UAFHÆNGIGE BEGIVENHEDER: DEMONSTRATION, EKSEMPLER, ØVELSER - DUDAS - 2025

To begivenheder er uafhængige, når sandsynligheden for, at den ene af dem opstår, ikke er påvirket af det faktum, at den anden forekommer -eller ikke forekommer - i betragtning af at disse begivenheder forekommer tilfældigt.

Denne situation opstår, når processen, der genererer resultatet af begivenhed 1, ikke på nogen måde ændrer sandsynligheden for de mulige resultater af begivenhed 2. Men hvis dette ikke sker, siges begivenhederne at være afhængige.

Figur 1. Farvede kugler bruges ofte til at forklare sandsynligheden for uafhængige begivenheder. Kilde: Pixabay.

En uafhængig hændelsessituation er som følger: Antag, at to seks-sidede terninger er rullet, den ene blå og den anden lyserød. Sandsynligheden for, at en 1 vil rulle på den blå form, er uafhængig af sandsynligheden for, at en 1 vil rulle - eller ikke rulle - på den lyserøde matrice.

Et andet tilfælde af to uafhængige begivenheder er at kaste en mønt to gange i træk. Resultatet af det første kast afhænger ikke af resultatet af det andet og vice versa.

Bevis for to uafhængige begivenheder

For at verificere, at to begivenheder er uafhængige, definerer vi begrebet betinget sandsynlighed for en begivenhed i forhold til en anden. Til dette er det nødvendigt at skelne mellem eksklusive begivenheder og inkluderende begivenheder:

To begivenheder er eksklusive, hvis de mulige værdier eller elementer i begivenhed A ikke har noget til fælles med værdierne eller elementerne i begivenhed B.

I to eksklusive begivenheder er sætet af krydset A med B derfor vakuumet:

Eksklusiv begivenheder: A∩B = Ø

Tværtimod, hvis begivenhederne er inkluderende, kan det ske, at et resultat af begivenhed A også falder sammen med en anden B, hvor A og B er forskellige begivenheder. I dette tilfælde:

Inkluderende begivenheder: A∩B ≠ Ø

Dette fører til, at vi definerer den betingede sandsynlighed for to inkluderende begivenheder, med andre ord sandsynligheden for forekomst af begivenhed A, når begivenhed B forekommer:

P (A¦B) = P (A∩B) / P (B)

Derfor er den betingede sandsynlighed sandsynligheden for, at A og B forekommer divideret med sandsynligheden for, at B. Sandsynligheden for, at B vil forekomme betinget af A, kan også defineres:

P (B¦A) = P (A∩B) / P (A)

Kriterier for at vide, om to begivenheder er uafhængige

Derefter giver vi tre kriterier for at vide, om to begivenheder er uafhængige. Det er nok, at en af ​​de tre er opfyldt, så begivenhedernes uafhængighed demonstreres.

1.- Hvis sandsynligheden for, at A forekommer, når B forekommer, er lig med sandsynligheden for A, er de uafhængige begivenheder:

P (A¦B) = P (A) => A er uafhængig af B

2.- Hvis sandsynligheden for, at B forekommer givet A, er lig med sandsynligheden for B, er der uafhængige begivenheder:

P (B¦A) = P (B) => B er uafhængig af A

3.- Hvis sandsynligheden for, at A og B forekommer, er lig med produktet af sandsynligheden for, at A forekommer, og sandsynligheden for, at B forekommer, er de uafhængige begivenheder. Samtalen er også sand.

P (A∩B) = P (A) P (B) <=> A og B er uafhængige begivenheder.

Eksempler på uafhængige begivenheder

Gummisåler produceret af to forskellige leverandører sammenlignes. Prøverne fra hver producent underkastes adskillige test, hvorfra det konkluderes, om de er inden for specifikationerne.

Figur 2. Variation af gummisåler. Kilde: Pixabay.

Det resulterende resumé af de 252 prøver er som følger:

Producent 1; 160 opfylder specifikationerne; 8 opfylder ikke specifikationerne.

