ATOMMODEL AF DIRAC JORDAN: KARAKTERISTIKA OG POSTULATER - FYSISK

Den Dirac-Jordan atommodel er den relativistiske generalisering af den Hamiltonske operatør i ligningen, der beskriver quantum bølgefunktion elektron. I modsætning til den foregående model, Schrodingers model, er det ikke nødvendigt at pålægge spin ved hjælp af Pauli-ekskluderingsprincippet, da det forekommer naturligt.

Derudover inkorporerer Dirac-Jordan-modellen relativistiske korrektioner, interaktion mellem spin-orbit og Darwin-betegnelsen, der redegør for den fine struktur i atomets elektroniske niveauer.

Figur 1. Elektroniske orbitaler i brintatomet for de tre første energiniveauer. Kilde: Wikimedia Commons.

Fra 1928 forsøgte forskerne Paul AM Dirac (1902-1984) og Pascual Jordan (1902-1980) at generalisere kvantemekanikken, der blev udviklet af Schrodinger, for at inkludere Einsteins særlige relativitetskorrektioner.

Dirac starter fra Schrodinger-ligningen, der består af en differentiel operatør, kaldet Hamiltonian, der fungerer på en funktion kendt som elektronbølgefunktionen. Schrodinger tog dog ikke hensyn til relativistiske virkninger.

Opløsningerne af bølgefunktionen giver os mulighed for at beregne de regioner, hvor elektronet med en vis sandsynlighed findes omkring kernen. Disse regioner eller zoner kaldes orbitaler og afhænger af bestemte diskrete kvanttal, der definerer elektronens energi og vinkelmoment.

postulater

I kvantemekaniske teorier, hvad enten det er relativistisk eller ej, er der ikke noget begreb om kredsløb, da hverken positionen eller hastigheden af elektronet kan specificeres samtidigt. Desuden fører specificering af en af variablerne til total upræcision i den anden.

Hamiltonian er på sin side en matematisk operator, der virker på kvantebølgefunktionen og er bygget ud fra elektronens energi. For eksempel har et frit elektron total energi E, der afhænger af dets lineære momentum p som dette:

E = (p ²) / 2m

For at konstruere Hamiltonian starter vi med dette udtryk og erstatter p for kvanteoperatøren med momentum:

p = -i ħ ∂ / ∂ r

Det er vigtigt at bemærke, at p- og p- termerne er forskellige, da den første er momentum, og den anden er den differentielle operatør, der er knyttet til momentum.

Derudover er i den imaginære enhed og Plan Planck-konstanten divideret med 2π, på denne måde opnås den Hamiltonianske operator H for den frie elektron:

H = (ħ ² / 2m) ∂ ² / ∂ r ²

For at finde elektronets hamiltonian i atomet skal du tilføje interaktionen mellem elektronet og kernen:

H = (ħ2 / 2m) ∂ ² / ∂ r ² - eΦ (r)

I det forrige udtryk -e er den elektriske ladning af elektronet og Φ (r) det elektrostatiske potentiale produceret af den centrale kerne.

Nu fungerer operatøren H på bølgefunktionen ψ i henhold til Schrodinger-ligningen, der er skrevet sådan:

H ψ = (i ħ ∂ / ∂t) ψ

Diracs fire postulater

Første postulat: den relativistiske bølgeforligning har den samme struktur som Schrodinger-bølgeforligningen, hvad der ændrer sig er H:

H ψ = (i ħ ∂ / ∂t) ψ

Andet postulat: Den Hamiltonianske operatør er konstrueret ud fra Einsteins energimomentforhold, som er skrevet som følger:

E = (m ² c ⁴ + p ² c ²) ^1/2

I den forrige relation, hvis partiklen har momentum p = 0, så har vi den berømte ligning E = mc ^2, der relaterer energien i resten af en hvilken som helst partikel af masse m med lysets hastighed.

Tredje postulat: for at få Hamiltonian-operatøren bruges den samme kvantiseringsregel, der blev brugt i Schrodinger-ligningen:

p = -i ħ ∂ / ∂ r

I begyndelsen var det ikke klart, hvordan man skulle håndtere denne differentierede operatør, der optræder inden for en firkantet rod, så Dirac forsøgte at få en lineær Hamiltonian-operatør på momentumoperatøren og derfra opstod hans fjerde postulat.

Fjerde postulat: For at slippe af med kvadratroten i den relativistiske energiformel foreslog Dirac følgende struktur for E ²:

Naturligvis er det nødvendigt at bestemme alfa-koefficienterne (α0, α1, α2, α3) for at dette skal være sandt.

