BANE I FYSIK: EGENSKABER, TYPER, EKSEMPLER OG ØVELSER - FYSISK - 2025

Den bane i fysik er den kurve, at en mobil beskriver som det passerer gennem successive punkter under dens bevægelse. Da det kan tage mange varianter, så vil også de baner, som mobilen kan følge, være.

For at komme fra et sted til et andet kan en person tage forskellige stier og forskellige måder: til fods gennem fortovene i gader og veje, eller ankomme med bil eller motorcykel på en motorvej. Under en gåtur gennem skoven kan vandreren følge en kompliceret sti, der inkluderer sving, gå op eller ned i niveau og endda passere gennem det samme sted flere gange.

Figur 1. Ved at forene slutpunkterne for hver positionsvektor opnås banen, der følges af partiklen. Kilde: Algarabia

Hvis de punkter, som mobilen kører gennem, følger en lige linje, vil banen være retlinet. Dette er den enkleste sti, da den er en-dimensionel. Specificering af positionen kræver en enkelt koordinat.

Men mobilen kan følge en krumlinet sti og være i stand til at være lukket eller åben. I disse tilfælde kræver sporing af position to eller tre koordinater. Dette er bevægelser i henholdsvis flyet og rummet. Dette har at gøre med links: begrænsning af materielle bevægelsesbetingelser. Nogle eksempler er:

- Banerne, der beskriver planeterne omkring solen, er lukkede stier i form af en ellipse. Skønt de i nogle tilfælde kan tilnærmes til et cirkulært, som i tilfældet med Jorden.

- Bolden, som målmanden sparker i et målspark, følger en parabolsk bane.

- En fugl under flyvning beskriver krumme baner i rummet, fordi den ud over at bevæge sig på et fly kan gå op eller ned i niveau efter ønske.

Banen i fysik kan udtrykkes matematisk, når mobilens placering er kendt på ethvert tidspunkt. Lad r være positionsvektoren, der igen har x-, y- og z-koordinater i det mest generelle tilfælde af en tredimensionel bevægelse. Når man kender funktionen r (t), vil banen være helt bestemt.

typer

Generelt kan banen være en temmelig kompliceret kurve, især hvis du vil udtrykke den matematisk. Af denne grund starter vi med de enkleste modeller, hvor mobilerne kører i en lige linje eller i et fly, der kan være gulvet eller et hvilket som helst andet passende:

Bevægelser i en, to og tre dimensioner

De mest studerede bane er:

- Rettlinjet, når du rejser på en lige vandret, lodret eller skråtlinie. En kugle kastet lodret opad følger denne sti, eller en genstand, der glider ned ad en hældning, følger. Det er en-dimensionel bevægelse, hvor en enkelt koordinat er nok til at bestemme deres position fuldstændigt.

- Parabol, hvor mobilen beskriver en parabolabue. Det er hyppigt, da ethvert objekt, der kastes skråt under tyngdekraften (et projektil), følger denne bane. For at specificere mobilens placering skal du give to koordinater: x og y.

- Cirkulær, opstår, når den bevægende partikel følger en cirkel. Det er også almindeligt i naturen og i daglig praksis. Mange hverdagsobjekter følger en cirkulær bane som dæk, maskindele og kredsløbssatellitter for at give et par eksempler.

- Elliptisk, objektet bevæger sig efter en ellipse. Som sagt i begyndelsen er det stien fulgt af planeterne i kredsløb omkring solen.

- Hyperboliske, astronomiske objekter under handlingen af ​​en central kraft (tyngdekraft) kan følge elliptiske (lukkede) eller hyperboliske (åbne) bane, disse er mindre hyppige end de førstnævnte.

- Helisk eller spiralbevægelse, som en fugl, der stiger op i en termisk strøm.

- Sving eller pendul, mobilen beskriver en bue i bevægelser frem og tilbage.

eksempler

Banerne beskrevet i det foregående afsnit er meget nyttige til hurtigt at få en idé om, hvordan et objekt bevæger sig. Under alle omstændigheder er det nødvendigt at præcisere, at en mobil bane afhænger af observatørens placering. Dette betyder, at den samme begivenhed kan ses på forskellige måder, afhængigt af hvor hver person er.

