THÉVENINS TEOREM: HVAD DET BESTÅR AF, APPLIKATIONER OG EKSEMPLER - FYSISK - 2025

Den Thevenin 's teorem bestemmer, at et kredsløb med terminalerne A og B kan være substitueret med en ækvivalent bestående af en kilde og en serie modstand, hvis værdier giver det samme potentiale forskel mellem A og B og den samme impedans som den oprindelige kredsløb.

Denne sætning blev gjort bekendt i 1883 af den franske ingeniør Léon Charles Thévenin, men det hævdes, at den blev udråbt tredive år tidligere af den tyske fysiker Hermann von Helmholtz.

Figur 1. Thévenins teorem. Kilde: self made

Dets nyttelighed ligger i det faktum, at selv når det originale kredsløb er komplekst eller ukendt, med henblik på en belastning eller impedans, der er placeret mellem terminalerne A og B, opfører det enkle Thévenin-ækvivalente kredsløb sig på samme måde som originalen.

Hvordan beregnes den ækvivalente spænding trin for trin?

Spændingen eller potentialforskellen i det ækvivalente kredsløb kan opnås på følgende måder:

- Eksperimentelt

Opnå den ækvivalente Thévenin-spænding

Hvis det er en enhed eller udstyr, der er i en "sort kasse", måles potentialeforskellen mellem klemmer A og B med et voltmeter eller et oscilloskop. Det er meget vigtigt, at der ikke placeres nogen belastning eller impedans mellem klemmer A og B.

Et voltmeter eller et oscilloskop repræsenterer ikke nogen belastning på terminalerne, da begge enheder har en meget stor impedans (ideelt uendelig), og det ville være som om terminalerne A og B var uden belastning. Spændingen eller spændingen opnået på denne måde er Thévenin ækvivalente spænding.

Opnåelse af Thévenin-tilsvarende impedans

For at opnå den ækvivalente impedans fra en eksperimentel måling anbringes en kendt modstand mellem terminalerne A og B, og spændingsfaldet eller spændingssignalet måles med et oscilloskop.

Fra spændingsfaldet over den kendte modstand mellem klemmerne kan strømmen der strømmer opnås.

Produktet af strømmen opnået med den ækvivalente modstand plus spændingsfaldet målt i den kendte modstand er lig med den ækvivalente Thévenin-spænding, der tidligere blev opnået. Fra denne ligestilling fjernes den ækvivalente Thévenin-impedans.

- Løsning af kredsløbet

Beregning af Thévenin ækvivalent spænding

For det første kobles enhver belastning eller impedans fra terminal A og B.

Som kredsløbet er kendt, anvendes meshteori eller Kirchhoffs love for at finde spændingen ved terminalerne. Denne spænding vil være Thévenin-ækvivalent.

Beregning af Thévenin ækvivalente impedans

For at opnå den ækvivalente impedans skal du gå til:

- Udskift spændingskilderne i det originale kredsløb med kortslutninger "nul impedans" og strømkilderne til det originale kredsløb med åbne "uendelig impedans".

- Derefter beregnes den ækvivalente impedans efter reglerne for serieimpedanser og parallelle impedanser.

Anvendelser af Thévenins teorem (del I)

Vi anvender Thévenins teorem til at løse nogle kredsløb. I denne første del overvejer vi et kredsløb, der kun har spændingskilder og modstande.

Eksempel 1a (beregning af ækvivalent stress trin for trin)

Fig. 2 viser kredsløbet, der er i en himmelkasse, der har to elektromotoriske kraftbatterier henholdsvis V1 og V2 og modstande R1 og R2, kredsløbet har terminaler A og B, hvori en belastning kan forbindes.

Figur 2. Eksempel 1 på Thévenins teorem. Kilde: self made

Målet er at finde Thévenin-ækvivalente kredsløb, det vil sige at bestemme Vt- og Rt-værdierne for det ækvivalente kredsløb. Anvend følgende værdier: V1 = 4V, V2 = 1V, R1 = 3Ω, R2 = 6Ω, og R = 1Ω.

