STEINERS TEOREM: FORKLARING, APPLIKATIONER, ØVELSER - FYSISK - 2025

Den Steiner 's sætning, også kendt som parallel-akse-teoremet, at vurdere inertimoment af en udvidet legeme, omkring en akse som er parallel med en anden passerer gennem centrum af massen af objektet.

Det blev opdaget af den schweiziske matematiker Jakob Steiner (1796 - 1863) og siger følgende: lad I _{CM være} objektets træghetsmoment i forhold til en akse, der passerer gennem dets massecentrum, og I _z traghetsmomentet i forhold til en anden akse parallelt med dette.

Figur 1. En rektangulær dør, der roterer på hængslerne, har et treghedsmoment, der kan beregnes ved at anvende Steiners teorem. Kilde: Pixabay.

Når man kender afstanden D, der adskiller begge akser og massen M af det pågældende legeme, er tragtmomentet i forhold til den ukendte akse:

Træghedsmoment indikerer, hvor let det er for et objekt at rotere rundt om en bestemt akse. Det afhænger ikke kun af kroppens masse, men af ​​hvordan det distribueres. Af denne grund er det også kendt som roterende inerti, idet dets enheder i det internationale system Kg. m ².

Teorem viser, at inerti-øjeblikket I _z altid er større end treghedsmomentet I _CM med en mængde givet af MD ².

Applikationer

Da en genstand er i stand til at rotere rundt adskillige akser, og i tabellerne normalt kun gives treghedsmomentet med hensyn til aksen, der passerer gennem centroid, letter Steiner's teorem beregningen, når det er nødvendigt at dreje legemer om akser der ikke stemmer overens med dette.

For eksempel roterer en dør normalt ikke omkring en akse gennem dens massecenter, men om en lateral akse, hvor hængslerne klæber fast.

Ved at kende tragtmomentet er det muligt at beregne den kinetiske energi, der er forbundet med rotationen omkring nævnte akse. Hvis K er den kinetiske energi, jeg momentet af inerti omkring den aktuelle akse og ω vinkelhastigheden, følger det at:

Denne ligning ligner meget den velkendte formel for kinetisk energi for et objekt med masse M, der bevæger sig med hastigheden v: K = ½ Mv ². Og det er, at træghetsmomentet eller roterende inerti jeg spiller den samme rolle i rotationen som massen M i oversættelsen.

Bevis for Steiners teorem

Trækningsmomentet for et udvidet objekt defineres som:

I = ∫ r ² dm

Hvor dm er en uendelig masse af masse, og r er afstanden mellem dm og rotationsaksen z. I figur 2 krydser denne akse centrum af massen CM, men den kan være enhver.

Figur 2. Et objekt forlænget i rotation omkring to parallelle akser. Kilde: F. Zapata.

Omkring en anden z 'akse er treghetsmomentet:

I _z = ∫ (r ') ² dm

I henhold til trekanten dannet af vektorerne D, r og r ' (se figur 2 til højre) er der en vektorsum:

r + r ' = D → r' = D - r

De tre vektorer ligger på objektets plan, der kan være xy. Oprindelsen af ​​koordinatsystemet (0,0) vælges i CM for at lette de følgende beregninger.

På denne måde er det kvadratiske modul for vektoren r ':

Nu er denne udvikling substitueret i integralet af treghedsmomentet I _z, og også bruges definitionen af ​​tæthed dm = ρ.dV:

Udtrykket M. D ^2, der vises i Steiners teorem, kommer fra det første integral, det andet er treghetsmomentet med hensyn til aksen, der passerer gennem CM.

For deres del er tredje og fjerde integral værd 0, da de pr. Definition udgør CM's position, der er valgt som oprindelsen for koordinatsystemet (0,0).

Løst øvelser

-Løst øvelse 1

Den rektangulære dør i figur 1 har en masse på 23 kg, 1,30 bred og 2,10 m høj. Bestemm træets træghetsmoment i forhold til aksen, der passerer gennem hængslerne, under forudsætning af at døren er tynd og ensartet.

Figur 3. Skematisk for arbejdet eksempel 1. Kilde: modificeret fra Pixabay.

Løsning

Fra en tabel med treghedsmomenter, for en rektangulær plade med masse M og dimensioner a og b, er inertimomentet i forhold til aksen, der passerer gennem dets massecentrum: I _CM = (1/12) M (a ² + b ²).

En homogen port antages (en tilnærmelse, da porten i figuren sandsynligvis ikke er sådan). I et sådant tilfælde passerer massecentret gennem dets geometriske centrum. I figur 3 er der trukket en akse, der passerer gennem massens centrum, og er også parallel med aksen, der passerer gennem hængslerne.

I _CM = (1/12) x 23 kg x (1,30 ² +2,10 ²) m ² = 11,7 kg.m ²

Anvendelse af Steiners teorem for den grønne rotationsakse:

I = I _CM + MD ² = 11,7 kg.m ² + 23 kg x 0,662 m ² = 21,4 kg.

-Løst øvelse 2

Find træghetsmomentet for en homogen tynd stang, når den roterer omkring en akse, der passerer gennem en af ​​dens ender, se figur. Er det større eller mindre end træghetsmomentet, når det roterer rundt om midten? Hvorfor?

Figur 4. Skema til det løste eksempel 2. Kilde: F. Zapata.

Løsning

I henhold til tabellen over treghedsmomenter er treghedsmomentet I _CM for en tynd stang med masse M og længde L: I _CM = (1/12) ML ²

Og Steiners teorem siger, at når det drejes rundt om en akse, der passerer gennem den ene ende D = L / 2, forbliver det:

Det er større, skønt ikke blot to gange, men 4 gange mere, da den anden halvdel af stangen (ikke skraveret i figuren) roterer og beskriver en større radius.

Indflydelsen af ​​afstanden til rotationsaksen er ikke lineær, men kvadratisk. En masse, der er dobbelt så lang som en anden, vil have et treghedsmoment, der er proportionalt med (2D) ² = 4D ².

Referencer

1. Bauer, W. 2011. Fysik til ingeniørvidenskab og videnskaber. Bind 1. Mc Graw Hill. 313-340.
2. Georgia State University. Rotationsbevægelse. Gendannes fra: phys.nthu.edu.tw.
3. Parallel akse teorem. Gendannes fra: hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
4. Rex, A. 2011. Fundamentals of Physics. Pearson. 190-200.
5. Wikipedia. Parallelakse sætning. Gendannet fra: en.wikipedia.org