MAGNETISK INDUKTION: FORMLER, HVORDAN DEN BEREGNES OG EKSEMPLER - FYSISK - 2025

Den magnetiske induktion eller magnetiske fluxdensitet ændres miljøet forårsaget af tilstedeværelsen af ​​elektriske strømme. De ændrer arten af ​​det rum, der omgiver dem, og skaber et vektorfelt.

Vektormagnetisk induktion, magnetisk fluxdensitet eller simpelthen magnetisk felt B har tre karakteristiske egenskaber: en intensitet udtrykt med en numerisk værdi, en retning og også en fornemmelse givet på hvert punkt i rummet. Det fremhæves med fed skrift for at skelne det fra rent numeriske eller skalære mængder.

Reglen for højre tommelfinger for at bestemme retningen og sansen for den magnetiske induktionsvektor. Kilde: Jfmelero

Den højre tommelfingerregel bruges til at finde retningen og retningen på magnetfeltet forårsaget af en strømførende ledning, som vist på figuren ovenfor.

Tommelfingeren på højre hånd skal pege i strømretningen. Derefter angiver rotationen af ​​de fire resterende fingre formen på B, som i figuren er repræsenteret af de koncentriske røde cirkler.

I et sådant tilfælde er retningen af B tangerer omkredsen koncentrisk med tråden og retningen er mod uret.

Den magnetiske induktion B i det internationale system måles Tesla (T), men det er hyppigere at måle det i en anden enhed kaldet Gauss (G). Begge enheder blev navngivet til ære for Nikola Tesla (1856-1943) og Carl Friedrich Gauss (1777-1855) for deres ekstraordinære bidrag til videnskaben om elektricitet og magnetisme.

Hvad er egenskaberne ved magnetisk induktion eller magnetisk fluxdensitet?

Et kompas, der er placeret nær strømførende ledning, stiller altid op med B. Den danske fysiker Hans Christian Oersted (1777-1851) var den første, der bemærkede dette fænomen i begyndelsen af ​​det 19. århundrede.

Og når strømmen stopper, peger kompasset mod det geografiske nord igen, som altid. Ved omhyggeligt at ændre kompassets placering får du et kort over magnetfeltets form.

Dette kort er altid i form af cirkler, der er koncentriske til ledningen, som beskrevet i starten. På denne måde B.

Selv hvis ledningen ikke er lige, danner vektor B koncentriske cirkler omkring den. For at bestemme feltets form skal du bare forestille dig meget små segmenter af tråd, så små, at de forekommer retlinjede og omgivet af koncentriske cirkler.

Magnetfeltlinjer produceret af en strømførende trådsløjfe. Kilde: Pixabay.com

Dette peger på en vigtig egenskab ved magnetfeltlinjer B: de har ingen begyndelse eller slutning, de er altid lukkede kurver.

Biot-Savarts lov

Det 19. århundrede markerede begyndelsen på tidsalderen for elektricitet og magnetisme i videnskaben. 1820 i nærheden af de franske fysikere opdagede Jean Marie Biot (1774-1862) og Félix Savart (1791-1841) den lov, der bærer hans navn, og som beregner vektoren B.

De gjorde følgende observationer om bidraget til magnetfeltet produceret af et trådssegment med differentiel længde dl med en elektrisk strøm I:

• Størrelsen af B falder med det inverse af kvadratet på afstanden til ledningen (dette giver mening: væk fra ledningen skal intensiteten af B være mindre end ved nærliggende punkter).
• Størrelsen på B er proportional med intensiteten af ​​strømmen I, der passerer gennem ledningen.
• Retningen af B tangerer cirklen med radius r centreret på wiren og retningen af B er givet, som vi sagde, af reglen af højre tommelfinger.

