POLYTROPISK PROCES: KARAKTERISTIKA, ANVENDELSER OG EKSEMPLER - FYSISK - 2025

En polytropisk proces er en termodynamisk proces, der opstår, når forholdet mellem tryk P og volumen V givet af PV ⁿ holdes konstant. Eksponenten n er et reelt tal, generelt mellem nul og uendelig, men i nogle tilfælde kan det være negativt.

Værdien af ​​n kaldes polytropy-indekset, og det er vigtigt at bemærke, at under en polytropisk termodynamisk proces skal nævnte indeks have en fast værdi, ellers betragtes processen ikke som polytropisk.

Figur 1. Karakteristisk ligning af en polytropisk termodynamisk proces. Kilde: F. Zapata.

Karakteristika ved polytropiske processer

Nogle karakteristiske tilfælde af polytropiske processer er:

- Den isotermiske proces (ved konstant temperatur T), hvor eksponenten er n = 1.

- En isobarisk proces (ved konstant tryk P), i dette tilfælde n = 0.

- Den isochoriske proces (ved konstant volumen V), for hvilken n = + ∞.

- Adiabatiske processer (ved konstant S-entropi), hvor eksponenten er n = γ, hvor γ er den adiabatiske konstant. Denne konstant er kvotienten mellem varmekapaciteten ved konstant tryk Cp divideret med varmekapaciteten ved konstant volumen Cv:

y = Cp / Cv

- Enhver anden termodynamisk proces, der ikke er et af de tidligere tilfælde. men det møder PV ⁿ = ctte med reelt og konstant polytropisk indeks n vil også være en polytropisk proces.

Figur 2. Forskellige karakteristiske tilfælde af polytropiske termodynamiske processer. Kilde: Wikimedia Commons.

Applikationer

En af de vigtigste anvendelser af den polytropiske ligning er at beregne det arbejde, der udføres af et lukket termodynamisk system, når det går fra en starttilstand til en sluttilstand på en kvasistatisk måde, det vil sige efter en række ligevægtsstater.

Arbejde med polytropiske processer til forskellige værdier af n

For n ≠ 1

Det mekaniske arbejde W, der udføres af et lukket termodynamisk system, beregnes ved udtrykket:

W = ∫P.dV

Hvor P er tryk og V er volumen.

Som i tilfælde af en polytropisk proces er forholdet mellem tryk og volumen:

Vi har det mekaniske arbejde, der er udført under en polytropisk proces, der begynder i en initialtilstand 1 og slutter i den endelige tilstand 2. Alt dette vises i følgende udtryk:

C = P ₁ V ₁ ⁿ = P ₂ V ₂ ⁿ

Ved at erstatte konstantenes værdi i arbejdsudtrykket, får vi:

W = (P ₂ V ₂ - P ₁ V ₁) / (1-n)

I tilfælde af at arbejdsstoffet kan modelleres som en ideel gas, har vi følgende tilstandsligning:

PV = mRT

Hvor m er antallet af mol af den ideelle gas, og R er den universelle gaskonstant.

For en idealgas, der følger en polytropisk proces med en polytropy indeks forskellig fra enhed og der går fra en tilstand med indledende temperatur T ₁ til en anden tilstand med temperaturen T ₂, det udførte arbejde er givet ved følgende formel:

W = m R (T ₂ - T ₁) / (1-n)

For n → ∞

I henhold til formlen for det arbejde, der er opnået i det foregående afsnit, har vi, at arbejdet med en polytropisk proces med n = ∞ er nul, fordi udtrykket af værket er divideret med uendelig, og derfor har resultatet en tendens til nul.

En anden måde at nå frem til dette resultat er at starte fra forholdet P ₁ V ₁ ⁿ = P ₂ V ₂ ⁿ, som kan skrives om som følger:

(P ₁ / P ₂) = (V ₂ / V1) ⁿ

Når vi tager den niende rod i hvert medlem, får vi:

(V ₂ / V1) = (P ₁ / P ₂) ^{(1 / n)}

I det tilfælde, at n → ∞, har vi (V ₂ / V1) = 1, hvilket betyder, at:

V ₂ = V ₁

Det vil sige, lydstyrken ændres ikke i en polytropisk proces med n → ∞. Derfor er volumenforskellen dV i integreringen af ​​det mekaniske arbejde 0. Denne type polytropiske processer er også kendt som isochoriske processer eller processer med konstant volumen.