Trin for trin løsning

Trin 1

Vi bestemmer spændingen over terminalerne A og B, når der ikke er nogen belastning på dem.

Trin 2

Kredsløbet, der skal løses, består af et enkelt net, hvorigennem en strøm I cirkulerer, som vi har taget positive i urets retning.

Trin 3

Vi går igennem meshet med det nederste venstre hjørne. Stien fører til følgende ligning:

V1 - I * R1 - I * R2 - V2 = 0

Trin 4

Vi løser for maskestrømmen I og opnår:

I = (V1-V2) / (R1 + R2) = (4V - 1V) / (3Ω + 6Ω) = ⅓ A

Trin 5

Med maskestrømmen kan vi bestemme spændingsforskellen mellem A og B, som er:

Vab = V1 - I * R1 = 4V - ⅓ A * 3Ω = 3V

Med andre ord er Thevenin ækvivalente spænding: Vt = 3V.

Trin 6 (Thévenin ækvivalent modstand)

Vi fortsætter nu med at beregne Thévenin ækvivalente modstand, for og som tidligere nævnt, spændingskilderne erstattes af et kabel.

I dette tilfælde har vi kun to modstande parallelt, så Thévenin-ækvivalente modstand er:

Rt = (R1 * R2) / (R1 + R2) = (3Ω * 6Ω) / (3Ω + 6Ω) = 2Ω

Eksempel 1b (strøm i belastning ved hjælp af Thévenin-ækvivalent)

Forbind som belastning til terminalerne A og B en modstand R = 1Ω til det ækvivalente kredsløb og find strømmen, der strømmer gennem nævnte belastning.

Løsning

Når modstanden R er forbundet med Thevenin-ækvivalente kredsløb, har vi et simpelt kredsløb, der består af en kilde Vt en modstand Rt i serie med modstanden R.

Vi kalder Ic den strøm, der strømmer gennem belastningen R, så mesh ligningen ser sådan ud:

Vt - Ic * Rt - Ic * R = 0

hvorfra det følger, at Ic er givet af:

Ic = Vt / (Rt + R) = 3V / (2Ω + 1Ω) = 1 A

Bevis for Thévenins teorem

For at kontrollere, at Thévenins teorem er sandt, skal du forbinde R til det originale kredsløb og finde strømmen, der flyder gennem R ved at anvende maskeretten på det resulterende kredsløb.

Det resulterende kredsløb forbliver, og dets mesh-ligninger forbliver som vist i følgende figur:

Figur 3. Mesh-strømme. (Egen uddybning)

Ved at tilføje mesh ligningerne er det muligt at finde maskestrømmen I1 som en funktion af den aktuelle I2. Derefter substitueres den i den anden mesh-ligning, og en ligning efterlades med I2 som den eneste ukendte. Følgende tabel viser operationerne.

Figur 4. Detaljer om operationerne. (Egen uddybning)

Derefter erstattes kildemodstanden og spændingsværdierne, hvilket får den numeriske værdi af maskestrømmen I2.

Figur 5. Detalje af resultaterne. (Egen uddybning)

Meshstrømmen I2 er den strøm, der flyder gennem belastningsmodstanden R, og værdien fundet på 1 A falder fuldstændigt sammen med den tidligere fundet med det ækvivalente Thévenin-kredsløb.

Anvendelse af Thévenins teorem (del II)

I denne anden del anvendes Thévenins teorem i et kredsløb, der har spændingskilder, strømkilder og modstande.

Eksempel 2a (Thévenin ækvivalent modstand)

Målet er at bestemme det Thévenin-ækvivalente kredsløb, der svarer til kredsløbet i den følgende figur, når terminalerne er uden modstanden på 1 ohm, derefter placeres modstanden, og strømmen, der strømmer igennem, bestemmes.

Figur 6. Kredsløseeksempel 2. (Egen uddybning)

Løsning

For at finde den ækvivalente modstand skal du fjerne belastningsmodstanden (i dette tilfælde 1 ohm). Endvidere erstattes spændingskilder med en kortslutning og strømkilder med et åbent kredsløb.

