MATEMATISK FORVENTNING: FORMEL, EGENSKABER, EKSEMPLER, ØVELSE - DUDAS - 2025

Den matematiske forventning eller den forventede værdi af den tilfældige variabel X betegnes som E (X) og er defineret som summen af ​​produktet mellem sandsynligheden for, at en tilfældig begivenhed finder sted, og værdien af ​​nævnte begivenhed.

I matematisk form udtrykkes det som følger:

Figur 1. Matematisk forventning er vidt brugt på aktiemarkedet og inden for forsikring. Kilde: Pixabay.

Hvor x _i er værdien af ​​begivenheden og P (x _i) dens sandsynlighed for forekomst. Summationen strækker sig over alle de værdier, som X indrømmer. Og hvis disse er endelige, konvergeres den angivne sum til værdien E (X), men hvis summen ikke konvergerer, har variablen simpelthen ingen forventet værdi.

Når det er en kontinuerlig variabel x, kan variablen have uendelige værdier, og integralerne erstatter summationerne:

Her repræsenterer f (x) sandsynlighedsdensitetsfunktionen.

Generelt er den matematiske forventning (som er et vægtet gennemsnit) ikke lig med det aritmetiske middelværdi eller gennemsnit, medmindre vi har at gøre med diskrete fordelinger, hvor hver begivenhed er lige sandsynlig. Derefter og først derefter:

Hvor n er antallet af mulige værdier.

Konceptet er meget nyttigt på finansielle markeder og forsikringsselskaber, hvor der ofte mangler sikkerhed, men der er sandsynligheder.

Egenskaber ved matematisk forventning

Følgende skiller sig ud blandt de vigtigste egenskaber ved matematisk forventning:

- Tegn: Hvis X er positiv, vil E (X) også være positiv.

- Forventet værdi af en konstant: den forventede værdi af en reel konstant k er konstanten.

- Linearitet i summen: forventningen til en tilfældig variabel, der igen er summen af ​​to variabler X og Y, er summen af ​​forventningerne.

E (X + Y) = E (X) + E (Y)

- Multiplikation med en konstant: hvis den tilfældige variabel har formen kX, hvor k er en konstant (et reelt tal), kommer den uden for den forventede værdi.

- Forventet værdi af produktet og uafhængighed mellem variabler: Hvis en tilfældig variabel er produktet af de tilfældige variabler X og Y, som er uafhængige, er den forventede værdi af produktet produktet af de forventede værdier.

Generelt, hvis Y = g (X):

- Ordre i forventet værdi: hvis X ≤ Y, så:

Da der er de forventede værdier for hver af dem.

Den matematiske forventning til væddemål

Da den berømte astronom Christian Huygens (1629-1695) ikke observerede himlen, viet han sig til at studere blandt andre discipliner sandsynlighed i hasardspil. Det var han, der introducerede begrebet matematisk håb i sit arbejde i 1656 med titlen: Ræsonnement omkring hasardspil.

Figur 2. Christiaan Huygens (1629-1625) var en strålende og alsidig videnskabsmand, som vi skylder begrebet forventet værdi.

Huygens fandt, at indsatser kunne klassificeres på tre måder, baseret på forventet værdi:

-Spil med fordel: E (X)> 0

- Fair bets: E (X) = 0

-Spil med en ulempe: E (X) <0

Problemet er, at i et hasardspil er den matematiske forventning ikke altid let at beregne. Og når du kan, er resultatet undertiden skuffende for dem, der spekulerer på, om de skal satse eller ej.

Lad os prøve en simpel indsats: hoveder eller haler, og taberen betaler en kaffe på $ 1. Hvad er den forventede værdi af denne indsats?

Nå, sandsynligheden for, at et hoveder rulles er ½, lig med et haler. Den tilfældige variabel er at vinde $ 1 eller tabe $ 1, gevinsten angives med + -tegnet og tabet med tegnet -.

Vi organiserer informationen i en tabel:

Vi multiplicerer værdierne for søjlerne: 1. ½ = ½ og (-1). ½ = -½ og endelig tilføjes resultaterne. Summen er 0, og det er et fair spil, hvor deltagerne hverken vinder eller taber.

