Den Binomialfordelingen er en sandsynlighedsfordeling, hvorved sandsynligheden for forekomsten af hændelser beregnes, forudsat at de forekommer under to modaliteter: succes eller fiasko.
Disse betegnelser (succes eller fiasko) er helt vilkårlige, da de ikke nødvendigvis betyder gode eller dårlige ting. I løbet af denne artikel vil vi indikere den matematiske form for binomialfordelingen, og derefter vil betydningen af hvert udtryk blive forklaret detaljeret.
Figur 1. Rullen af en matrice er et fænomen, der kan modelleres ved hjælp af binomialfordelingen. Kilde: Pixabay.
ligning
Ligningen er som følger:
Med x = 0, 1, 2, 3….n, hvor:
- P (x) er sandsynligheden for nøjagtigt x succes mellem n forsøg eller forsøg.
- x er den variabel, der beskriver fænomenet med interesse, svarende til antallet af succeser.
- n antallet af forsøg
- p er sandsynligheden for succes i 1 forsøg
- q er sandsynligheden for fiasko i 1 forsøg, derfor er q = 1 - p
Udråbstegn "!" bruges til faktorial notation, så:
0! = 1
en! = 1
to! = 2,1 = 2
3! = 3.2.1 = 6
4! = 4.3.2.1 = 24
5! = 5.4.3.2.1 = 120
Og så videre.
Koncept
Binomialfordelingen er meget passende til at beskrive situationer, hvor en begivenhed opstår eller ikke forekommer. Hvis det forekommer, er det en succes, og hvis ikke, er det en fiasko. Desuden skal sandsynligheden for succes altid forblive konstant.
Der er fænomener, der passer til disse betingelser, for eksempel at kaste en mønt. I dette tilfælde kan vi sige, at "succes" får et ansigt. Sandsynligheden er ½ og ændres ikke, uanset hvor mange gange mønten kastes.
Rullen med en ærlig matrice er et andet godt eksempel, såvel som at kategorisere en bestemt produktion i gode stykker og mangelfulde stykker og få en rød i stedet for en sort, når man drejer et hjul.
egenskaber
Vi kan opsummere egenskaberne ved binomialfordelingen som følger:
- Enhver begivenhed eller iagttagelse udvindes fra en uendelig population uden erstatning eller fra en endelig population med udskiftning.
- Kun to muligheder overvejes, gensidigt eksklusivt: succes eller fiasko, som forklaret i starten.
- Sandsynligheden for succes skal være konstant i enhver observation, der foretages.
- Resultatet af enhver begivenhed er uafhængig af enhver anden begivenhed.
- Gennemsnittet for den binomielle distribution er np
- Standardafvigelsen er:
Anvendelseseksempel
Lad os tage en simpel begivenhed, der muligvis får 2 hoveder 5 ved at rulle en ærlig die 3 gange. Hvad er sandsynligheden for, at der i 3 kast kastes 2 hoveder på 5?
Der er flere måder at opnå dette på, for eksempel:
- De to første lanceringer er 5, og den sidste er det ikke.
- Den første og den sidste er 5, men ikke den midterste.
- De sidste to kast er 5, og det første gør det ikke.
Lad os tage den første sekvens, der er beskrevet som et eksempel, og beregne dens sandsynlighed for forekomst. Sandsynligheden for at få 5 hoveder på den første rulle er 1/6, og også på den anden, da de er uafhængige begivenheder.
Sandsynligheden for at få et andet hoved end 5 på den sidste rulle er 1 - 1/6 = 5/6. Derfor er sandsynligheden for, at denne sekvens kommer ud, produktet af sandsynlighederne:
(1/6). (1/6). (5/6) = 5/216 = 0,023
Hvad med de to andre sekvenser? De har den samme sandsynlighed: 0,023.
Og da vi i alt har 3 succesrige sekvenser, vil den samlede sandsynlighed være:
Eksempel 2
Et universitet hævder, at 80% af de studerende på college-holdet studerer. En undersøgelse undersøger den akademiske rekord for 20 studerende, der tilhører det nævnte basketboldhold, der tilmeldte sig universitetet for nogen tid siden.
Af disse 20 studerende afsluttede 11 deres studier og 9 droppede.
Figur 2. Næsten alle studerende, der spiller for collegeholdet. Kilde: Pixabay.
Hvis universitetets erklæring er sandt, bør antallet af studerende, der spiller basketball og kandidater, ud af 20, have en binomial fordeling med n = 20 og p = 0,8. Hvad er sandsynligheden for, at nøjagtigt 11 ud af de 20 spillere skal dimittere?
Løsning
I binomialfordelingen:
Eksempel 3
Forskerne gennemførte en undersøgelse for at afgøre, om der var signifikante forskelle i gradueringsgraden mellem medicinstuderende optaget gennem specielle programmer og medicinstuderende optaget gennem regelmæssige optagelseskriterier.
Det blev konstateret, at gradueringsgraden var 94% for studerende, der blev optaget gennem særlige programmer (baseret på data fra Journal of the American Medical Association).
Hvis 10 af de specialprogrammer studerende er tilfældigt valgt, skal du finde sandsynligheden for, at mindst 9 af dem dimitterede.
b) Ville det være usædvanligt at tilfældigt vælge 10 studerende fra særlige programmer og opdage, at kun 7 af dem har dimitteret?
Løsning
Sandsynligheden for, at en studerende, der er optaget gennem et specielt program, skal dimittere, er 94/100 = 0,94. Vi vælger n = 10 studerende fra de særlige programmer, og vi ønsker at finde ud af sandsynligheden for, at mindst 9 af dem skal eksamineres.
Følgende værdier substitueres derefter i binomialfordelingen:
b)
Referencer
- Berenson, M. 1985. Statistik for ledelse og økonomi. Interamericana SA
- MathWorks. Binomial distribution. Gendannes fra: es.mathworks.com
- Mendenhall, W. 1981. Statistik for ledelse og økonomi. 3rd. udgave. Grupo Redaktion Iberoamérica.
- Moore, D. 2005. Anvendt grundlæggende statistik. 2nd. Edition.
- Triola, M. 2012. Elementær statistik. 11.. Ed. Pearson Uddannelse.
- Wikipedia. Binomial distribution. Gendannet fra: es.wikipedia.org