For eksempel pedaler en pige med konstant hastighed og kaster en bold opad. Hun observerer, at bolden beskriver en retlinet sti.

For en observatør, der står på vejen, der ser den passere, vil bolden dog have en parabolsk bevægelse. For ham blev bolden oprindeligt kastet med en skrå hastighed, et resultat af hastigheden opad ved pigens hånd plus cyklens hastighed.

Figur 2. Denne animation viser det lodrette kast af en kugle foretaget af en pige, der kører på en cykel, som hun ser den (retlinet sti) og som en observatør ser den (parabolsk sti). (Udarbejdet af F. Zapata).

Sti til en mobil på eksplicit, implicit og parametrisk måde

- Eksplicit, direkte angivelse af kurven eller lokuset angivet af ligningen y (x)

- Implicit, hvor en kurve udtrykkes som f (x, y, z) = 0

- Parametrisk, på denne måde er koordinaterne x, y og z givet som en funktion af en parameter, der generelt vælges som tid t. I dette tilfælde er banen sammensat af funktionerne: x (t), y (t) og z (t).

Dernæst er to baner, der er blevet undersøgt i vid udstrækning i kinematik, detaljerede: den paraboliske bane og den cirkulære bane.

Vippet lancering ind i tomrummet

Et objekt (projektilet) kastes i en vinkel a med vandret, og med starthastighed v _o, som vist i figuren. Der tages ikke hensyn til luftmodstand. Bevægelsen kan behandles som to uafhængige og samtidige bevægelser: den ene vandret med konstant hastighed og den anden lodret under tyngdekraften.

Disse ligninger er de parametriske ligninger ved projektil-lancering. Som forklaret ovenfor har de en fælles parameter t, som er tid.

Følgende kan ses i den højre trekant på figuren:

Figur 3. Parabolsk bane efterfulgt af et projektil, hvor komponenterne i hastighedsvektoren er vist. H er den maksimale højde, og R er den maksimale vandrette rækkevidde. Kilde: Ayush12gupta

Udskiftning af disse ligninger, der indeholder startvinklen i de parametriske ligninger, resulterer i:

Ligning af den paraboliske sti

Stienes eksplicitte ligning findes ved at løse t fra ligningen for x (t) og i stedet for y (t) i ligningen. For at lette algebraisk arbejde kan det antages, at oprindelsen (0,0) er placeret ved startpunktet og dermed x _o = y _o = 0.

Dette er ligningen af ​​stien i eksplicit form.

Cirkulær sti

En cirkulær sti er givet af:

Figur 4. En partikel bevæger sig i en cirkulær bane på planet. Kilde: ændret af F. Zapata fra Wikimedia Commons.

Her x _eller yy _o repræsenterer midten af omkredsen er beskrevet af den mobile og R er dens radius. P (x, y) er et punkt på stien. Fra den skraverede højre trekant (figur 3) kan det ses, at:

Parameteren er i dette tilfælde fejet vinkel θ, kaldet den vinkelfortrængning. I det særlige tilfælde, hvor vinkelhastigheden ω (vinklet vippet pr. Tidsenhed) kan konstateres, at:

Hvor θ _o er den indledende vinkelposition for partiklen, der, hvis den tages som 0, reduceres til:

I et sådant tilfælde vender tiden tilbage til de parametriske ligninger som:

Enhedsvektorerne i og j er meget praktiske til at skrive positionsfunktionen for et objekt r (t). De angiver retningerne på henholdsvis x-aksen og på y-aksen. I sit udtryk er placeringen af ​​en partikel, der beskriver en ensartet cirkulær bevægelse:

r (t) = R.cos ω t i + R. sin ω t j

Løst øvelser

Løst øvelse 1

En kanon kan skyde en kugle med en hastighed på 200 m / s og en vinkel på 40º i forhold til vandret. Hvis kastet er på fladt underlag og luftmodstand forsømmes, find:

a) Ligningen af ​​stien y (x)..

b) De parametriske ligninger x (t) og y (t).