Fransk roulette og lotteriet er handicapspil, hvor de fleste spillere taber. Senere er der en lidt mere kompleks indsats i afsnittet om løste øvelser.

eksempler

Her er nogle enkle eksempler, hvor begrebet matematisk forventning er intuitivt og tydeliggør begrebet:

Eksempel 1

Vi starter med at rulle en ærlig dyse. Hvad er den forventede værdi af lanceringen? Hvis dybben er ærlig og har 6 hoveder, er sandsynligheden for, at en hvilken som helst værdi (X = 1, 2, 3… 6) vil rulle 1/6, sådan:

E (X) = 1. (1/6) + 2. (1/6) + 3. (1/6) + 4. (1/6) + 5. (1/6) + 6. (1 / 6) = 21/6 = 3,5

Figur 3. I rullen af ​​en ærlig matrice er den forventede værdi ikke en mulig værdi. Kilde: Pixabay.

Den forventede værdi i dette tilfælde er lig med gennemsnittet, da hvert ansigt har den samme sandsynlighed for at komme ud. Men E (X) er ikke en mulig værdi, da ingen hoveder er værd 3,5. Dette er perfekt muligt i nogle distributioner, selvom resultatet i dette tilfælde ikke hjælper spilleren meget.

Lad os se på et andet eksempel med kaste af to mønter.

Eksempel 2

To ærlige mønter kastes i luften, og vi definerer den tilfældige variabel X som antallet af hoveder, der rulles. De begivenheder, der kan opstå, er følgende:

-Ingen hoveder kommer op: 0 hoveder, der er lig med 2 haler.

-Det kommer 1 hoved og 1 stempel eller kryds.

- To ansigter kommer ud.

Lad C være et hoved og T et segl, prøveområdet der beskriver disse begivenheder er følgende:

S _m = {Seal-Seal; Forsegle-Face; Face-Seal; Face-Face} = {TT, TC, CT, CC}

Sandsynligheden for, at begivenhederne finder sted, er:

P (X = 0) = P (T). P (T) = ½. ½ = ¼

P (X = 1) = P (TC) + P (CT) = P (T). P (C) + P (C). P (T) = ¼ + ¼ = ½

P (X = 2) = P (C). P (C) = ½. ½ = ¼

Tabellen er bygget med de opnåede værdier:

I henhold til definitionen givet i begyndelsen beregnes den matematiske forventning som:

Udskiftning af værdier:

E (X) = 0. ¼ + 1. ½ + 2. ¼ = ½ + ½ = 1

Dette resultat fortolkes som følger: hvis en person har tid nok til at udføre et stort antal eksperimenter ved at kaste de to mønter, forventes det, at han får et hoved på hver kast.

Vi ved dog, at frigivelser med 2 etiketter er perfekt mulige.

Træning løst

Ved at kaste to ærlige mønter foretages følgende indsats: Hvis 2 hoveder kommer ud, vinder du $ 3, hvis 1 hoved kommer ud, vinder du $ 1, men hvis der kommer to frimærker, skal du betale $ 5. Beregn den forventede gevinst ved indsatsen.

Figur 4. Afhængig af indsatsen ændres den matematiske forventning, når man kaster to ærlige mønter. Kilde: Pixabay.

Løsning

Den tilfældige variabel X er de værdier, som pengene tager i indsatsen, og sandsynlighederne blev beregnet i det forrige eksempel, derfor er tabellen over indsatsen:

E (X) = 3. ¼ + 1. ½ + (-5). ¼ = 0

Da den forventede værdi er 0, er dette fair spil, så her forventes det, at spilleren ikke vil vinde og heller ikke tabe. Imidlertid kan indsatsbeløbene ændres for at gøre indsatsen til et handicapspil eller et handicapspil.

Referencer

1. Brase, C. 2009. Forståelig statistik. Houghton Mifflin.
2. Olmedo, F. Introduktion til begrebet forventet værdi eller matematisk forventning om en tilfældig variabel. Gendannes fra: personal.us.es.
3. Statistik LibreTexts. Forventet værdi af diskrete tilfældige variabler. Gendannet fra: stats.libretexts.org.
4. Triola, M. 2010. Elementær statistik. 11.. Ed. Addison Wesley.
5. Walpole, R. 2007. Sandsynlighed og statistik for videnskab og teknik. 8.. Edition. Pearson Uddannelse.