POISSONS FORHOLD: KOEFFICIENT, FORMLER, VÆRDIER, EKSEMPLER - FYSISK - 2025

Den Poisson 's forhold er en dimensionsløs størrelse, der er karakteristisk for alle materialer. Det er en indikation af deformation af et stykke materiale inden påføring af visse kræfter.

Når et stykke materiale, der udsættes for en spænding, eller en kompression, gennemgår en deformation, er forholdet mellem den tværgående deformation og den langsgående deformation netop Poisson-forholdet.

Figur 1. Poissons forhold måler forholdet mellem langsgående strækning og tværgående indsnævring. (Udarbejdet af Ricardo Pérez)

F.eks. Strækker en gummicylinder, der udsættes for spænding ved dens ender i længderetningen, men indsnævres på tværs. Figur 1 viser en bjælke, hvis oprindelige dimensioner er: længde L og diameter D.

Stangen udsættes for en spænding T i dens ender, og som en konsekvens af denne spænding gennemgår den en strækning, så den nye længde er L '> L. Men når den strækkes, bliver dens diameter også indsnævret til den nye værdi: D '<D.

Kvotienten mellem strækningen (positiv) og indsnævringen (negativ) ganget med (-1) er et positivt tal mellem 0 og 0,5. Dette tal er det såkaldte Poissons forhold ν (græsk bogstav nu).

Poissons forholdsformel

For at beregne Poissons forhold er det nødvendigt at bestemme den langsgående og tværgående stamme.

Den langsgående stamme ε _L er strækningen divideret med den oprindelige længde:

ε _L = (L '- L) / L

Tilsvarende er den tværgående stamme ε _T den radiale indsnævring divideret med den oprindelige diameter:

ε _T = (D '- D) / D

Derfor beregnes Poissons forhold ved hjælp af følgende formel:

v = - ε _T / ε _L

Forhold til modulus for elasticitet og modulus af stivhed

Poissons forhold v er relateret til elasticitetsmodul E (eller Youngs modul) og stivhed G's modul med følgende formel:

Poissons forholdsværdi for materialer

Figur 2. Rustfrit stål har et Poissons forhold mellem 0,30 og 0,31. Kilde: Pixabay.

Beregningseksempler

Eksempel 1

En stang af et bestemt plastmateriale har en længde på 150 mm og en cirkulær sektion på 20 mm i diameter. Når den udsættes for en kompressionskraft F på 612,25 kg-f, observeres en forkortelse på 14 mm og samtidig en stigning på 0,85 mm i stangens diameter.

Beregn:

a) Langsgående belastning.

b) Den tværgående stamme.

c) Poissons forhold mellem dette materiale.

d) Youngs elasticitetsmodul svarende til materialet.

e) Stivhedsmodulet for den plast.

Løsning på

Husk, at den langsgående stamme εL er strækningen divideret med den oprindelige længde:

εL = (L '- L) / L

eL = (-14 mm) / 150 mm = -0,0933

Bemærk, at den langsgående stamme er dimensionsløs, og i dette tilfælde var den negativ, fordi der var et fald i dens langsgående dimension.

Løsning b

Tilsvarende er den tværgående stamme εT den radiale koniske del, divideret med den originale diameter:

εT = (D '- D) / D

eT = (+0,85 mm) / 20 mm = 0,0425

Den tværgående stamme var positiv, fordi der har været en stigning i stangens diameter.

Opløsning c

Til beregning af Poissons forhold må vi huske, at det er defineret som det negative af kvotienten mellem den tværgående deformation og den langsgående deformation:

v = - εT / εL

v = - 0,0425 / (-0,0933) = 0,4554

Det skal huskes, at Poissons forhold er et positivt dimensionerfrit tal, og for de fleste materialer er det mellem 0 og 0,5.