c) Det horisontale interval og den tid projektilet varer i luften.

d) Den højde, hvor projektilet er, når x = 12.000 m

Løsning på)

a) For at finde bane erstattes værdierne i ligningen y (x) i det foregående afsnit:

Opløsning b)

b) Startpunktet vælges ved koordinatsystemets oprindelse (0,0):

Opløsning c)

c) For at finde den tid, hvor projektilet varer i luften, lad y (t) = 0, hvor lanceringen foregår på fladt underlag:

Den maksimale vandrette rækkevidde findes ved at erstatte denne værdi i x (t):

En anden måde at finde x _max direkte på er ved at indstille y = 0 i ligningen af ​​stien:

Der er en lille forskel på grund af afrunding af decimalerne.

Opløsning d)

d) For at finde højden, når x = 12000 m, erstattes denne værdi direkte i ligningen af ​​stien:

Træning løst 2

Positionsfunktionen af ​​et objekt er givet af:

r (t) = 3t i + (4 -5t ²) j m

Finde:

a) Ligningen for stien. Hvilken kurve er det?

b) Startpositionen og positionen, når t = 2 s.

c) Forskydningen foretaget efter t = 2 s.

Løsning

a) Positionfunktionen er givet med hensyn til enhedsvektorerne i og j, som henholdsvis bestemmer retningen i x- og y-akserne, derfor:

Ligningen af ​​stien y (x) findes ved at løse t fra x (t) og erstatte i y (t):

b) Den oprindelige position er: r (2) = 4 j m; positionen ved t = 2 s er r (2) = 6 i -16 j m

c) Fortrængningen Dr er subtraktion af de to positionsvektorer:

Træning løst 3

Jorden har en radius R = 6300 km, og det vides, at rotationsperioden for dens bevægelse omkring dens akse er en dag. Finde:

a) Ligningen af ​​et banes bane på jordoverfladen og dens positionsfunktion.

b) Hastighed og acceleration af dette punkt.

Løsning på)

a) Positionsfunktionen for ethvert punkt i en cirkulær bane er:

r (t) = R.cos ω t i + R. sin ω t j

Vi har radius af Jorden R, men ikke vinkelhastigheden however, men det kan beregnes fra perioden, vel vidende at for cirkulær bevægelse er det gyldigt at sige, at:

Bevægelsesperioden er: 1 dag = 24 timer = 1440 minutter = 86 400 sekunder, derfor:

Udskiftning i positionsfunktionen:

r (t) = R.cos ω t i + R. sin ω t j = 6300 (cos 0.000023148t i + sin 0.000023148t j) Km

Stien i parametrisk form er:

Opløsning b)

b) For cirkulær bevægelse er størrelsen af ​​den lineære hastighed v af et punkt relateret til vinkelhastigheden w ved:

Selvom det er en bevægelse med en konstant hastighed på 145,8 m / s, er der en acceleration, der peger mod midten af ​​den cirkulære bane, der har ansvaret for at holde punktet i rotation. Det er den centripetale acceleration ved _c, givet af:

Referencer

1. Giancoli, D. Fysik. (2006). Principper med applikationer. 6 ^th Prentice Hall. 22-25.
2. Kirkpatrick, L. 2007. Fysik: Et kig på verden. 6 ^ta Redigering forkortet. Cengage Learning. 23.-27.
3. Resnick, R. (1999). Fysisk. Bind 1. Tredje udgave på spansk. Mexico. Compañía Editorial Continental SA de CV 21-22.
4. Rex, A. (2011). Fundamentals of Physics. Pearson. 33 - 36
5. Sears, Zemansky. (2016). Universitetsfysik med moderne fysik. 14 ^th. Udgave bind 1. 50 - 53.
6. Serway, R., Jewett, J. (2008). Fysik til videnskab og teknik. Bind 1. 7 ^ma. Edition. Mexico. Cengage Learning Editors. 23-25.
7. Serway, R., Vulle, C. (2011). Fundamentals of Physics. 9 ^na Ed. Cengage Learning. 43 - 55.
8. Wilson, J. (2011). Fysik 10. Pearson Uddannelse. 133-149.