ARCHIMEDES 'PRINCIP: FORMEL, BEVIS, APPLIKATIONER - FYSISK - 2025

De Archimedes ' princip stater at et organ nedsænket helt eller delvist, af en lodret opadgående kraft kaldet stak, der er ækvivalent med vægten af det væskevolumen fortrænges af kroppen.

Nogle genstande flyder i vand, nogle synker og nogle delvist under vandet. For at synke en strandbold er det nødvendigt at gøre en indsats, fordi straks den kraft opfattes, der prøver at bringe den tilbage til overfladen. I stedet synker en metalkugle hurtigt.

Figur 1. Flydende balloner: Archimedes 'princip i handling. Kilde: Pixabay.

På den anden side virker neddykkede genstande lettere, derfor er der en kraft, der udøves af væsken, der modsætter vægten. Men det kan ikke altid fuldt ud kompensere for tyngdekraften. Og selv om det er mere tydeligt med vand, er gasser også i stand til at producere denne kraft på genstande nedsænket i dem.

Historie

Archimedes fra Syracuse (287-212 f.Kr.) var den, der måske har opdaget dette princip, idet han var en af ​​de største videnskabsfolk i historien. De siger, at kong Hiero II fra Syracuse beordrede en guldsmed til at lave en ny krone til ham, som han gav ham en vis mængde guld.

Archimedes

Da kongen modtog den nye krone, var det den rigtige vægt, men han mistænkte, at guldsmeden havde bedraget ham ved at tilføje sølv i stedet for guld. Hvordan kunne han bevise det uden at ødelægge kronen?

Hiero kaldte Archimedes, hvis ry som en lærd var velkendt, for at hjælpe ham med at løse problemet. Sagnet oplyser, at Archimedes var nedsænket i badekarret, da han fandt svaret, og sådan var hans følelser, at han løb nøgent gennem gaderne i Syracuse for at søge efter kongen og råbte "eureka", hvilket betyder "jeg fandt ham".

Hvad fandt Archimedes? Nå, når man tager et bad, steg vandstanden i badekaret, da han gik ind, hvilket betyder, at et nedsænket krop fortrænger en vis mængde væske.

Og hvis han neddykkede kronen i vand, skal den også fortrænge en vis mængde vand, hvis kronen var lavet af guld og en anden mængde, hvis den var lavet af legering med sølv.

Formel

Den løftekraft, der er omtalt af Archimedes 'princip, er kendt som den hydrostatiske skyvekraft eller drivkraft, og som vi har sagt, svarer den til vægten af ​​volumenet af væske, der forskydes af kroppen, når det er nedsænket.

Det forskudte volumen er lig med volumen på det objekt, der er nedsænket, enten helt eller delvist. Da vægten af ​​noget er mg, og væskens masse er densitet x volumen, der angiver skyderiets størrelse som B, har vi matematisk:

B = m _væske xg = væskedensitet x neddykket volumen x tyngdekraft

B = ρ _væske x V _nedsænket xg

Hvor det græske bogstav ρ ("rho") angiver densitet.

Tilsyneladende vægt

Objektets vægt beregnes ved hjælp af det velkendte mg-udtryk, men ting føles lettere, når de er nedsænket i vand.

Den tilsyneladende vægt af en genstand er, hvad den har, når den nedsænkes i vand eller en anden væske, og ved at vide det, kan volumen af ​​en uregelmæssig genstand såsom kronen af ​​kong Hiero opnås, som det kan ses nedenfor.

For at gøre dette er det helt nedsænket i vand og fastgjort til en snor fastgjort til et dynamometer - et instrument udstyret med en fjeder, der bruges til at måle kræfter. Jo større genstandens vægt er, jo større er fjederens forlængelse, som måles i en skala, der er tilvejebragt i apparatet.

Figur 2. Tilsyneladende vægt af et nedsænket objekt. Kilde: udarbejdet af F. Zapata.

Anvendelse af Newtons anden lov, vel vidende, at genstanden er i ro:

ΣF _y = B + T - W = 0

Den tilsyneladende vægt W _{a er} lig med spændingen i strengen T:

Da skyvekraften kompenserer for vægten, da fluidpartiet er i hvile, så:

Fra dette udtryk følger det, at trykket skyldes trykforskellen mellem cylinderens overflade og den nedre flade. Da W = mg = ρ væske. V. g, det skal:

Hvilket er netop udtrykket for den drivkraft, der er nævnt i det foregående afsnit.

