YOUNGS MODUL: CALCULUS, APPLIKATIONER, EKSEMPLER, ØVELSER - FYSISK - 2025

The Youngs modul eller elasticitetsmodul er den konstante vedrørende træk- eller kompression med den respektive forøgelse eller formindskelse i længde med objektet under disse kræfter.

Eksterne kræfter, der påføres objekter, kan ikke kun ændre deres bevægelsestilstand, men er også i stand til at ændre deres form eller endda bryde eller sprænge dem.

Figur 1. Kattens bevægelser er fulde af elasticitet og nåde. Kilde: Pixabay.

Youngs modul bruges til at studere de ændringer, der produceres i et materiale, når en træk- eller trykkraft påføres eksternt. Det er meget nyttigt inden for fag som teknik eller arkitektur.

Modellen skylder sit navn til den britiske videnskabsmand Thomas Young (1773-1829), der var den, der gennemførte undersøgelser af materialer, der foreslog et mål for stivheden af ​​forskellige materialer.

Hvad er Youngs model?

Youngs model er et mål for stivhed. I materialer med lav stivhed (rød) er der mere deformation under en forlængelse eller kompressionsbelastning. Tigraan / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0)

Hvor meget kan et objekt deformeres? Dette er noget, som ingeniører ofte ønsker at vide. Svaret afhænger af materialets egenskaber og de dimensioner, det har.

For eksempel kan du sammenligne to stænger lavet af aluminium med forskellige dimensioner. Hver har et andet tværsnitsareal og længde, og begge udsættes for den samme trækstyrke.

Den forventede adfærd vil være følgende:

- Jo større tykkelse (tværsnit) af stangen er, desto mindre strækning.

- Jo længere den første længde er, jo større er den sidste strækning.

Dette giver mening, for erfaringerne viser trods alt, at det at forsøge at deformere et gummibånd ikke er det samme som at prøve at gøre det med en stålstang.

En parameter kaldet materialets elasticitet er en indikation af dets elastiske respons.

Hvordan beregnes det?

Som læge ønskede Young at vide, hvilken rolle arterienes elasticitet spiller i den gode præstation af blodcirkulationen. Fra sine oplevelser konkluderede han følgende empiriske forhold:

Det er muligt grafisk at repræsentere opførsel af et materiale under påføring af stress, som vist i den følgende figur.

Figur 2. Graf over stress versus belastning for et materiale. Kilde: self made.

Fra oprindelse til punkt A

I det første afsnit, der går fra oprindelsen til punkt A, er grafen en lige linje. Hookes lov er gyldig der:

F = kx

Hvor F er størrelsen af ​​den kraft, der returnerer materialet til dets oprindelige tilstand, er x deformationen, som den oplever, og k er en konstant, der afhænger af det genstand, der udsættes for spændingen.

Deformationer, der betragtes her, er små, og opførslen er perfekt elastisk.

Fra A til B

Fra A til B opfører materialet sig også elastisk, men forholdet mellem stress og belastning er ikke længere lineært.

Fra B til C

Mellem punkterne B og C gennemgår materialet permanent deformation, idet det ikke er i stand til at vende tilbage til sin oprindelige tilstand.

Fra C

Hvis materialet fortsætter med at strække sig fra punkt C, går det til sidst i stykker.

Matematisk kan Youngs observationer sammenfattes som følger:

Stress ∝ Stamme

Hvor proportionalitetskonstanten netop er materialets elasticitetsmodul:

Stress = Elasticitetsmodul x Deformation

Der er mange måder at deformere materialer på. De tre mest almindelige typer af stress, som et objekt udsættes for, er:

- Spænding eller strækning.

- Komprimering.

- Klip eller klip.

En stress, at materialer almindeligvis udsættes for, f.eks. I byggeri eller bildele, er trækkraft.

formler

Når et objekt med længde L strækkes eller spændes, udsættes det for en trækkraft, der forårsager en variation i dens længde. Et diagram over denne situation er vist i figur 3.

Dette kræver, at en kraft med styrke F påføres pr. Enhedsareal til dens ender for at forårsage strækning på en sådan måde, at dens nye længde bliver L + DL.

Indsatsen, der gøres for at deformere genstanden, vil være netop denne kraft pr. Enhedsareal, mens den oplevede stamme er ΔL / L.

Figur 3. Et objekt, der udsættes for trækkraft eller strækning, oplever forlængelse. Kilde: self made.

Betegner Youngs modul som Y og ifølge ovenstående:

Svaret ligger i det faktum, at stammen angiver den relative belastning i forhold til den oprindelige længde. Det er ikke det samme som en 1 m bar strækker sig eller krymper med 1 cm, da en 100 meter lang struktur er lige så deformeret med 1 cm.

For korrekt funktion af dele og strukturer er der en tolerance for de tilladte relative deformationer.

Ligning til beregning af deformation

Hvis ovenstående ligning analyseres som følger:

- Jo større tværsnitsareal, desto mindre deformation.

- Jo længere længden er, jo større er deformationen.

- Jo højere Youngs modul, desto lavere er deformationen.

Spændingsenheder svarer til newton / kvadratmeter (N / m ²). De er også presseenhederne, som i det internationale system bærer navnet Pascal. Stammen ΔL / L er på den anden side dimensioneløs, fordi det er kvoten mellem to længder.