Opløsning d

Youngs elasticitetsmodul, betegnet med bogstavet E, er den konstante proportionalitet i Hookes lov. Ved E er den normale stress σL relateret til stammen εL som følger:

σL = E εL

Den normale spænding er defineret som kvotienten mellem den normale kraft (i dette tilfælde parallelt med stangens akse) og tværsnitsarealet:

σL = F / A = F / (π / 4 * D ^ 2)

I denne øvelse er kraften F 612,25 kg-f, som skal konverteres til newton, som er SI-kraftenheden:

F = 612,25 kg-f = 612,25 * 9,8 N = 6000 N = 6 kN

Tværsnittet af område A er på sin side:

A = (π / 4 * D ^ 2) = (3.1416 / 4) * (20 * 10 ^ -3 m) ^ 2 = 3.1416 * 10 ^ -4 m ^ 2

Endelig er den normale stress, der påføres stangen:

σL = F / A = 6000 N / 3,1416 * 10 ^ -4 m ^ 2 = 19,098,593 Pa = 19,098 MPa

For at beregne Youngs elasticitetsmodul løser vi for E fra Hookes lov σL = E εL:

E = σL / εL = 19.098.593 Pa / 0.0933 = 204,7 MPa

Løsning e

Modulus for stivhed G er relateret til Youngs modul E og Poissons forhold v ved denne formel:

E / (2 G) = 1 + v

Derfra kan vi løse for G:

G = E / (2 (1 + v)) = 204,7 MPa / (2 (1 + 0,4554)) = 70,33 MPa

Eksempel 2

Der er et kobberkabel med en diameter på 4 mm og 1 m lang. Når vi kender til, at Youngs kobbermodul er 110.000 MPa, og at dens Poissons forhold er 0,34, skal du estimere den strækning og indsnævring i diameter, som ledningen gennemgår, når en vægt på 100 kg-f hænges på den.

Løsning

For det første er det nødvendigt at beregne den normale trækspænding, som vægten udøver på ledningen, efter denne formel:

σL = F / A = F / (π / 4 * D ^ 2)

Kraften F er 980 N, og tværsnitsarealet er:

A = (π / 4 * D ^ 2) = (3.1416 / 4) * (4 * 10 ^ -3 m) ^ 2 = 1.2566 * 10 ^ -5 m ^ 2

Så er trækspændingen:

σL = 980 N / 1,2566 * 10 ^ -5 m ^ 2 = 77,986.000 Pa

Beregning af trådstrøm

Youngs elasticitetsmodul, betegnet med bogstavet E, er proportionalitetskonstanten i Hookes lov, der relaterer det normale stress σL til stammen εL:

σL = E εL

Derfra kan kobbertrådens langsgående belastning løses:

εL = σL / E = 77,986 MPa / 110000 MPa = 7,09 * 10 ^ -4

Beregning af tværgående stamme

På den anden side, for at kende den tværgående stamme, anvendes Poissons forhold:

v = - εT / εL

Endelig er den tværgående stamme:

eT = –ν εL = - 0,34 * 7,09 * 10 ^ -4 = -2,41 * 10 ^ -4

Beregning af absolut kabelstræk

Endelig, for at kende den absolutte strækning af kablet, skal følgende forhold anvendes:

ΔL = εL * L = 7,09 * 10 ^ -4 * 1 m = 7,09 * 10 ^ -4 m = 0,709 mm

Det vil sige, med den vægt strækkede kablet næppe 0,709 millimeter.

Beregning af fald i diameter

For at opnå den absolutte krympning i diameter bruger vi følgende formel:

ΔD = εT * D = -2,41 * 10 ^ -4 * 4 mm = -9,64 * 10 ^ -4 mm = -0.000964 millimeter.

Denne indsnævring i diameter er så lille, at det er vanskeligt at se med det blotte øje, selv dens måling kræver et instrument med høj præcision.

Referencer

1. Øl F. Mekanik af materialer. 5.. Edition. 2010. Mc Graw Hill. 1-130.
2. Hibbeler R. Mekanik af materialer. Ottende udgave. Prentice Hall. 2011. 3-60.
3. Gere J. Mekanik af materialer. Ottende udgave. Cengage Learning. 4-220.
4. Giancoli, D. 2006. Fysik: Principper med applikationer. 6. udg. Prentice Hall. 238-242.
5. Valera Negrete, J. 2005. Noter om generel fysik. UNAM. 87-98.