- Hvad er restitutionskoefficienten for?
- momentum
- Energi og restitutionskoefficient
- Hvordan beregnes restitutionskoefficienten?
- Eksempel
- Løsning
- Referencer
Den Restitutionskoefficienten er kvotienten mellem den relative hastighed af tilbagetrækning og den relative hastighed for tilgang af to kolliderende organer. Når legeme er samlet efter kollisionen, er denne kvotient nul. Og enhed er værd i tilfælde af, at kollisionen er perfekt elastisk.
Antag at to faste kugler med henholdsvis masse M1 og M2, der kolliderer. Lige inden kollisionen havde kuglerne hastighederne V1 og V2 med hensyn til en bestemt inertial referenceramme. Lige efter kollisionen skifter deres hastighed til V1 ' og V2'.
Figur 1. Kollision af to sfærer af masserne M1 og M2 og deres restitutionskoefficient e. Udarbejdet af Ricardo Pérez.
Fed skrift er placeret i hastighederne for at indikere, at de er vektormængder.
Eksperimenter viser, at enhver kollision opfylder følgende forhold:
V1 ' - V2' = -e (V1 - V2)
Hvor e er et reelt tal mellem 0 og 1, kaldet restitutionskoefficienten for kollisionen. Ovenstående udtryk fortolkes således:
Den relative hastighed af to partikler inden kollisionen er proportional med den relative hastighed af de to partikler efter kollisionen, proportionalitetskonstanten er (-e), hvor e er restitutionskoefficienten for kollisionen.
Hvad er restitutionskoefficienten for?
Nyttigheden af denne koefficient ligger i at kende graden af inelasticitet ved en kollision. I tilfælde af, at kollisionen er perfekt elastisk, vil koefficienten være 1, mens koefficienten i en fuldstændigt uelastisk kollision er 0, da i dette tilfælde er den relative hastighed efter kollisionen nul.
Omvendt, hvis restitutionskoefficienten for en kollision og hastigheden af partiklerne, inden den er kendt, kan hastighederne efter denne kollision forudses.
momentum
I kollisioner er der ud over forholdet, der er etableret af restitutionskoefficienten, et andet grundlæggende forhold, som er bevarelsen af momentum.
Momentum p af en partikel, eller momentum som det også kaldes, er produktet af partikelens masse M og dens hastighed V. Det vil sige momentum p er en vektormængde.
I kollisioner er systemets lineære momentum P det samme lige før og lige efter kollisionen, fordi de ydre kræfter er ubetydelige sammenlignet med de korte, men intense interne interaktionskræfter under kollisionen. Men bevarelsen af systemets momentum P er ikke nok til at løse det generelle problem med kollisionen.
I det tidligere nævnte tilfælde, det af de to sammenfaldende sfærer af masserne M1 og M2, er bevarelsen af lineær momentum skrevet således:
M1 V1 + M2 V2 = M1 V1 ' + M2 V2'.
Der er ingen måde at løse kollisionsproblemet, hvis restitutionskoefficienten ikke er kendt. Bevarelse af momentum er, selvom det er nødvendigt, utilstrækkeligt til at forudsige hastigheder efter kollision.
Når et problem siger, at kropperne forbliver i bevægelse efter kollisionen, siger det implicit, at restitutionskoefficienten er 0.
Figur 2. I billardkugler er der kollisioner med en restitutionskoefficient, der er lidt mindre end 1. Kilde: Pixabay.
Energi og restitutionskoefficient
Den anden vigtige fysiske mængde, der er involveret i kollisioner, er energi. Under kollisioner er der udveksling af kinetisk energi, potentiel energi og andre typer energi, såsom varmeenergi.
Før og efter kollisionen er den potentielle energi i interaktion praktisk talt nul, så energibalancen involverer den kinetiske energi fra partiklerne før og efter og en mængde Q kaldet spredt energi.
For de to kolliderende massesfærer M1 og M2 skrives energibalancen før og efter kollisionen som følger:
½ M1 V1 ^ 2 + ½ M2 V2 ^ 2 = ½ M1 V1 ' ^ 2 + ½ M2 V2' ^ 2 + Q
Når interaktionskræfterne under kollisionen er rent konservative, sker det, at den samlede kinetiske energi af de kolliderende partikler bevares, det vil sige, at den er den samme før og efter kollisionen (Q = 0). Når dette sker, siges kollisionen at være perfekt elastisk.
