TÆLLE TEKNIKKER: TEKNIKKER, APPLIKATIONER, EKSEMPLER, ØVELSER - DUDAS - 2025

De tælle teknikker er en serie af sandsynlighed metoder til at tælle antallet af mulige ordninger inden et sæt eller flere sæt af objekter. Disse bruges, når man foretager konti manuelt bliver kompliceret på grund af det store antal objekter og / eller variabler.

For eksempel er løsningen på dette problem meget enkel: forestil dig, at din chef beder dig om at tælle de nyeste produkter, der er ankommet inden for den sidste time. I dette tilfælde kan du tælle produkterne en efter en.

Forestil dig dog, at problemet er dette: din chef beder dig om at tælle, hvor mange grupper af 5 produkter af samme type der kan dannes med dem, der er ankommet i den sidste time. I dette tilfælde er beregningen kompliceret. I disse typer situationer anvendes såkaldte tællingsteknikker.

Disse teknikker er forskellige, men de vigtigste er opdelt i to grundlæggende principper, som er multiplikativet og additivet; permutationer og kombinationer.

Multiplikationsprincip

Applikationer

Multiplikationsprincippet sammen med tilsætningsstoffet er grundlæggende for at forstå funktionen af ​​tællingsteknikker. For multiplikativet består det af følgende:

Lad os forestille os en aktivitet, der involverer et specifikt antal trin (vi markerer det samlede beløb som “r”), hvor det første trin kan udføres på N1-måder, det andet trin i N2 og trinet “r” på Nr måder. I dette tilfælde kunne aktiviteten udføres fra antallet af figurer, der er resultatet af denne operation: N1 x N2 x ……….x Nr figurer

Derfor kaldes dette princip multiplikativ, og det indebærer, at hvert enkelt af de trin, der er nødvendige for at udføre aktiviteten, skal udføres efter hinanden.

Eksempel

Lad os forestille os en person, der vil bygge en skole. For at gøre dette skal du overveje, at bygningens bund kan bygges på to forskellige måder, cement eller beton. Med hensyn til væggene kan de være lavet af adobe, cement eller mursten.

Hvad angår taget, kan det være lavet af cement eller galvaniseret plade. Endelig kan det endelige maleri kun udføres på en måde. Det spørgsmål, der opstår, er følgende: Hvor mange måder har han til at bygge skolen?

Først overvejer vi antallet af trin, der vil være basen, væggene, taget og malingen. I alt 4 trin, så r = 4.

Følgende ville være at liste N'erne:

N1 = måder at bygge basen på = 2

N2 = måder at bygge vægge på = 3

N3 = måder at fremstille taget på = 2

N4 = måder at male = 1

Derfor beregnes antallet af mulige former ved hjælp af den ovenfor beskrevne formel:

N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 måder at gå på skole på.

Tilsætningsprincip

Applikationer

Dette princip er meget enkelt og består i det faktum, at i tilfælde af at have flere alternativer til at udføre den samme aktivitet, består de mulige måder af summen af ​​de forskellige mulige måder at udføre alle alternativer på.

Med andre ord, hvis vi ønsker at udføre en aktivitet med tre alternativer, hvor det første alternativ kan udføres på M-måder, det andet på N-måder og det sidste på W-måder, kan aktiviteten udføres på: M + N + ……… + W former.

Eksempel

Lad os forestille os denne gang en person, der ønsker at købe en tennisracket. For at gøre dette har du tre mærker at vælge imellem: Wilson, Babolat eller Head.

Når du går til butikken, ser du, at Wilson-ketcher kan købes med håndtaget i to forskellige størrelser, L2 eller L3 i fire forskellige modeller, og det kan være spændt eller unstrung.

Babolat-ketsjeren har på den anden side tre håndtag (L1, L2 og L3), der er to forskellige modeller, og det kan også være spændt eller strammet.

Hovedracket er på sin side kun tilgængeligt med ét håndtag, L2, i to forskellige modeller og kun unstrung. Spørgsmålet er: Hvor mange måder har denne person til at købe sin racket?

M = Antal måder at vælge en Wilson-racket på

N = Antal måder at vælge en Babolat-racket på

W = Antal måder at vælge et head racket på

Vi udfører multiplikatorprincippet:

M = 2 x 4 x 2 = 16 figurer

N = 3 x 2 x 2 = 12 måder

W = 1 x 2 x 1 = 2 måder

M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 måder at vælge en racket.

For at vide, hvornår man skal bruge multiplikationsprincippet og additivet, skal man kun se på, om aktiviteten har en række trin at udføre, og hvis der er flere alternativer, tilsætningsstoffet.

permutationer

Applikationer

For at forstå, hvad en permutation er, er det vigtigt at forklare, hvad en kombination er, så du kan differentiere dem og vide, hvornår du skal bruge dem.

En kombination ville være et arrangement af elementer, hvor vi ikke er interesseret i den position, som hver af dem indtager.

En permutation ville på den anden side være et arrangement af elementer, hvor vi er interesseret i den position, som hver enkelt af dem besætter.

Lad os sætte et eksempel for bedre at forstå forskellen.

Eksempel

Lad os forestille os en klasse med 35 studerende og med følgende situationer:

1. Læreren ønsker, at tre af sine studerende skal hjælpe ham med at holde klasseværelset rent eller uddele materiale til de andre studerende, når det er nødvendigt.
2. Læreren ønsker at udpege klassedelegaterne (en præsident, en assistent og en finansmand).