Korsproduktet eller krydsproduktet er det passende matematiske værktøj til at udtrykke det sidste punkt. For at etablere et vektorprodukt er der behov for to vektorer, som er defineret som følger:

• d l er vektoren hvis størrelse er længden af den differentierede segment dl
• r er vektoren, der går fra ledningen til det punkt, hvor du vil finde feltet

formler

Alt dette kan kombineres til et matematisk udtryk:

Proportionalitetskonstanten, der er nødvendig for at etablere lighed, er den magnetiske permeabilitet af frit rum μ _o = 4π.10 ^-7 Tm / A

Dette udtryk er Biot og Savart-loven, som giver os mulighed for at beregne magnetfeltet i et aktuelt segment.

Et sådant segment skal igen være en del af et større og mere lukket kredsløb: en strømfordeling.

Betingelsen for, at kredsløbet er lukket, er nødvendigt for, at en elektrisk strøm kan strømme. Elektrisk strøm kan ikke strømme i åbne kredsløb.

Endelig, for at finde det totale magnetfelt for nævnte strømfordeling, tilføjes alle bidragene for hvert differentielt segment dl. Dette svarer til integrering over hele distributionen:

For at anvende Biot-Savart-loven og beregne den magnetiske induktionsvektor er det nødvendigt at overveje nogle meget vigtige vigtige punkter:

• Krydsproduktet mellem to vektorer resulterer altid i en anden vektor.

• 

• Det er bekvemt at finde vektorproduktet, inden man fortsætter med opløsningen af ​​integralen, hvorefter integralen af ​​hver af de komponenter, der opnås separat, løses.
• Det er nødvendigt at tegne et billede af situationen og etablere et passende koordinatsystem.
• Hver gang eksistensen af ​​en eller anden symmetri observeres, bør den bruges til at spare beregningstid.
• Når der er trekanter, er Pythagorean-sætningen og kosinus-sætningen nyttige til at fastlægge det geometriske forhold mellem variablerne.

Hvordan beregnes det?

Med et praktisk eksempel på beregning af B for en lige tråd, gælder disse henstillinger.

Eksempel

Beregn magnetfeltvektoren, som en meget lang retlinjet tråd producerer på et punkt P i rummet, i henhold til den viste figur.

Geometri nødvendig for at beregne magnetfeltet ved punkt P af en uendelig lang strømtråd. Kilde: self made.

Fra figuren skal du:

• Tråden ledes i en lodret retning, med strøm I flyder opad. Denne retning er + y i koordinatsystemet, hvis oprindelse er på punkt O.

• 

• I et sådant tilfælde er B i punkt P i henhold til reglen for højre tommel rettet mod indersiden af ​​papiret, det er derfor, det er betegnet med en lille cirkel og en "x" i figuren. Denne adresse betragtes som -z.
• Den højre trekant, hvis ben er y og R, angiver begge variabler i henhold til Pythagorean-sætningen: r ² = R ² + y ²

Alt dette erstattes i integralen. Korsproduktet eller korset er angivet med dets størrelse plus dets retning og dets mening:

Det foreslåede integral findes i en tabel med integraler, eller det løses ved en passende trigonometrisk substitution (læseren kan kontrollere resultatet ved hjælp af y = Rtg θ):

Resultatet stemmer overens med det, der var forventet: Størrelsen af ​​feltet falder med afstand R og stiger proportionalt med intensiteten af ​​strømmen I.

Selvom en uendelig lang ledning er en idealisering, er det opnåede udtryk en meget god tilnærmelse til feltet med en lang ledning.

Med Biot og Savarts lov er det muligt at finde magnetfeltet for andre stærkt symmetriske fordelinger, såsom en strømførende cirkulær sløjfe, eller bøjede ledninger, der kombinerer retlinjede og krumme segmenter.

For analytisk at løse det foreslåede integral skal problemet naturligvis have en høj grad af symmetri. Ellers er alternativet at løse integralen numerisk.

Referencer

1. Serway, R., Jewett, J. (2008). Fysik til videnskab og teknik. Bind 2. Mexico. Cengage Learning Editors. 367-372.