Applikationer

Archimedes 'princip findes i mange praktiske anvendelser, blandt hvilke vi kan navngive:

- Den aerostatiske ballon. Som på grund af dens gennemsnitlige densitet mindre end den omgivende luft flyder i den på grund af drivkraften.

- Skibene. Skibets skrog er tungere end vand. Men hvis hele skroget plus luften inde overvejes, er forholdet mellem den samlede masse og volumen mindre end vandets, og det er grunden til, at skibe flyder.

- Redningsveste. Da de er konstrueret af lette og porøse materialer, kan de flyde, fordi massevolumenforholdet er lavere end vandets.

- Flyderen for at lukke påfyldningskranen i en vandtank. Det er en luftfyldt kugle med stort volumen, der flyder oven på vandet, hvilket får skyvekraften - ganget med spakeffekten - til at lukke hætten til påfyldningskranken i en vandtank, når den har nået niveauet. Total.

eksempler

Eksempel 1

Sagnet fortæller, at kong Hiero gav gullsmeden en vis mængde guld til at fremstille en krone, men den mistroelige monark troede, at guldsmeden kan have snydt ved at placere et metal, der var mindre værdifuldt end guld, inde i kronen. Men hvordan kunne han vide det uden at ødelægge kronen?

Kongen betroede Archimedes problemet, og dette søgte løsningen, opdagede hans berømte princip.

Antag, at koronaen vejer 2,10 kg-f i luft og 1,95 kg-f, når den er helt nedsænket i vand. I dette tilfælde, er der eller er der ikke noget bedrag?

Figur 5. Gratis legemsdiagram over kong Herons krone. Kilde: udarbejdet af F. Zapata

Diagrammet over kræfter er vist på figuren ovenfor. Disse kræfter er: vægten P af kronen, trykket E og spændingen T på rebet, der hænger fra skalaen.

Det er kendt P = 2,10 kg-f og T = 1,95 kg-f, det gjenstår at bestemme størrelsen af ​​trykket E:

På den anden side er trykket E ifølge Archimedes 'princip ækvivalent med vægten af ​​det vand, der er forskudt fra det rum, der besættes af kronen, det vil sige vandtætheden gange voluminet af kronen på grund af tyngdeaccelerationen:

Fra hvor kronen kan beregnes:

Kronens densitet er kvotienten mellem massen af ​​kronen ud af vandet og dens volumen:

Densiteten af ​​rent guld kan bestemmes ved en lignende procedure, og resultatet er 19300 kg / m ^ 3.

Sammenlignet med de to tætheder er det tydeligt, at kronen ikke er rent guld!

Eksempel 2

Baseret på dataene og resultatet fra eksempel 1 er det muligt at bestemme, hvor meget guld der blev stjålet af guldsmeden i tilfælde af, at en del af guldet er blevet erstattet af sølv, som har en densitet på 10.500 kg / m ^ 3.

Vi vil kalde tætheden af ​​kronen ρc, ρo densiteten af ​​guld og ρ _p densiteten af ​​sølv.

Den samlede masse af kronen er:

M = ρc⋅V = ρo⋅Vo + ρ _p ⋅Vp

Kronens samlede volumen er sølvvolumen plus guldvolumen:

V = Vo + Vp ⇒ Vp = V - Vo

Ved at substituere i ligningen for massen er:

ρc⋅V = ρo⋅Vo + ρ _p ⋅ (V - Vo) ⇒ (ρo - ρ _p) Vo = (ρc - ρ _p) V

Det vil sige, volumenet af guld-Vo, der indeholder kronen på det samlede volumen V, er:

Vo = V⋅ (ρc - ρ _p) / (ρo - ρ _p) =…

… = 0,00015 m ^ 3 (14000 - 10500) / (19300 - 10500) = 0,00005966 m ^ 3

For at finde vægten i guld, som kronen indeholder, multiplicerer vi Vo med guldens densitet:

Mo = 19300 * 0,00005966 = 1,1514 kg

Da massen af ​​kronen er 2,10 kg, ved vi, at 0,94858 kg guld blev stjålet af guldsmeden og erstattet af sølv.