Dirac's ligning

I sin kompakte form betragtes Dirac-ligningen som en af de smukkeste matematiske ligninger i verden:

Figur 2. Dirac-ligning i kompakt form. Kilde: F. Zapata.

Og det er når det bliver tydeligt, at den konstante alphas ikke kan være skalermængder. Den eneste måde, hvornår ligestillingen af det fjerde postulat opfyldes, er, at de er konstante 4 × 4-matrixer, der er kendt som Dirac-matrixer:

Vi observerer øjeblikkeligt, at bølgefunktionen ophører med at være en skalarfunktion og bliver en vektor med fire komponenter, der kaldes en spinor:

Dirac-Jordan-atomet

For at opnå atommodellen er det nødvendigt at gå fra ligningen af det frie elektron til det for elektronet i det elektromagnetiske felt, der er produceret af atomkernen. Denne interaktion tages i betragtning ved at inkorporere det skalære potentiale Φ og vektorpotentialet A i Hamiltonian:

Bølgefunktionen (spinor), der er resultatet af inkorporering af denne Hamiltonian, har følgende egenskaber:

- Opfylder særlig relativitet, da den tager højde for elektronens indre energi (første periode af den relativistiske Hamiltonian)

- Det har fire løsninger, der svarer til de fire komponenter i spinor

- De to første løsninger svarer til den ene til spin + ½ og den anden til spin - ½

- Endelig forudsiger de to andre løsninger eksistensen af antimaterie, da de svarer til løsningen med positroner med modsatte spins.

Den store fordel ved Dirac-ligningen er, at korrektionerne til den grundlæggende Schrodinger Hamiltonian H (o) kan opdeles i flere udtryk, som vi viser nedenfor:

I det forrige udtryk er V det skalære potentiale, da vektorpotentialet A er nul, hvis det centrale proton antages at være stationært og derfor ikke vises.

Årsagen til, at Dirac-korrektionerne til Schrodinger-løsningerne i bølgefunktionen er subtile. De stammer fra det faktum, at de sidste tre udtryk for den korrigerede Hamiltonian alle er divideret med hastigheden c i lyset i kvadratet, et stort antal, hvilket gør disse udtryk numerisk små.

Relativistiske korrektioner til energispektret

Ved hjælp af Dirac-Jordan-ligningen finder vi korrektioner til energispektret for elektronet i brintatomet. Korrektioner for energi i atomer med mere end et elektron i omtrentlig form findes også gennem en metodologi kendt som forstyrrelsesteori.

På samme måde giver Dirac-modellen os mulighed for at finde den fine struktur korrektion i brint energiniveauet.

Imidlertid opnås endnu mere subtile korrektioner, såsom den hyperfine struktur og lammeskiftet fra mere avancerede modeller såsom kvantefeltteori, som er født netop fra bidrag fra Dirac-modellen.

Følgende figur viser, hvordan Diracs relativistiske korrektioner til energiniveau ser ud:

Figur 3. Korrektioner af Dirac-modellen til niveauerne af brintatom. Kilde: Wikimedia Commons.

For eksempel forudsiger opløsningerne til Dirac-ligningen korrekt et observeret skift på niveau 2s. Det er den velkendte korrektion af fin struktur i Lyman-alpha-linjen i brintspektret (se figur 3).

I øvrigt er den fine struktur det navn, der er givet i atomfysikken til fordoblingen af linjerne i emissionernes spektrum, hvilket er en direkte konsekvens af elektronisk spin.

Figur 4. Fin struktur opdeling for grundtilstanden n = 1 og den første ophidsede tilstand n = 2 i hydrogenatomet. Kilde: R Wirnata. Relativistiske korrektioner til brintlignende atomer. Researchgate.net

Artikler af interesse

De Broglie atommodel.

Chadwicks atommodel.

Heisenberg atommodel.

Perrins atommodel.

Thomsons atommodel.

Daltons atommodel.

Schrödingers atommodel.

Atomisk model af Democritus.

Bohrs atommodel.

Referencer

Atomteori. Gendannet fra wikipedia.org.
Elektronmagnetisk øjeblik. Gendannet fra wikipedia.org.
Quanta: En håndbog med koncepter. (1974). Oxford University Press. Gendannet fra Wikipedia.org.
Dirac Jordan atommodel. Gendannes fra prezi.com.
Det nye kvanteunivers. Cambridge University Press. Gendannet fra Wikipedia.org.

ATOMMODEL AF DIRAC JORDAN: KARAKTERISTIKA OG POSTULATER - FYSISK - 2025