Den Bernoulli teorem, der beskriver opførslen af en væske i bevægelse, blev formuleret ved den matematiske og fysiske Daniel Bernoulli i sit arbejde hydrodynamik. I overensstemmelse med princippet vil en ideel væske (uden friktion eller viskositet), der cirkulerer gennem en lukket ledning, have en konstant energi i sin bane.
Teoremet kan udledes af princippet om bevarelse af energi og endda fra Newtons anden bevægelseslov. Derudover siger Bernoullis princip også, at en stigning i hastigheden af en væske indebærer et fald i det tryk, som det udsættes for, et fald i dets potentielle energi eller begge dele på samme tid.
Daniel Bernoulli
Sætningen har mange forskellige anvendelser, både i videnskabens verden og i folks daglige liv.
Konsekvenserne er til stede i luftstyrken til fly, i skorstene i huse og industrier, i vandrør, blandt andre områder.
Bernoullis ligning
Selvom Bernoulli var den, der udledte, at trykket falder, når strømningshastigheden øges, er sandheden, at det var Leonhard Euler, der rent faktisk udviklede Bernoulli-ligningen i den form, som den er kendt i dag.
Under alle omstændigheder er Bernoullis ligning, der ikke er andet end det matematiske udtryk for hans sætning, følgende:
v 2 ∙ ƿ / 2 + P + ƿ ∙ g ∙ z = konstant
I dette udtryk er v hastigheden for væsken gennem det betragtede snit, ƿ er densiteten af fluidet, P er fluidets tryk, g er værdien af tyngdekraktionen, og z er højden målt i retningen af tyngdekraften.
Det er implicit i Bernoullis ligning, at en væskes energi består af tre komponenter:
- En kinetisk komponent, som er den, der er resultatet af den hastighed, hvormed væsken bevæger sig.
- En potentiel eller tyngdekomponent, der skyldes den højde, hvormed væsken er.
- En tryk energi, det er den væske har som følge af det tryk, den udsættes for.
På den anden side kan Bernoullis ligning også udtrykkes sådan:
v 1 2 ∙ ƿ / 2 + P 1 + ƿ ∙ g ∙ z 1 = v 2 2 ∙ ƿ / 2 + P 2 + ƿ ∙ g ∙ z 2
Dette sidste udtryk er meget praktisk til at analysere de ændringer, som en væske oplever, når nogen af elementerne, der udgør ligningen, ændrer sig.
Forenklet form
Ved visse lejligheder er ændringen i ρgz-sigtet i Bernoullis ligning minimal sammenlignet med den, der opleves af de andre udtryk, så den kan overses. For eksempel sker dette i strømme, der opleves af et fly i flugt.
Ved disse lejligheder udtrykkes Bernoulli-ligningen som følger:
P + q = P 0
I dette udtryk q er dynamiske tryk og svarer til v 2 ∙ ƿ / 2, og P 0 er det, der kaldes totaltryk og er summen af det statiske tryk P og det dynamiske tryk q.
Applikationer
Bernoullis teorem har mange og forskellige anvendelser inden for så forskelligartede områder som videnskab, teknik, sport osv.
En interessant anvendelse findes i designet af pejse. Skorstene er bygget højt for at opnå en større trykforskel mellem bunden og skorstenens udløb, takket være hvilken det er lettere at udtrække forbrændingsgasser.
Naturligvis gælder Bernoulli-ligningen også til studiet af bevægelse af væskestrømme i rør. Det følger af ligningen, at en reduktion i rørets tværsnitsareal for at øge hastigheden af fluidet, der passerer gennem det, også indebærer et fald i trykket.
Bernoulli-ligningen bruges også i luftfart og i køretøjer med formel 1. I tilfælde af luftfart er Bernoulli-effekten oprindelsen af elevatoren til fly.
Flyvinger er designet med det mål at opnå større luftstrøm øverst på vingen.
I den øverste del af vingen er lufthastigheden således høj, og derfor er trykket lavere. Denne trykforskel frembringer en lodret kraft opad (løftekraft), der giver flyet mulighed for at forblive i luften. En lignende virkning opnås på luftformerne i formel 1-biler.
Træning løst
En strøm af vand strømmer med 5,18 m / s gennem et rør med et tværsnit på 4,2 cm 2. Vandet falder fra en højde på 9,66 m til et lavere niveau med en højde på nul, mens rørets tværsnitsareal stiger til 7,6 cm 2.
a) Beregn hastigheden på vandstrømmen på det lavere niveau.
b) Bestemm trykket på det lavere niveau, velvidende at trykket på det øverste niveau er 152000 Pa.
Løsning
a) I betragtning af at strømmen skal bevares, er det rigtigt, at:
Q øverste niveau = Q nedre niveau
v 1. S 1 = v 2. S 2
5,18 m / s. 4.2 cm 2 = v 2. 7,6 cm ^ 2
Løsning for det opnås, at:
v 2 = 2,86 m / s
b) Anvendelse af Bernoullis teorem mellem de to niveauer og under hensyntagen til, at densiteten af vand er 1000 kg / m 3, opnås det, at:
v 1 2 ∙ ƿ / 2 + P 1 + ƿ ∙ g ∙ z 1 = v 2 2 ∙ ƿ / 2 + P 2 + ƿ ∙ g ∙ z 2
(1/2). 1000 kg / m 3. (5,18 m / s) 2 + 152000 + 1000 kg / m 3. 10 m / s 2. 9,66 m =
= (1/2). 1000 kg / m 3. (2,86 m / s) 2 + P 2 + 1000 kg / m 3. 10 m / s 2. 0 m
Løsning for P 2 får vi:
P 2 = 257926,4 Pa
Referencer
- Bernoullis princip. (Nd). På Wikipedia. Hentet den 12. maj 2018 fra es.wikipedia.org.
- Bernoullis princip. (Nd). På Wikipedia. Hentet den 12. maj 2018 fra en.wikipedia.org.
- Batchelor, GK (1967). En introduktion til væskedynamik. Cambridge University Press.
- Lamb, H. (1993). Hydrodynamics (6. udg.). Cambridge University Press.
- Mott, Robert (1996). Anvendt væskemekanik (4. udg.). Mexico: Pearson Education.