TEORETISK SANDSYNLIGHED: HVORDAN MAN FÅR DET, EKSEMPLER, ØVELSER - DUDAS - 2025

Den teoretiske (eller Laplace) sandsynlighed for, at en hændelse E forekommer, der hører til et prøverum S, hvor alle begivenheder har samme sandsynlighed for forekomst, er defineret i matematisk notation som: P (E) = n (E) / N (S)

Hvor P (E) er sandsynligheden, givet som kvotienten mellem det samlede antal mulige udfald af hændelse E, som vi kalder n (E), divideret med det samlede antal N (S) af mulige udfald i prøveområdet S.

Figur 1. I rullen af ​​en seks-sidet matrice er den teoretiske sandsynlighed for, at ansigtet med tre prikker er på toppen ⅙. Kilde: Pixabay.

Den teoretiske sandsynlighed er et reelt tal mellem 0 og 1, men det udtrykkes ofte som en procentdel, i hvilket tilfælde sandsynligheden vil være en værdi mellem 0% og 100%.

Beregning af sandsynligheden for, at en begivenhed finder sted, er meget vigtig på mange områder, såsom handel, forsikringsselskaber, spil og mange flere.

Hvordan får man den teoretiske sandsynlighed?

Et illustrativt tilfælde er tilfældet med lodter eller lotterier. Antag, at der udstedes 1.000 billetter til at lodde en smartphone. Idet tegningen udføres tilfældigt, har nogen af ​​billetterne en lige chance for at blive en vinder.

For at finde sandsynligheden for, at en person, der køber en billet med tallet 81, er en vinder, udføres følgende teoretiske sandsynlighedsberegning:

P (1) = 1 / 1.000 = 0,001 = 0,1%

Ovenstående resultat fortolkes som følger: hvis lodtrækningen gentages uendeligt mange gange, ville hver 1.000 gange billet 81 i gennemsnit blive valgt en gang.

Hvis nogen af ​​en eller anden grund erhverver alle billetter, er det sikkert, at de vinder præmien. Sandsynligheden for at vinde præmien, hvis du har alle billetter, beregnes som følger:

P (1.000) = 1.000 / 1.000 = 1 = 100%.

Det vil sige, at sandsynlighed 1 eller 100% betyder, at det er helt sikkert, at dette resultat vil forekomme.

Hvis nogen ejer 500 billetter, er chancerne for at vinde eller tabe de samme. Den teoretiske sandsynlighed for at vinde præmien i dette tilfælde beregnes som følger:

P (500) = 500 / 1.000 = ½ = 0,5 = 50%.

Den, der ikke køber nogen billet, har ingen chance for at vinde, og hans teoretiske sandsynlighed bestemmes som følger:

P (0) = 0 / 1.000 = 0 = 0%

eksempler

Eksempel 1

Du har en mønt med et ansigt på den ene side og et skjold eller forsegling på den anden. Når mønten kastes, hvad er den teoretiske sandsynlighed for, at den kommer op?

P (ansigt) = n (ansigt) / N (ansigt + skjold) = ½ = 0,5 = 50%

Resultatet fortolkes som følger: hvis der blev foretaget et stort antal kast, i gennemsnit i hver 2. kast, ville en af ​​dem komme op på hovedet.

I procentmæssige vendinger er fortolkningen af ​​resultatet, at ved at foretage et uendeligt stort antal kast, vil gennemsnit ud af 100 af dem resultere i hoveder.

Eksempel 2

I en kasse er der 3 blå kugler, 2 røde kugler og 1 grøn. Hvad er den teoretiske sandsynlighed for, at når du tager en marmor ud af kassen, vil den være rød?

Figur 2. Sandsynlighed for ekstraktion af farvede kugler. Kilde: F. Zapata.