Producent 2; 80 opfylder specifikationerne; 4 opfylder ikke specifikationerne.

Begivenhed A: "at prøven er fra producent 1".

Hændelse B: "at prøven opfylder specifikationerne."

Vi vil gerne vide, om disse begivenheder A og B er uafhængige eller ej, som vi anvender et af de tre kriterier, der er nævnt i det foregående afsnit.

Kriterium: P (B¦A) = P (B) => B er uafhængig af A

P (B) = 240/252 = 0,9523

P (B¦A) = P (A ⋂ B) / P (A) = (160/252) / (168/252) = 0,9523

Konklusion: Begivenheder A og B er uafhængige.

Antag, at hændelse C: "at prøven kommer fra producent 2"

Vil begivenhed B være uafhængig af begivenhed C?

Vi anvender et af kriterierne.

Kriterium: P (B¦C) = P (B) => B er uafhængig af C

P (B¦C) = (80/252) / (84/252) = 0,9523 = P (B)

Baseret på tilgængelige data er sandsynligheden for, at en tilfældigt valgt gummisål opfylder specifikationerne, uafhængig af producenten.

Konverter en uafhængig begivenhed til en afhængig begivenhed

Lad os se på følgende eksempel for at skelne mellem afhængige og uafhængige begivenheder.

Vi har en pose med to hvide chokoladekugler og to sorte kugler. Sandsynligheden for at få en hvid bold eller en sort bold er lige ved første forsøg.

Antag, at resultatet var en købold. Hvis den trukket kugle udskiftes i posen, gentages den oprindelige situation: to hvide kugler og to sorte kugler.

Så i en anden begivenhed eller uafgjort er chancerne for at tegne en køball eller en sort kugle identiske med første gang. Det er derfor uafhængige begivenheder.

Men hvis køballen trukket i den første begivenhed ikke erstattes, fordi vi har spist den, er der i det andet lodtrækning større chancer for at tegne en sort kugle. Sandsynligheden for, at en anden ekstraktion igen får hvidt, er forskellig fra den for den første begivenhed og er betinget af det forrige resultat.

Øvelser

- Øvelse 1

I en kasse lægger vi de 10 kugler i figur 1, hvoraf 2 er grønne, 4 er blå og 4 er hvide. To kugler vælges tilfældigt, en først og en senere. Det bliver bedt om at finde

sandsynligheden for, at ingen af ​​dem er blå, under følgende forhold:

a) Med udskiftning, det vil sige at returnere den første marmor før det andet valg til kassen. Angiv, om det er uafhængige eller afhængige begivenheder.

b) Uden udskiftning på en sådan måde, at den ekstraherede første marmor forlades uden for kassen, når det andet valg foretages. Angiv ligeledes om de er afhængige eller uafhængige begivenheder.

Løsning på

Vi beregner sandsynligheden for, at den første ekstraherede marmor ikke er blå, hvilket er 1 minus sandsynligheden for, at den er blå P (A), eller direkte for, at den ikke er blå, fordi den kom ud grøn eller hvid:

P (A) = 4/10 = 2/5

P (vær ikke blå) = 1 - (2/5) = 3/5

O godt:

P (grøn eller hvid) = 6/10 = 3/5.

Hvis den udpakkede marmor returneres, er alt som før. I dette andet træk er der også en 3/5 sandsynlighed for, at den trukket marmor ikke er blå.

P (ikke blå, ikke blå) = (3/5). (3/5) = 9/25.

Begivenhederne er uafhængige, da den udtrukne marmor blev returneret til kassen, og den første begivenhed ikke påvirker sandsynligheden for forekomst af den anden.

Løsning b

For den første ekstraktion skal du fortsætte som i det foregående afsnit. Sandsynligheden for, at den ikke er blå, er 3/5.

Til den anden ekstraktion har vi 9 kugler i posen, da den første ikke vendte tilbage, men den var ikke blå, derfor i posen er der 9 kugler og 5 ikke blå:

P (grøn eller hvid) = 5/9.

