HVAD ER COPLANÆRE VEKTORER? (MED LØSTE ØVELSER) - FYSISK - 2025

De coplanare vektorer eller koplanare er dem, som er indeholdt i samme plan. Når der kun er to vektorer, er disse altid koplanære, da der er uendelige plan, er det altid muligt at vælge en, der indeholder dem.

Hvis du har tre eller flere vektorer, kan det være, at nogle af dem ikke er i det samme plan som de andre, derfor kan de ikke betragtes som planlægning. Den følgende figur viser et sæt coplanære vektorer, der er markeret med fed A, B, C og D:

Figur 1. Fire coplanære vektorer. Kilde: self made.

Vektorer er relateret til opførsel og egenskaber ved fysiske mængder, der er relevante for videnskab og teknik; for eksempel hastighed, acceleration og kraft.

En kraft producerer forskellige effekter på et objekt, når den måde, den anvendes på, varieres, for eksempel ved at ændre intensitet, retning og retning. Selv ændring af kun en af ​​disse parametre er resultaterne betydeligt forskellige.

I mange applikationer, både inden for statik og dynamik, er kræfterne, der virker på et legeme, på det samme plan, derfor betragtes de som planmæssige.

Betingelserne for at vektorerne skal være planlagte

For at tre vektorer skal være planlagte, skal de ligge i det samme plan, og dette sker, hvis de opfylder en af ​​følgende betingelser:

-Vektorer er parallelle, derfor er deres komponenter proportional og lineært afhængige.

-Din blandede produkt er nul.

-Hvis du har tre vektorer, og en af ​​dem kan skrives som en lineær kombination af de to andre, er disse vektorer koplanære. For eksempel, en vektor, der er resultatet af summen af ​​to andre, de tre er alle i det samme plan.

Alternativt kan coplanaritetstilstanden indstilles som følger:

Blandet produkt mellem tre vektorer

Det blandede produkt mellem vektorer er defineret med tre vektorer u, v og w, hvilket resulterer i en skalar, der er resultatet af udførelse af følgende operation:

u · (v x w) = u · (v x w)

Først udføres krydsproduktet, der er i parentes: v x w , hvis resultat er en normal vektor (vinkelret) på det plan, hvori både v og w ligger .

Hvis u er i det samme plan som v og w , skal naturligvis det skalære produkt (prikprodukt) mellem u og den nævnte normale vektor være 0. På denne måde kontrolleres det, at de tre vektorer er coplanære (de ligger på det samme plan).

Når det blandede produkt ikke er nul, er dets resultat lig med volumen af ​​parallelepiped, der har vektorerne u , v og w som tilstødende sider.

Applikationer

Coplanar, samtidige kræfter og ikke-kollinære kræfter

De samtidige kræfter påføres alle på det samme punkt. Hvis de også er koplanære, kan de erstattes af en enkelt, der kaldes den resulterende kraft og har samme virkning som de originale kræfter.

Hvis et legeme er i ligevægt takket være tre coplanære kræfter, samtidige og ikke-kollinære (ikke parallelle), kaldet A , B og C, indikerer Lamys teorem, at forholdet mellem disse kræfter (størrelser) er følgende:

A / sin α = B / sin β = C / sin γ

Med α, β og γ som de modsatte vinkler til de påførte kræfter, som vist i følgende figur:

Figur 2. Tre coplanære kræfter A, B og C virker på et objekt. Kilde: Kiwakwok på engelsk Wikipedia

Løst øvelser

- Øvelse 1

Find værdien af ​​k, så de følgende vektorer er koplanære:

u = <-3, k, 2>

v = <4, 1, 0>

w = <-1, 2, -1>

Løsning

Da vi har komponenterne i vektorerne, bruges kriteriet for det blandede produkt, derfor:

u (v x w) = 0

Løs v x w først . Vektorerne udtrykkes som enhedsvektorer i, j og k, der adskiller de tre vinkelrette retninger i rummet (bredde, højde og dybde):

v = 4 i + j + 0 k

w = -1 i + 2 j -1 k

v x w = -4 (ixi) + 8 (ixj) - 4 (ixk) - (jxi) + 2 (jxj) - 2 (jxk) = 8 k + 4 j + k -2 i = -2 i + 4 j + 9 k

Nu overvejer vi det skalære produkt mellem u og vektoren, der er resultatet af den forrige operation, og indstiller operationen til 0:

u (v x w) = (-3 i + k j + 2 k) · (-2 i + 4 j + 9 k) = 6 + 4 k +18 = 0

24 + 4k = 0

Den søgte værdi er: k = - 6

Så vektoren u er:

u = <-3, -6, 2>

- Øvelse 2

Figuren viser et objekt, hvis vægt er W = 600 N, hængende i ligevægt takket være kablerne placeret i vinklerne vist i figur 3. Er det muligt at anvende Lamys teorem i denne situation? Under alle omstændigheder finde størrelserne af T ₁, T _2, og T ₃, der gør ligevægt muligt.

Figur 3. En vægt hænger i ligevægt under virkningen af ​​de tre viste spændinger. Kilde: self made.

Løsning

Lamys teorem kan anvendes i denne situation, hvis den knudepunkt, hvorpå de tre spændinger anvendes, overvejes, da de udgør et system af koplanære kræfter. Først fremstilles frigroppediagrammet for den hængende vægt for at bestemme størrelsen af ​​T _3:

Figur 4. Diagram med frit legeme til hængende vægt. Kilde: self made.

Fra ligevægtsbetingelsen følger det, at:

Vinklerne mellem kræfterne er markeret med rødt i den følgende figur, det kan let verificeres, at deres sum er 360º. Nu er det muligt at anvende Lamys teorem, da en af ​​kræfterne og de tre vinkler imellem dem er kendt:

Figur 5.- Røde vinkler til anvendelse af Lamys teorem. Kilde: self made.

T ₁ / sin 127º = W / sin 106º

Derfor: T ₁ = sin 127º (W / sin 106º) = 498,5 N

Igen anvendes Lamys teorem for at løse for T ₂:

T ₂ / sin 127 = T ₁ / sin 127º

T ₂ = T ₁ = 498,5 N

Referencer

1. Figueroa, D. Series: Physics for Sciences and Engineering. Bind 1. Kinematik. 31-68.
2. Fysisk. Modul 8: Vektorer. Gendannes fra: frtl.utn.edu.ar
3. Hibbeler, R. 2006. Mekanik til ingeniører. Statisk 6. udgave. Continental Publishing Company 28-66.
4. McLean, W. Schaum-serien. Mekanik til ingeniører: Statik og dynamik. 3. udgave. McGraw Hill. 1-15.
5. Wikipedia. Vector. Gendannet fra: es.wikipedia.org.