- Parabolske formler og ligninger
- - Bane, maksimal højde, maksimal tid og vandret rækkevidde
- bane
- Maksimal højde
- Maksimal tid
- Maksimal vandret rækkevidde og flyvetid
- Eksempler på parabolsk skydning
- Parabolskydning i menneskelige aktiviteter
- Parabolskuddet i naturen
- Dyrke motion
- Løsning på
- Opløsning c
- Referencer
Den Parabolsk for at smide en genstand eller et projektil vinkel og lade den bevæge sig under indvirkning af tyngdekraften. Hvis der ikke tages hensyn til luftmodstand, vil objektet, uanset dens natur, følge en parabolabue.
Det er en daglig bevægelse, da blandt de mest populære sportsgrene er dem, hvor kugler eller kugler kastes, enten med hånden, med foden eller med et instrument som f.eks. En ketsjer eller en flagermus.
Figur 1. Vandstrålen fra den dekorative springvand følger en parabolsk sti. Kilde: Wikimedia Commons. Zátonyi Sándor (ifj.), Fizped / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0)
Til sin undersøgelse er det paraboliske skud opdelt i to overlejrede bevægelser: det ene vandret uden acceleration og det andet lodret med konstant nedadgående acceleration, hvilket er tyngdekraften. Begge bevægelser har den første hastighed.
Lad os sige, at den vandrette bevægelse løber langs x-aksen og den lodrette bevægelse langs y-aksen. Hver af disse bevægelser er uafhængig af den anden.
Da bestemmelsen af projektilet er hovedmålet, er det nødvendigt at vælge et passende referencesystem. Detaljerne følger.
Parabolske formler og ligninger
Antag, at genstanden kastes med vinkel α med hensyn til den vandrette og indledende hastighed v eller som vist på figuren nedenunder. Det paraboliske skud er en bevægelse, der finder sted på xy-planet, og i dette tilfælde nedbrydes den oprindelige hastighed som følger:
Figur 2. Til venstre projektilens oprindelige hastighed og til højre positionen på ethvert tidspunkt af lanceringen. Kilde: Wikimedia Commons. Zátonyi Sándor, (ifj.) Fizped / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0).
Positionen af projektilet, som er den røde prik i figur 2, højre billede, har også to tidsafhængige komponenter, den ene ved x og den anden ved y. Position er en vektor betegnet r, og dens enheder er længde.
I figuren falder projektilets udgangsposition sammen med koordinatsystemets oprindelse, derfor er x o = 0 og o = 0. Dette er ikke altid tilfældet, du kan vælge oprindelsen hvor som helst, men dette valg forenkler meget beregninger.
Med hensyn til de to bevægelser i x og i y er disse:
-x (t): det er en ensartet retlinet bevægelse.
-y (t): svarer til en ensartet accelereret, retlinet bevægelse med g = 9,8 m / s 2 og peger lodret nedad.
I matematisk form:
Positionsvektoren er:
r (t) = i + j
I disse ligninger vil den opmærksomme læser bemærke, at minustegnet skyldes tyngdekraften, der peger mod jorden, den retning, der er valgt som negativ, mens opad er taget som positiv.
Da hastighed er det første derivat af position, skal du blot differentiere r (t) med hensyn til tid og opnå:
v (t) = v o cos α i + (v o. sin α - gt) j
Endelig udtrykkes accelerationen vektorielt som:
a (t) = -g j
- Bane, maksimal højde, maksimal tid og vandret rækkevidde
bane
For at finde den eksplicitte ligning af banen, som er kurven y (x), skal vi eliminere tidsparameteren, løse i ligningen for x (t) og erstatte i (y). Forenklingen er noget møysommelig, men endelig får du:
Maksimal højde
Den maksimale højde forekommer når v y = 0. At vide, at der er følgende forhold mellem position og hastighedens firkant:
Figur 3. Hastigheden i det paraboliske skud. Kilde: Giambattista, A. Physics.
