan måde, at der vises et negativt tegn, og masserne kan indregnes:

At blive udtrykt på denne måde:

Forenkling for at fjerne hastighederne i kvadraterne

Nu skal vi bruge den bemærkelsesværdige produktsum ved dens forskel i den anden ligning, med hvilken vi får et udtryk, der ikke indeholder firkanterne, som oprindeligt tilsigtet:

Det næste trin er at erstatte den første ligning i den anden:

Og da udtrykket m ₂ (v ₂ - u ₂) gentages på begge sider af ligestillingen, annulleres nævnte udtryk og forbliver sådan:

Eller endnu bedre:

Endelige hastigheder v

Nu har du to lineære ligninger, som er lettere at arbejde med. Vi lægger dem tilbage under den anden:

Multiplikation af den anden ligning med m ₁ og tilføjelse af term til term er:

Og det er allerede muligt at rydde v ₂. For eksempel:

Særlige tilfælde i elastiske kollisioner

Nu hvor ligninger er tilgængelige for de endelige hastigheder for begge partikler, er det tid til at analysere nogle specielle situationer.

To identiske masser

I dette tilfælde er m ₁ = m ₂ = min:

Partiklerne udveksler simpelthen deres hastigheder efter kollisionen.

To identiske masser, hvoraf den ene oprindeligt var i ro

Igen m ₁ = m ₂ = m og antager u ₁ = 0:

Efter kollisionen får partiklen, som var i ro, den samme hastighed som den partikel, der bevægede sig, og dette stopper igen.

To forskellige masser, en af ​​dem oprindeligt i ro

Antag i dette tilfælde, at u ₁ = 0, men masserne er forskellige:

Hvad hvis m ₁ er meget større end m ₂ ?

Det sker, at m ₁ stadig er i ro, og m ₂ returneres med den samme hastighed, som det påvirkede.

Restitutionskoefficient eller Huygens-Newton-regel

Tidligere blev følgende forhold mellem hastighederne afledt for to objekter i elastisk kollision: u ₁ - u ₂ = v ₂ - v ₁. Disse forskelle er de relative hastigheder før og efter kollisionen. Generelt for en kollision er det sandt, at:

Begrebet relativ hastighed værdsættes bedst, hvis læseren forestiller sig, at han er på en af ​​partiklerne, og fra denne position observerer han den hastighed, hvormed den anden partikel bevæger sig. Ovenstående ligning omskrives på denne måde:

Løst øvelser

-Løst øvelse 1

En billardkugle bevæger sig mod venstre ved 30 cm / s og kolliderer med hinanden med en anden identisk kugle, der bevæger sig mod højre ved 20 cm / s. De to kugler har samme masse, og kollisionen er perfekt elastisk. Find hastigheden af ​​hver bold efter anslag.

Løsning

u ₁ = -30 cm / s

u ₂ = +20 cm / s

Dette er det specielle tilfælde, hvor to identiske masser kolliderer i en dimension elastisk, hvorfor hastighederne udveksles.

v ₁ = +20 cm / s

v ₂ = -30 cm / s

-Løst øvelse 2

Restitutionskoefficienten for en bold, der springer fra jorden, er lig med 0,82. Hvis det falder fra hvile, hvilken brøkdel af sin oprindelige højde når bolden efter at have sprang en gang? Og efter 3 rebounds?

En kugle springer ud fra en fast overflade og mister højden med hver afvisning. Kilde: self made.

Løsning

Jorden kan være genstand 1 i ligningen for restitutionskoefficient. Og det forbliver altid i ro, så:

Med denne hastighed spretter det:

+ -Tegnet viser, at det er en stigende hastighed. Og ifølge den når bolden en maksimal højde på:

Nu vender det tilbage til jorden igen med en hastighed af samme størrelse, men modsat tegn:

Dette opnår en maksimal højde på:

Gå tilbage til jorden med:

Succesfulde afvisning

Hver gang bolden spretter og stiger, ganges hastigheden igen med 0,82:

På dette tidspunkt er h ₃ ca. 30% af h _o. Hvad ville være højden til det 6. bounce uden at skulle foretage så detaljerede beregninger som de foregående?

Det ville være h ₆ = 0,82 ¹² h _o = 0.092h _o o kun 9% af h _o.

-Løst øvelse 3

En 300 g-blok bevæger sig nord ved 50 cm / s og kolliderer med en 200-g-blok mod syd ved 100 cm / s. Antag, at chokket er perfekt elastisk. Find hastighederne efter slag.

Data

m ₁ = 300 g; u ₁ = + 50 cm / s

m ₂ = 200 g; u ₂ = -100 cm / s

-Løst øvelse 4

En masse af m ₁ = 4 kg frigives fra det angivne punkt på friktionsløs spor indtil den støder mod m ₂ = 10 kg i hvile. Hvor høj stiger m ₁ efter kollisionen?

Løsning

Da der ikke er nogen friktion, bevares den mekaniske energi for at finde hastigheden u _1, med hvilken m ₁ rammer m _2. Oprindeligt er den kinetiske energi 0, da m ₁ starter fra hvile. Når den bevæger sig på den vandrette overflade har den ingen højde, så den potentielle energi er 0.

Nu beregnes hastigheden på m ₁ efter kollisionen:

Det negative tegn betyder, at det er returneret. Med denne hastighed stiger den, og den mekaniske energi bevares igen for at finde h ', den højde, den formår at stige op efter kollisionen:

Bemærk, at det ikke vender tilbage til startpunktet i 8 m højde. Den har ikke nok energi, fordi massen m ₁ opgav en del af dens kinetiske energi .

Referencer

1. Giancoli, D. 2006. Fysik: Principper med applikationer. 6 ^th. Ed Prentice Hall. 175-181
2. Rex, A. 2011. Fundamentals of Physics. Pearson. 135-155.
3. Serway, R., Vulle, C. 2011. Fundamentals of Physics. 9 ^na Cengage Learning. 172-182
4. Tipler, P. (2006) Physics for Science and Technology. 5. udgave Bind 1. Redaktionel gengældelse. 217-238
5. Tippens, P. 2011. Fysik: koncepter og applikationer. 7. udgave. MacGraw Hill. 185-195