Enhederne i det engelske system er lb / in ² og bruges også meget ofte. Konverteringsfaktoren til at gå fra den ene til den anden er: 14,7 lb / in ² = 1,01325 x 10 ⁵ Pa

Dette fører til, at de unges modul også har trykenheder. Endelig kan ovennævnte ligning udtrykkes for at løse for Y:

Inden for materialevidenskab er disse elastiske reaktioner på forskellige anstrengelser vigtige for at vælge det bedst egnede til hver applikation, hvad enten det drejer sig om at fremstille en flyvinge eller en billeje. Egenskaberne ved det materiale, der skal bruges, er afgørende i den forventede respons.

For at vælge det bedste materiale er det nødvendigt at kende de spændinger, som et bestemt stykke vil blive udsat for; og vælg derfor det materiale, der har egenskaberne mest i overensstemmelse med designet.

F.eks. Skal en flyvinge være stærk, let og i stand til at bøjes. Materialerne, der bruges til opførelse af bygninger, skal i høj grad modstå seismiske bevægelser, men de skal også have en vis fleksibilitet.

Ingeniører, der designer flyvinger, og også dem, der vælger byggematerialer, skal gøre brug af spændingsstamningsgrafer som dem, der er vist i figur 2.

Målinger til bestemmelse af de mest relevante elastiske egenskaber ved et materiale kan udføres i specialiserede laboratorier. Der er således standardiserede tests, som prøverne udsættes for, til hvilke forskellige spændinger påføres, og de resulterende deformationer måles derefter.

eksempler

Som allerede nævnt ovenfor afhænger Y ikke af størrelsen eller formen på objektet, men af ​​materialets karakteristika.

En anden meget vigtig note: for at ligningen, der er givet ovenfor, skal være anvendelig, skal materialet være isotropisk, dvs. dets egenskaber skal forblive uændrede i hele.

Ikke alle materialer er isotropiske: der er dem, hvis elastiske respons afhænger af visse retningsbestemte parametre.

Deformationen, der blev analyseret i de foregående segmenter, er kun et af de mange, et materiale kan underkastes. For eksempel, hvad angår kompressionsspænding, er det det modsatte af trækspænding.

De givne ligninger gælder for begge tilfælde, og værdierne af Y er næsten altid de samme (isotrope materialer).

En bemærkelsesværdig undtagelse er beton eller cement, der modstår kompression bedre end trækkraft. Derfor skal den forstærkes, når der kræves modstand mod strækning. Stål er det materiale, der er angivet til dette, da det modstår strækning eller trækkraft meget godt.

Eksempler på strukturer, der udsættes for stress inkluderer bygningssøjler og buer, klassiske bygningselementer i mange gamle og moderne civilisationer.

Figur 4. Pont Julien, en romersk konstruktion fra 3 f.Kr. i det sydlige Frankrig.

Løst øvelser

Øvelse 1

En 2,0 m lang ståltråd i et musikinstrument har en radius på 0,03 mm. Når kablet er under en spænding på 90 N: hvor meget ændres dets længde? Data: Youngs stålmodul er 200 x 10 ⁹ N / m ²

Løsning

Det kræves at beregne tværsnitsarealet A = πR ² = π. (0,03 x ^10-3 m) ² = 2,83 x ^10-9 m ²

Stress er stress pr. Enhedsområde:

Da strengen er under spænding, betyder det, at den forlænges.

Den nye længde er L = L _o + DL, hvor L _o er den oprindelige længde:

L = 2,32 m

Øvelse 2

En marmorsøjle, hvis tværsnitsareal er 2,0 m ^2, understøtter en masse på 25.000 kg. Finde:

a) Indsatsen i rygsøjlen.

b) Sil.

c) Hvor meget kortere er søjlen, hvis dens højde er 12 m?

Løsning

a) Indsatsen i kolonnen skyldes vægten på 25000 kg:

P = mg = 25000 kg x 9,8 m / s ² = 245.000 N

Derfor er indsatsen:

b) Strain er ΔL / L:

c) ΔL er variationen i længden, givet af:

ΔL = 2,45 x ^10-6 x 12 m = 2,94 x10 ^-5 m = 0,0294 mm.

Marmorsøjlen forventes ikke at falde markant. Bemærk, at selv om Youngs modul er lavere i marmor end i stål, og at søjlen også understøtter en meget større kraft, er dens længde næsten uændret.

På den anden side er rebet i det forrige eksempel meget mere mærkbar, selvom stålet har en meget højere Youngs modul.

Dets store tværsnitsareal griber ind i søjlen, og derfor er det langt mindre deformerbart.

Om Thomas Young

1822 portræt af Thomas Young. Thomas Lawrence / Public domain

Elasticitetsmodulet er opkaldt efter Thomas Young (1773-1829), en alsidig britisk videnskabsmand, der gav store bidrag til videnskaben på mange områder.

Som fysiker studerede Young ikke kun lysets bølgenatur, afsløret af det berømte dobbeltsnitseksperiment, men han var også en læge, sprogforsker og hjalp endda med at dechiffrere nogle af de egyptiske hieroglyfer på den berømte Rosetta-sten.

Han var medlem af Royal Society, Royal Swedish Academy of Sciences, American Academy of Arts and Sciences eller Franske Academy of Sciences, blandt andre ædle videnskabelige institutioner.

Det skal dog bemærkes, at konceptet med modellen tidligere var udviklet af Leonhar Euler (1707-1873), og at forskere som Giordano Riccati (1709-1790) allerede havde udført et eksperiment, der ville have brugt Youngs model i praksis..

Referencer

1. Bauer, W. 2011. Fysik til ingeniørvidenskab og videnskaber. Bind 1. Mac Graw Hill. 422-527.
2. Giancoli, D. 2006. Fysik: Principper med applikationer. Sjette udgave. Prentice Hall. 238-249.