At gøre v y = 0 lige når man når den maksimale højde:
Med:
Maksimal tid
Den maksimale tid er den tid det tager objektet at nå og maks. For at beregne det bruges:
Når vi ved, at v y bliver 0, når t = t max, resulterer det i:
Maksimal vandret rækkevidde og flyvetid
Området er meget vigtigt, fordi det signaliserer, hvor objektet falder. På denne måde vil vi vide, om det rammer målet eller ej. For at finde det har vi brug for flyvetid, total tid eller v.
Fra ovenstående illustration er det let at konkludere, at t v = 2.t max. Men pas på! Dette er kun tilfældet, hvis lanceringen er i niveau, det vil sige, at startpunktets højde er den samme som ankomsthøjden. Ellers findes tid ved at løse den kvadratiske ligning, der er resultatet af at erstatte den endelige og sidste position:
Under alle omstændigheder er den maksimale vandrette rækkevidde:
Eksempler på parabolsk skydning
Det paraboliske skud er en del af bevægelsen af mennesker og dyr. Også af næsten alle sportsgrene og spil, hvor tyngdekraften griber ind. For eksempel:
Parabolskydning i menneskelige aktiviteter
- Stenen kastet af en katapult.
-Målmandens målspark.
-Bolden kastet af kanden.
-Pilen, der kommer ud af buen.
-Alle slags spring
-Kast en sten med en slynge.
-Hver et kastevåben.
Figur 4. Stenen kastet af katapulten og bolden sparket i målspark er eksempler på parabolskud. Kilde: Wikimedia Commons.
Parabolskuddet i naturen
-Vandet, der strømmer fra naturlige eller kunstige jetfly såsom dem fra en springvand.
-Toner og lava, der springer ud af en vulkan.
-En kugle, der spretter fra fortovet eller en sten, der hopper på vand.
-Alle slags dyr, der hopper: kenguruer, delfiner, gazeller, katte, frøer, kaniner eller insekter, for at nævne nogle få.
Figur 5. Impalaen er i stand til at hoppe op til 3 m. Kilde: Wikimedia Commons. Arturo de Frias Marques / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0).
Dyrke motion
En græshoppe hopper i en vinkel på 55º med vandret og lander 0,80 meter foran. Finde:
a) Den maksimale nåede højde.
b) Hvis han sprang med samme starthastighed, men dannede en vinkel på 45º, ville han gå højere?
c) Hvad kan man sige om den maksimale vandrette rækkevidde for denne vinkel?
Løsning på
Når dataene, der leveres af problemet, ikke indeholder den oprindelige hastighed v, eller beregningerne er noget mere besværlige, men fra de kendte ligninger kan der udledes et nyt udtryk. Startende fra:
Når den lander senere, vender højden tilbage til 0, så:
Da t v er en almindelig faktor, forenkler det:
Vi kan løse for t v fra den første ligning:
Og udskift i det andet:
Når man multiplicerer alle udtryk med v eller.cos α, ændres udtrykket ikke, og nævneren forsvinder:
Nu kan du rydde v eller o også erstatte følgende identitet:
sin 2α = 2 sin α. cos α → v eller 2 sin 2α = gx max
Beregn v eller 2:
Hummeren formår at opretholde den samme vandrette hastighed, men ved at reducere vinklen:
Når en lavere højde.
Opløsning c
Den maksimale vandrette rækkevidde er:
Ændring af vinklen ændrer også den vandrette rækkevidde:
x max = 8,34 sin 90 / 9,8 m = 0,851 m = 85,1 cm
Hoppet er længere nu. Læseren kan kontrollere, at den er maksimal for 45 ° vinklen, fordi:
sin 2a = sin 90 = 1.
Referencer
- Figueroa, D. 2005. Series: Physics for Sciences and Engineering. Bind 1. Kinematik. Redigeret af Douglas Figueroa (USB).
- Giambattista, A. 2010. Fysik. Anden version. McGraw Hill.
- Giancoli, D. 2006. Fysik: Principper med applikationer. 6th. Ed Prentice Hall.
- Resnick, R. 1999. Physics. Bind 1. 3. udgave på spansk. Compañía Redaktionel Kontinentalt SA de CV
- Sears, Zemansky. 2016. Universitetsfysik med moderne fysik. 14th. Udgave 1.