I tilfælde af elastisk kollision bortledes ingen energi. Og også restitutionskoefficienten opfylder: e = 1.
Tværtimod i de uelastiske kollisioner Q ≠ 0 og 0 ≤ e <1. Vi ved for eksempel, at kollisionen mellem billardkugler ikke er perfekt elastisk, fordi lyden, der udsendes under påvirkningen, er en del af den spredte energi.
For at et kollisionsproblem skal kunne bestemmes perfekt, er det nødvendigt at kende restitutionskoefficienten, eller alternativt mængden af energi, der spredes under kollisionen.
Restitutionskoefficient afhænger af arten og typen af interaktion mellem de to kroppe under kollisionen.
På sin side definerer kroppens relative hastighed inden kollisionen intensiteten af interaktionen og dermed dens indflydelse på restitutionskoefficienten.
Hvordan beregnes restitutionskoefficienten?
For at illustrere, hvordan koefficienten for restitution af en kollision beregnes, vil vi tage en simpel sag:
Antag, at kollisionen mellem to kugler med masser M1 = 1 kg og M2 = 2 kg bevæger sig på en lige skinne uden friktion (som i figur 1).
Den første sfære rammer med den første hastighed V1 = 1 m / s på den anden, der oprindeligt er i hvile, det vil sige V2 = 0 m / s.
Efter kollisionen bevæger de sig sådan: det første stopper (V1 '= 0 m / s) og det andet bevæger sig til højre med hastighed V2' = 1/2 m / s.
For at beregne restitutionskoefficienten i denne kollision anvender vi forholdet:
V1 '- V2' = -e ( V1 - V2 )
0 m / s - 1/2 m / s = - e (1 m / s - 0 m / s) => - 1/2 = - e => e = 1/2.
Eksempel
I den endimensionelle kollision af de to sfærer i det foregående afsnit blev dens restitutionskoefficient beregnet, hvilket resulterede i e = ½.
Da e ≠ 1 er kollisionen ikke elastisk, dvs. den kinetiske energi i systemet bevares ikke, og der er en vis mængde spredt energi Q (for eksempel opvarmning af kuglerne på grund af kollisionen).
Bestem værdien af den energi, der er spredt i Joules. Beregn også den procentvise fraktion af energi, der er spredt.
Løsning
Den oprindelige kinetiske energi i sfære 1 er:
K1i = ½ M1 V1 ^ 2 = ½ 1 kg (1 m / s) ^ 2 = ½ J
mens sfære 2 er nul, fordi den oprindeligt er i hvile.
Derefter er systemets oprindelige kinetiske energi Ki = ½ J.
Efter kollisionen bevæger kun den anden sfære sig med hastigheden V2 '= ½ m / s, så systemets endelige kinetiske energi vil være:
Kf = ½ M2 V2 '^ 2 = ½ 2 kg (½ m / s) ^ 2 = ¼ J
Det vil sige, den energi, der spredes ved kollisionen, er:
Q = Ki - Kf = (½ J - ¼ J) = 1/4 J
Og den brøkdel af energi, der spredes i denne kollision, beregnes som følger:
f = Q / Ki = ¼ / ½ = 0,5, det vil sige, at 50% af energien i systemet er blevet spredt på grund af den uelastiske kollision, hvis restitutionskoefficient er 0,5.
Referencer
- Bauer, W. 2011. Fysik til ingeniørvidenskab og videnskaber. Bind 1. Mc Graw Hill.
- Figueroa, D. 2005. Series: Physics for Sciences and Engineering. Bind 1. Kinematik. Redigeret af Douglas Figueroa (USB).
- Knight, R. 2017. Fysik for forskere og teknik: en strategi-tilgang. Pearson.
- Sears, Zemansky. 2016. Universitetsfysik med moderne fysik. 14th. Udgave 1.
- Wikipedia. Bevægelsesmængde gendannet fra: en.wikipedia.org.