P (ingen er blå) = P (først ikke blå). P (anden ikke blå / først ikke blå) = (3/5). (5/9) = 1/3

I dette tilfælde er de ikke uafhængige begivenheder, da den første begivenhed forudsætter den anden.

- Øvelse 2

En butik har 15 skjorter i tre størrelser: 3 små, 6 mellemstore og 6 store. 2 skjorter er tilfældigt valgt.

a) Hvad er sandsynligheden for, at begge udvalgte skjorter er små, hvis en tages først og uden at erstatte en anden i partiet?

b) Hvad er sandsynligheden for, at begge udvalgte skjorter er små, hvis den ene tegnes først, udskiftes i batch, og den anden fjernes?

Løsning på

Her er to begivenheder:

Begivenhed A: den første valgte shirt er lille

Begivenhed B: den anden valgte skjorte er lille

Sandsynligheden for, at begivenhed A finder sted, er: P (A) = 3/15

Sandsynligheden for, at hændelse B finder sted, er: P (B) = 2/14, fordi en skjorte allerede var fjernet (14 tilbage), men derudover ønskes begivenhed A at blive opfyldt, den første skjorte, der er fjernet, skal være lille og derfor begge er 2 små.

Det vil sige, at sandsynligheden for, at A og B vil være et produkt af sandsynlighederne, er:

P (A og B) = P (B¦A) P (A) = (2/14) (3/15) = 0,029

Derfor er sandsynligheden for, at hændelse A og B forekommer, lig med det produkt, som hændelse A forekommer, gange gange sandsynligheden for, at hændelse B finder sted, hvis hændelse A.

Det skal bemærkes, at:

P (B¦A) = 2/14

Sandsynligheden for, at hændelse B forekommer, uanset om begivenhed A forekommer eller ej, vil være:

P (B) = (2/14) hvis den første var lille, eller P (B) = 3/14, hvis den første ikke var lille.

Generelt kan følgende konkluderes:

P (B¦A) er ikke lig med P (B) => B er ikke uafhængig af A

Løsning b

Igen er der to begivenheder:

Begivenhed A: den første valgte shirt er lille

Begivenhed B: den anden valgte skjorte er lille

P (A) = 3/15

Husk, at uanset resultatet erstattes den skjorte, der er trukket fra bunken, og igen en træk trukket tilfældigt. Sandsynligheden for, at hændelse B forekommer, hvis hændelse A opstod, er:

P (B¦A) = 3/15

Sandsynligheden for, at begivenheder A og B finder sted, er:

P (A og B) = P (B¦A) P (A) = (3/15) (3/15) = 0,04

Noter det:

P (B¦A) er lig med P (B) => B er uafhængig af A.

- Øvelse 3

Overvej to uafhængige begivenheder A og B. Det vides, at sandsynligheden for, at hændelse A finder sted, er 0,2, og sandsynligheden for, at hændelse B finder sted, er 0,3. Hvad er sandsynligheden for, at begge begivenheder opstår?

Løsning 2

Når man ved, at begivenhederne er uafhængige, vides det, at sandsynligheden for, at begge begivenheder opstår, er produktet af de individuelle sandsynligheder. Det vil sige, P (A∩B) = P (A) P (B) = 0,2 * 0,3 = 0,06

Bemærk, at det er en sandsynlighed langt mindre end sandsynligheden for, at hver begivenhed vil finde sted uanset resultatet af den anden. Eller sagt på en anden måde, meget lavere end de individuelle odds.

Referencer

1. Berenson, M. 1985. Statistik for ledelse og økonomi. Interamericana SA 126-127.
2. Monterrey Institute. Sandsynlighed for uafhængige begivenheder. Gendannes fra: monterreyinstitute.org
3. Matematiklærer. Uafhængige begivenheder. Gendannes fra: youtube.com
4. Superprof. Typer af begivenheder, afhængige begivenheder. Gendannes fra: superprof.es
5. Virtuel tutor. Sandsynlighed. Gendannes fra: vitutor.net
6. Wikipedia. Uafhængighed (sandsynlighed). Gendannet fra: wikipedia.com