På denne måde er det kredsløb, som den ækvivalente modstand beregnes for, det, der er vist nedenfor:

Figur 7. Detalje til beregning af den ækvivalente modstand (Egen uddybning)

Rab = (12Ω * 4Ω) / (12Ω + 4Ω) = 3Ω, som er Thevenin-ækvivalente modstand (Rth).

Eksempel 2b

Beregn den Thévenin ækvivalente spænding.

Løsning

For at beregne Thévenin ækvivalente spænding overvejer vi følgende kredsløb, hvor vi vil placere strømme i I1 og I2 i de grene, der er angivet i følgende figur:

Figur 8. Detaljer til Thévenin-stressberegningen. (Egen uddybning)

I den forrige figur vises ligningen af ​​de nuværende knudepunkter og ligningen af ​​spændinger, når det ydre net krydses. Fra den anden af ​​ligningerne ryddes den aktuelle I1:

I1 = 2 - I2 * (5/3)

Denne ligning er substitueret i ligningen for knudepunkterne:

I2 = 2 - (5/3) I2 + 2 ===> I2 (8/3) = 4 ===> I2 = 12/8 = 1,5 A

Dette betyder, at spændingsfaldet over 4 ohm-modstanden er 6 volt.

Kort sagt, Thévenin-spændingen er Vth = 6 V.

Eksempel 2c

Find Thevenin-ækvivalente kredsløb og strøm i belastningsmodstanden.

Figur 9. Strøm i belastningen med Thévenin-ækvivalent. (Egen uddybning)

Løsning

Den forrige figur viser Thévenin-ækvivalente kredsløb med belastningsmodstanden R. Fra spændingsligningen i masken, strømmen I, der strømmer gennem belastningsmodstanden R.

I = Vth / (Rth + R) = 6V / (3Ω + 1Ω) = 1,5 A

Anvendelse af Thévenins teorem (del III)

I denne tredje del af anvendelsen af ​​Thévenins teorem betragtes et vekselstrømskredsløb, der indeholder en vekslende spændingskilde, en kondensator, en induktans og en modstand.

Eksempel 3

Målet er at finde Thévenin Circuit svarende til følgende kredsløb:

Figur 10. Thévenin i et vekselstrømskredsløb. (Egen uddybning)

Løsning

Den ækvivalente impedans svarer til kondensatorens parallel med seriekombinationen af ​​modstand og induktans.

Den inverse af den ækvivalente impedans er givet ved:

Zeq ^ -1 = (-5j) ^ - 1 + (5 + 5j) ^ - 1 = (1/5) j + ((1/10 + (1/10) j) = (1/10 + 3 / 10 j) Mho

Og den tilsvarende impedans vil da være:

Zeq = (1 - 3 j) Ohm

Den komplekse strøm I kan stamme fra mesh-ligningen:

50V∠0 - I (-5 j + 5 + 5j) = 50V∠0 - I * 5 = 0 ===> I = 10A ∠0

Nu beregnes spændingsfaldet i modstanden plus induktansen, det vil sige spændingen Vab, der vil være den ækvivalente Thévenin-spænding:

Vab = I * (5 + 5 j) Ω = 10A ∠0 * 5Ω∠45º = 50V∠45º

Med andre ord, den ækvivalente spænding har den samme topværdi af den originale kilde, men er 45 grader ude af fase: Vth = 50V∠45º

Referencer

1. Elektronikvejledninger, Thevenins teorem. Gendannes fra: electronics-tutorials.ws
2. Netværksteori spørgsmål og svar. Thevenins teorem. Gendannes fra: sanfoundry.com
3. Thevenins teorem. Trin for trin procedure. Gendannet fra: electronictechnology.org
4. Thevenins teorem. Løst eksempel trin for trin. Gendannes fra: electronicsimple.blogspot.com
5. Workshop om Thevenins og Nortons sætninger. Gendannes fra: web.iit.edu
6. Wikipedia. Thévenins teorem. Gendannet fra: wikipedia.com