CIRKULÆRE PERMUTATIONER: BEVIS, EKSEMPLER, LØSTE ØVELSER - DUDAS - 2025

De cirkulære permutationer er forskellige typer grupperinger af alle elementer i et sæt, når de skal arrangeres i cirkler. I denne type permutation er ordenen vigtig, og elementerne gentages ikke.

Antag f.eks., At du vil vide antallet af forskellige arrays med cifre en til fire, og placere hvert tal på en af ​​rhombusens hjørner. Disse er i alt 6 arrangementer:

Det skal ikke forveksles, at nummer et er i den øverste position af romb i alle tilfælde som en fast position. Cirkulære permutationer ændres ikke ved rotationen af ​​matrixen. Følgende er en enkelt eller den samme permutation:

Demo og formler

I eksemplet med de forskellige 4-cifrede cirkulære arrays placeret ved hjørnene på en rhombus kan antallet af arrays (6) findes på denne måde:

1- Enhver af de fire cifre tages som udgangspunkt ved en hvilken som helst af toppunktene og går videre til næste toppunkt. (det betyder ikke noget, om det drejes med uret eller mod uret)

2- Der er 3 muligheder tilbage til at vælge det andet toppunkt, så er der 2 muligheder for at vælge det tredje toppunkt, og der er selvfølgelig kun en valgmulighed for den fjerde toppunkt.

3- Således opnås antallet af cirkulære permutationer, betegnet med (4 - 1) P (4 - 1), ved hjælp af produktet af valgmulighederne i hver position:

(4 - 1) P (4 - 1) = 3 * 2 * 1 = 6 forskellige 4-cifrede cirkulære arrays.

Generelt er antallet af cirkulære permutationer, der kan opnås med alle n-elementerne i et sæt:

(n - 1) P (n - 1) = (n - 1)! = (n - 1) (n - 2)… (2) (1)

Bemærk, at (n - 1)! Det er kendt som n factorial og forkorter produktet af alle numre fra nummeret (n - 1) til nummer et, inklusive.

eksempler

Eksempel 1

Hvor mange forskellige måder skal 6 personer sidde ved et cirkulært bord?

Du ønsker at finde antallet af forskellige måder, 6 personer kan sidde ved et rundt bord på.

Antal måder at sidde på = (6 - 1) P (6 - 1) = (6 - 1)!

Antal måder at sidde på = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 forskellige måder

Eksempel 2

Hvor mange forskellige måder har 5 personer til at placere sig selv i toppunktet på en femkant?

Man søger antallet af måder, hvorpå 5 personer kan være placeret i hver af hjørnene på en femkant.

Antal måder, der skal placeres = (5 - 1) P (5 - 1) = (5 - 1)!

Antal måder, der skal placeres = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 forskellige måder

Løst øvelser

- Øvelse 1

En juveler erhverver 12 forskellige ædelstene for at placere dem i de punkter i timerne på et ur, som han forbereder på vegne af kongehuset i et europæisk land.

a) Hvor mange forskellige måder har han til at arrangere stenene på uret?

b) Hvor mange forskellige former har den, hvis stenen, der går til kl. 12, er unik?

c) Hvor mange forskellige former, hvis stenen ved 12 er unik og stenene på de andre tre kardinalpunkter, 3, 6 og 9; Er der tre særlige sten, der kan udveksles, og resten af ​​timerne tildeles fra resten af ​​stenene?

Løsninger

a) Antallet af måder at arrangere alle sten på urets omkreds anmodes om; det vil sige antallet af cirkulære arrangementer, der involverer alle tilgængelige sten.

Antal arrangementer på uret = (12 - 1) P (12 - 1) = (12 - 1)!

Antal rettelser på uret = 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Antal arrangementer på uret = 39976800 forskellige former

b) Han spekulerer på, hvor mange forskellige måder at bestille, der ved, at han ved, at stenen på klokken 12 er unik og fast; det vil sige antallet af cirkulære arrangementer, der involverer de resterende 11 sten.

Antal arrangementer på uret = (11 - 1) P (11 - 1) = (11 - 1)!

Antal rettelser på uret = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Antal arrangementer på uret = 3.628.800 forskellige former

c) Endelig søges antallet af måder at bestille alle sten bortset fra klokken 12, der er fastgjort, de 3, 6 og 9 sten, der har 3 sten, der skal tildeles hinanden; det vil sige 3! arrangementmuligheder og antallet af cirkulære arrangementer, der involverer de resterende 8 sten.

Antal rettelser i uret = 3! * = 3! * (8–1)!

Antal arrangementer i uret = (3 * 2 * 1) (8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)

Antal arrangementer på uret = 241920 forskellige former

- Øvelse 2

Styringskomitéen for et selskab består af 8 medlemmer, og de mødes ved et ovalt bord.

a) Hvor mange forskellige former for arrangement omkring bordet har udvalget?

b) Antag, at formanden sidder ved bordet i ethvert udvalg, hvor mange forskellige former for arrangement har resten af ​​udvalget?

c) Antag, at vicepræsidenten og sekretæren sidder på hver side af præsidenten i en hvilken som helst komitéordning Hvor mange forskellige former for arrangement har resten af ​​udvalget?

Løsninger

a) Vi ønsker at finde antallet af forskellige måder at arrangere de 12 medlemmer af udvalget omkring det ovale bord på.

Antal udvalgsaftaler = (12 - 1) P (12 - 1) = (12 - 1)!

Antal udvalgsordninger = 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Antal udvalgsordninger = 39976800 forskellige former

b) Da udvalgsformanden er placeret i en fast position, søges antallet af måder at bestille de resterende 11 udvalgsmedlemmer omkring det ovale bord på.

Antal udvalgsordninger = (11 - 1) P (11 - 1) = (11 - 1)!

Antal udvalgsordninger = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Antal udvalgsordninger = 3.628.800 forskellige former

c) Præsidenten er placeret i en fast stilling, og til siderne er vicepræsidenten og sekretæren med to muligheder for aftale: vicepræsident til højre og sekretær til venstre eller vicepræsident på venstre side og sekretær til højre. Derefter vil du finde antallet af forskellige måder at bestille de resterende 9 medlemmer af udvalget omkring det ovale bord og multiplicere med de 2 former for arrangementer, som vicepræsidenten og sekretæren har.

Antal udvalgsordninger = 2 * = 2 *

Antal udvalgsordninger = 2 * (8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)

Antal udvalgsordninger = 80640 forskellige former

Referencer

1. Boada, A. (2017). Brug af permutation med gentagelse som undervisning i eksperimenter. Vivat Academia Magazine. Gendannes fra researchgate.net.
2. Canavos, G. (1988). Sandsynlighed og statistik. Anvendelser og metoder. McGraw-Hill / Interamericana de México SA de CV
3. Glas, G.; Stanley, J. (1996). Statistiske metoder, der ikke anvendes til samfundsvidenskab. Prentice Hall Hispanoamericana SA
4. Spiegel, M.; Stephens, L. (2008). Statistikker. Fjerde udgave McGraw-Hill / Interamericana de México SA
5. Walpole, R.; Myers, R.; Myers, S.; Ja, Ka. (2007). Sandsynlighed og statistik for ingeniører og forskere. Ottende udgave Pearson Education International Prentice Hall.
6. Webster, A. (2000). Statistikker anvendt for erhvervslivet og økonomien. Tredje udgave McGraw-Hill / Interamericana SA
7. Wikipedia. (2019). Permutation. Gendannet fra en.wikipedia.org.