For n = 1

Igen har vi udtrykket udtrykket til arbejde:

W = ∫P dV

I tilfælde af en polytropisk proces med n = 1, er forholdet mellem tryk og volumen:

PV = konstant = C

Ved at løse P fra det forrige udtryk og erstatte, har vi gjort arbejdet med at gå fra starttilstand 1 til sluttilstand 2:

Det vil sige:

W = C ln (V ₂ / V ₁).

Da de indledende og afsluttende tilstande er godt bestemt, så vil ctte også være. Det vil sige:

C = P ₁ V ₁ = P ₂ V ₂

Endelig har vi følgende nyttige udtryk til at finde det mekaniske arbejde i et lukket polytropisk system, hvor n = 1.

W = P ₁ V ₁ ln (V ₂ / V ₁) = P ₂ V ₂ ln (V ₂ / V ₁)

Hvis arbejdsstoffet består af mol mol ideel gas, kan den ideelle gasligning af tilstand anvendes: PV = mRT

I dette tilfælde, da PV ₁ = ctte, har vi, at en polytropisk proces med n = 1 er en proces ved konstant temperatur T (isotermisk), så følgende udtryk for arbejdet kan opnås:

W = m RT ₁ ln (V ₂ / V ₁) = m RT ₂ ln (V ₂ / V ₁)

Figur 3. En smeltende istappe, eksempel på en isotermisk proces. Kilde: Pixabay.

Eksempler på polytropiske processer

- Eksempel 1

Antag, at en cylinder med et bevægeligt stempel fyldt med et kilo luft. Oprindeligt luften optager et volumen V ₁ = 0,2 m ³ ved et tryk P ₁ = 400 kPa. En polytrope følges, n = γ = 1,4, hvis endelige tilstand har trykket P ₂ = 100 kPa. Bestem det arbejde, der udføres af luften på stemplet.

Løsning

Når polytropyindeksen er lig med den adiabatiske konstant, er der en proces, hvor arbejdsstoffet (luft) ikke udveksler varme med miljøet, og derfor ændrer heller ikke entropien.

For luft, en diatomisk ideel gas, har vi:

y = Cp / Cv, med Cp = (7/2) R og Cv = (5/2) R

Så:

y = 7/5 = 1,4

Ved anvendelse af ekspressionen af ​​den polytropiske proces kan det endelige volumen af ​​luften bestemmes:

V ₂ = ^{(1 / 1,4)} = 0,54 m ³.

Nu har vi betingelserne for at anvende formlen for arbejde udført i en polytropisk proces for n ≠ 1 opnået ovenfor:

W = (P ₂ V ₂ - P1 V1) / (1-n)

Udskiftning af de relevante værdier, vi har:

W = (100 kPa 0,54 m ³ - 400 kPa 0,2 m ³) / (1 - 1,4) = 65,4 kJ

- Eksempel 2

Antag den samme cylinder fra eksempel 1 med et bevægeligt stempel fyldt med et kilogram luft. Oprindeligt optager luften et volumen V1 = 0,2 m ³ ved et tryk P1 = 400 kPa. Men i modsætning til det foregående tilfælde ekspanderer luften isotermisk for at nå et sluttryk P2 = 100 kPa. Bestem det arbejde, der udføres af luften på stemplet.

Løsning

Som tidligere vist er isotermiske processer polytropiske processer med indeks n = 1, så det er sandt, at:

P1 V1 = P2 V2

På denne måde kan den endelige lydstyrke let fjernes for at opnå:

V2 = 0,8 m ³

Derefter bruger vi det arbejdsudtryk, der er opnået tidligere for sagen n = 1, at det arbejde, der udføres af luften på stemplet i denne proces, er:

W = P1 V1 ln (V2 / V1) = 400000 Pa × 0,2 m ³ ln (0,8 / 0,2) = 110,9 kJ.

Referencer

1. Bauer, W. 2011. Fysik til ingeniørvidenskab og videnskaber. Bind 1. Mc Graw Hill.
2. Cengel, Y. 2012. Termodynamik. 7. udgave. McGraw Hill.
3. Figueroa, D. (2005). Serie: Fysik til videnskab og teknik. Volumen 4. Væsker og termodynamik. Redigeret af Douglas Figueroa (USB).
4. López, C. Den første lov om termodynamik. Gendannes fra: culturacientifica.com.
5. Knight, R. 2017. Fysik for forskere og teknik: en strategi-tilgang. Pearson.
6. Serway, R., Vulle, C. 2011. Fundamentals of Physics. 9. udg. Cengage Learning.
7. Sevilla University. Termiske maskiner. Gendannes fra: laplace.us.es.
8. Wikiwand. Polytropisk proces. Gendannes fra: wikiwand.com.