ENDIMENSIONELLE BØLGER: MATEMATISK UDTRYK OG EKSEMPLER - FYSISK - 2025

En- dimensionale bølger er dem, der udbreder sig i en retning, uanset om der er vibrationer i samme retning af formering eller ej. Et godt eksempel på disse er bølgen, der rejser gennem en stram streng som en guitar.

I en tværgående plan bølge vibrerer partiklerne i en lodret retning (de stiger og falder, se den røde pil i figur 1), men det er en-dimensionelt, fordi forstyrrelsen bevæger sig kun i en retning efter den gule pil.

Figur 1: Billedet repræsenterer en en-dimensionel bølge. Bemærk, at kamme og dale danner linjer parallelle med hinanden og vinkelret på forplantningsretningen. Kilde: self made.

Endimensionelle bølger vises ganske ofte i hverdagen. I det følgende afsnit beskrives nogle eksempler på dem og også bølger, der ikke er en-dimensionelt, for klart at fastlægge forskellene.

Eksempler på en-dimensionelle bølger og ikke-en-dimensionelle bølger

En-dimensionelle bølger

Her er nogle eksempler på endimensionelle bølger, der let kan observeres:

- En lydpuls, der bevæger sig gennem en lige stang, da det er en forstyrrelse, der spreder sig langs barens længde.

- En bølge, der bevæger sig gennem en vandkanal, selv når forskydningen af ​​vandoverfladen ikke er parallel med kanalen.

- Bølger, der forplantes på en overflade eller gennem tredimensionelt rum, kan også være en-dimensionelt, så længe deres bølgefronter er plan, der er parallelle med hinanden og bevæger sig i kun en retning.

Ikke-en-dimensionelle bølger

Et eksempel på en ikke-en-dimensionel bølge findes i bølger, der dannes på en stille vandoverflade, når en sten falder. Det er en to-dimensionel bølge med en cylindrisk bølgefront.

Figur 2. Billedet repræsenterer et eksempel på, hvad en endimensional bølge IKKE er. Bemærk, at kamberne og dalene danner cirkler, og udbredelsesretningen er radial udad, det er derefter en cirkulær todimensionel bølge. Kilde: Pixabay.

Et andet eksempel på en ikke-en-dimensionel bølge er lydbølgen, som en fyrværker genererer ved at eksplodere i en bestemt højde. Dette er en tredimensionel bølge med sfæriske bølgefronter.

Matematisk udtryk for en en-dimensionel bølge

Den mest generelle måde at udtrykke en en-dimensionel bølge, der forplantes uden dæmpning i den positive retning af xy-aksen med hastighed v, er matematisk:

I dette udtryk repræsenterer y forstyrrelsen ved position x på tidspunktet t. Formen på bølgen gives af funktionen f. F.eks. Er bølgefunktionen vist i figur 1: y (x, t) = cos (x - vt), og bølgebilledet svarer til det øjeblikke t = 0.

En bølge som denne, beskrevet af en kosinus- eller sinusfunktion, kaldes en harmonisk bølge. Selvom det ikke er den eneste bølgeform, der findes, er det yderst vigtigt, fordi enhver anden bølge kan repræsenteres som en superposition eller sum af harmoniske bølger. Det er den velkendte Fourier-sætning, der er så udbredt til at beskrive signaler af alle slags.

Når bølgen bevæger sig i den negative retning af x-aksen, skal du blot ændre v til -v i argumentet, idet det forlader:

Figur 3 viser animationen af ​​en bølge, der kører til venstre: det er en form kaldet den lorentiske funktion og dens matematiske udtryk er:

I dette eksempel er forplantningshastigheden v = 1, -en pladsenhed for hver tidsenhed-.

Figur 3. Eksempel på en Lorentzian bølge, der kører til venstre med hastighed v = 1. Kilde: Udarbejdet af F. Zapata med Geogebra.

Endimensionel bølgeforligning

Bølgeforligningen er en delvis afledt ligning, hvis opløsning selvfølgelig er en bølge. Det fastlægger det matematiske forhold mellem den rumlige del og den tidsmæssige del af den og har formen:

Arbejdet eksempel

Følgende er det generelle udtryk y (x, t) for en harmonisk bølge:

a) Beskriv den fysiske betydning af parametrene A, k, ω og θo.

b) Hvilken betydning har ± tegnene i kosinus-argumentet?

c) Kontroller, at det givne udtryk faktisk er løsningen på bølgeforligningen i det forrige afsnit, og find hastigheden v for udbredelse.

Løsning på)

Karakteristika for bølgen findes i følgende parametre:

Andet derivat med hensyn til t: ∂ ² og / ∂t ² = -ω ². A ⋅ cos (k ⋅ x ± ω ⋅ t + θo)

Disse resultater er substitueret i bølgeforligningen:

Både A og kosinus er forenklet, da de forekommer på begge sider af ligestillingen og kosinusens argument er det samme, derfor reducerer udtrykket til:

Hvilket tillader at opnå en ligning for v i form af ω og k:

Referencer

1. E-pædagogisk. Ligning af en-dimensionelle harmoniske bølger. Gendannes fra: e-ducativa.catedu.es
2. Hjørnet af fysik. Bølgekurser. Gendannes fra: fisicaparatontos.blogspot.com.
3. Figueroa, D. 2006. Bølger og kvantefysik. Serie: Fysik til videnskab og teknik. Redigeret af Douglas Figueroa. Simon Bolivar University. Caracas Venezuela.
4. Fysik Lab. Bølgebevægelse. Gendannes fra: fisicalab.com.
5. Peirce, A. Foredrag 21: Den en-dimensionelle bølgeforligning: D'Alemberts løsning. Gendannes fra: ubc.ca.
6. Bølgeforligning. Gendannet fra: en.wikipedia.com