Løsningen ville være følgende:

1. Lad os forestille os, at Juan, María og Lucía ved afstemning er valgt til at rense klassen eller levere materialerne. Naturligvis kunne andre grupper på tre være dannet blandt de 35 mulige studerende.

Vi må spørge os selv følgende: er rækkefølgen eller positionen for hver studerende vigtig, når de vælger dem?

Hvis vi tænker over det, ser vi, at det virkelig ikke er vigtigt, da gruppen er ansvarlig for de to opgaver lige. I dette tilfælde er det en kombination, da vi ikke er interesseret i elementernes position.

1. Lad os forestille os, at Juan er valgt som præsident, Maria som assistent og Lucia som finansmand.

I så fald ville ordren være vigtig? Svaret er ja, for hvis vi ændrer elementerne, ændres resultatet. Det er, hvis vi i stedet for at udpege Juan som præsident, vi sætter ham som assistent, og María som præsident, ville det endelige resultat ændre sig. I dette tilfælde er det en permutation.

Når forskellen er forstået, får vi formlerne til permutationer og kombinationer. Først skal vi dog definere udtrykket "n!" (en factorial), da det vil blive brugt i de forskellige formler.

n! = produktet fra 1 til n.

n! = 1 x 2 x 3 x 4 x ………..xn

Brug det med reelle tal:

10! = 1 x 2 x 3 x 4 x ……… x 10 = 3.628.800

5! = 1 x 2 x 3 x 4 x ……… x 5 = 120

Formlen for permutationerne er følgende:

nPr = n! / (nr)!

Med det kan vi finde ud af arrangementerne, hvor ordren er vigtig, og hvor n-elementerne er forskellige.

Kombinationer

Applikationer

Som vi tidligere har kommenteret, er kombinationerne de arrangementer, hvor vi ikke er interesserede i elementernes placering.

Dens formel er følgende:

nCr = n! / (nr)! r!

Eksempel

Hvis der er 14 studerende, der vil melde sig frivilligt til at rengøre klasselokalet, hvor mange rengøringsgrupper kan der dannes, hvis hver gruppe skal være 5 personer?

Løsningen vil derfor være følgende:

n = 14, r = 5

14C5 = 14! / (14 - 5)! 5! = 14! / 9! 5! = 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9! / 9! 5! = 2002-grupper

Løst øvelser

Øvelse 1

Kilde: Pixabay.com

Natalia bliver bedt af sin mor om at gå til en købmand og købe en sodavand for at køle af. Når Natalia beder kontoristen om en drink, fortæller han hende, at der er fire varianter af sodavand, tre typer og tre størrelser.

Smagene ved læskedrikke kan være: cola, citron, orange og mynte.

Typerne af cola kan være: regelmæssig, sukkerfri, koffeinfri.

Størrelserne kan være: små, mellemstore og store.

Natalias mor præciserede ikke, hvilken slags læskedrik hun ønskede.Hvor mange måder har Natalia til at købe drikken?

Løsning

M = Størrelse og type nummer, som du kan vælge, når du vælger cola.

N = Antal størrelse og type, som du kan vælge, når du vælger citron soda.

W = Størrelse og type nummer, som du kan vælge, når du vælger orange sodavand.

Y = Størrelse og type nummer, som du kan vælge, når du vælger din myntepulver.

Vi udfører multiplikatorprincippet:

M = 3 × 3 = 9 måder

N = 3 × 3 = 9 måder

W = 3 × 3 = 9 måder

Y = 3 × 3 = 9 måder

M + N + W + Y = 9 + 9 + 9 + 9 = 36 måder at vælge sodavand på.

Øvelse 2

Kilde: pixabay.com

En sportsklub reklamerer for gratis adgangsworkshops for børn at lære at skate. 20 børn er tilmeldt, så de beslutter at opdele dem i to grupper på ti personer, så instruktørerne kan undervise i klasserne mere komfortabelt.

Til gengæld beslutter de at trække i hvilken gruppe hvert barn falder. Hvor mange forskellige grupper kunne et barn komme ind?

Løsning

I dette tilfælde er metoden til at finde et svar ved hjælp af kombinationsteknikken, hvis formel var: nCr = n! / (Nr)! R!

n = 20 (antal børn)

r = 10 (gruppestørrelse)

20C10 = 20! / (20 - 10)! 10! = 20! / 10! 10! = 20 x 19 x 18 x 17 x 16 x 15 x 14 x 13 x 12 x 11 x 10! / 10! 10! = 184,756 grupper.

Referencer

1. Jeffrey, RC, Probability and the Art of Judgment, Cambridge University Press. (1992).
2. William Feller, "En introduktion til sandsynlighedsteori og dens anvendelser", (bind 1), 3. udg., (1968), Wiley
3. Finetti, Bruno de (1970). "Logiske fundamenter og måling af subjektiv sandsynlighed". Acta Psychologica.
4. Hogg, Robert V.; Craig, Allen; McKean, Joseph W. (2004). Introduktion til matematisk statistik (6. udg.). Upper Saddle River: Pearson.
5. Franklin, J. (2001) The Science of Conjecture: Evidence and Probability Before Pascal, Johns Hopkins University Press.