Sandsynligheden for, at det kommer ud rødt, er:

P (rød) = Antal gunstige sager / Antal mulige sager

Det vil sige:

P (rød) = Antal røde kugler / Samlet antal kugler

Endelig er sandsynligheden for, at der trækkes en rød marmor:

P (rød) = 2/6 = ⅓ = 0,3333 = 33,33%

Mens sandsynligheden for, at når man tegner en grøn marmor, er:

P (grøn) = ⅙ = 0,1666 = 16,66%

Endelig er den teoretiske sandsynlighed for at få en blå marmor i en blindekstraktion:

P (blå) = 3/6 = ½ = 0,5 = 50%

Det vil sige, at for hver 2 forsøg vil resultatet være blåt i en af ​​dem og en anden farve i et andet forsøg under den forudsætning, at den udtrukne marmor udskiftes, og at antallet af forsøg er meget, meget stort.

Øvelser

Øvelse 1

Bestem sandsynligheden for, at rullning af en matrice får en værdi, der er mindre end eller lig med 4.

Løsning

For at beregne sandsynligheden for, at denne begivenhed finder sted, anvendes definitionen af ​​teoretisk sandsynlighed:

P (≤4) = Antal gunstige sager / Antal mulige sager

P (≤5) = 5/6 = = 83,33%

Øvelse 2

Find sandsynligheden for, at 5 ved to sammenhængende kast af en normal seks-sidet matrice, vil rulle 2 gange.

Løsning

For at besvare denne øvelse skal du lave en tabel for at vise alle mulighederne. Det første ciffer angiver resultatet af den første dyse og det andet resultatet af den anden.

For at beregne den teoretiske sandsynlighed har vi brug for at kende det samlede antal mulige tilfælde, i dette tilfælde, som det kan ses fra forrige tabel, er der 36 muligheder.

I betragtning af tabellen udledes det, at antallet af sager, der er gunstige for den begivenhed, der i de to på hinanden følgende lanceringer kommer ud, kun er 1, fremhævet med farve, og derfor er sandsynligheden for, at denne begivenhed er:

P (5 x 5) = 1/36.

Dette resultat kunne også være nået frem til at bruge en af ​​egenskaberne ved teoretisk sandsynlighed, som siger, at den kombinerede sandsynlighed for to uafhængige begivenheder er produktet af deres individuelle sandsynligheder.

I dette tilfælde er sandsynligheden for, at den første kast kastes 5 ⅙. Den anden kast er helt uafhængig af den første, derfor er sandsynligheden for, at 5 rulles i den anden også is. Så den samlede sandsynlighed er:

P (5 × 5) = P (5) P (5) = (1/6) (1/6) = 1/36.

Øvelse 3

Find sandsynligheden for, at et tal mindre end 2 rulles ved den første kast, og et tal større end 2 rulles på den anden.

Løsning

Igen skal der opstilles en tabel over mulige begivenheder, hvor de, hvor det første kast var mindre end 2 og i det andet større end 2, er understreget.

I alt er der 4 muligheder ud af i alt 36. Det vil sige sandsynligheden for denne begivenhed er:

P (<2;> 2) = 4/36 = 1/9 = 0.1111 = 11.11%

Brug af sandsynlighedssætningen, der siger:

Det samme resultat opnås:

P (<2) P (> 2) = (1/6) (4/6) = 4/36 = 0.1111 = 11.11%

Den opnåede værdi falder sammen med det foregående resultat ved hjælp af den teoretiske eller klassiske definition af sandsynlighed.

Øvelse 4

Hvad er sandsynligheden for, at summen af ​​værdierne, når du ruller to terninger, er 7.

Løsning

For at finde løsningen i dette tilfælde er der udarbejdet en tabel med muligheder, hvor de tilfælde, der opfylder betingelsen om, at summen af ​​værdierne er 7, er angivet i farve.

Når man ser på tabellen, kan der tælles 6 mulige tilfælde, så sandsynligheden er:

P (I + II: 7) = 6/36 = 1/6 = 0,1666 = 16,66%

Referencer

1. Canavos, G. 1988. Sandsynlighed og statistik: Anvendelser og metoder. McGraw Hill.
2. Devore, J. 2012. Sandsynlighed og statistik for teknik og videnskab. 8.. Edition. Cengage.
3. Lipschutz, S. 1991. Schaum Series: Probability. McGraw Hill.
4. Obregón, I. 1989. Teorien om sandsynlighed. Redaktionel Limusa.
5. Walpole, R. 2007. Sandsynlighed og statistik for ingeniørvidenskab og videnskaber. Pearson.