Løst øvelser

Øvelse 1

En enorm heliumballon er i stand til at holde en person i balance (uden at gå op eller ned).

Antag, at personens vægt plus kurven, reb og ballonen er 70 kg. Hvad er det volumen af ​​helium, der kræves for at dette skal ske? Hvor stor skal ballonen være?

Løsning

Vi antager, at skyvekraften primært produceres af mængden af ​​helium, og at trykket på resten af ​​komponenterne er meget lille sammenlignet med det for helium, der optager meget mere volumen.

I dette tilfælde kræver det et volumen helium, der er i stand til at tilvejebringe et tryk på 70 kg + vægten af ​​helium.

Figur 6. Gratis legemsdiagram over den heliumfyldte ballon. Kilde: udarbejdet af F. Zapata.

Skub er produktet af heliumvolumenet gange heliumtætheden og tyngdekraften. Dette skub skal modvirke vægten af ​​helium plus vægten for alle de andre.

Da⋅V⋅g = Da⋅V⋅g + M⋅g

hvorfra det konkluderes, at V = M / (Da - Dh)

V = 70 kg / (1,25 - 0,18) kg / m ^ 3 = 65,4 m ^ 3

Det vil sige, at der kræves 65,4 m ^ 3 helium ved atmosfærisk tryk for at der skal være løft.

Hvis vi antager en sfærisk klode, kan vi finde dens radius ud fra forholdet mellem lydstyrken og en sfære radius:

V = (4/3) ⋅π⋅R ^ 3

Fra hvor R = 2,49 m. Med andre ord kræver det en ballon med en diameter på 5 m fyldt med helium.

Øvelse 2

Materialer med en lavere densitet end vand flyder i det. Antag, at du har polystyren (hvid kork), træ og isterninger. Deres massefylde i kg pr. Kubikmeter er henholdsvis: 20, 450 og 915.

Find, hvilken brøkdel af det samlede volumen er uden for vandet, og hvor højt det står over vandets overflade, idet det tager 1000 kg pr. Kubikmeter som densitet for sidstnævnte.

Løsning

Flydende opstår, når vægten af ​​kroppen er lig med trykket på grund af vandet:

E = Mg

Figur 7. Gratis legemsdiagram over et delvist nedsænket objekt. Kilde: udarbejdet af F. Zapata.

Vægt er densiteten af ​​kroppen Dc ganget med dens volumen V og med accelerationen af ​​tyngdekraften g.

Skubben er vægten af ​​væsken forskudt i henhold til Archimedes 'princip og beregnes ved at multiplicere vandets tæthed D med det nedsænkede volumen V' og med tyngdeaccelerationen.

Det er:

D⋅V'⋅g = Dc⋅V⋅g

Hvilket betyder, at den nedsænkede volumenfraktion er lig med kvotienten mellem kroppens densitet og vandets densitet.

Det vil sige, at den udestående volumenfraktion (V '' / V) er

Hvis h er overhængets højde og L på siden af ​​terningen, kan volumenfraktionen skrives som

Så resultaterne for de bestilte materialer er:

Polystyren (hvid kork):

(h / L) = (V '' / V) = 1 - (Dc / D) = 1- (20/1000) = 98% ud af vandet

Træ:

(h / L) = (V '' / V) = 1 - (DC / D) = 1- (450/1000) = 55% ud af vandet

Is:

(h / L) = (V '' / V) = 1 - (DC / D) = 1- (915/1000) = 8,5% ud af vandet

Referencer

1. Bauer, W. 2011. Fysik til ingeniørvidenskab og videnskaber. Bind 1. Mc Graw Hill. 417-455.
2. Cengel Y, Cimbala J. 2011. Fluid Mechanics. Grundlæggende og applikationer. Første udgave. McGraw Hill.
3. Figueroa, D. (2005). Serie: Fysik til videnskab og teknik. Volumen 4. Væsker og termodynamik. Redigeret af Douglas Figueroa (USB). 1 - 42.
4. Giles, R. 2010. Mekanik for væsker og hydraulik. McGraw Hill.
5. Rex, A. 2011. Fundamentals of Physics. Pearson. 239-263.
6. Tippens, P. 2011. Fysik: koncepter og applikationer. 7. udgave. McGraw Hill.