KONTINUERLIG VARIABEL: EGENSKABER, EKSEMPLER OG ØVELSER - FYSISK - 2025

Den kontinuerlige variabel er en, der kan tage et uendeligt antal numeriske værdier mellem to givne værdier, selvom disse to værdier er vilkårligt tæt. De bruges til at beskrive målbare attributter; for eksempel højde og vægt. De værdier, som en kontinuerlig variabel tager, kan være rationelle tal, reelle tal eller komplekse tal, selvom sidstnævnte tilfælde er mindre hyppig i statistikker.

Den vigtigste egenskab ved kontinuerlige variabler er, at der mellem to rationelle eller reelle værdier altid kan findes en anden, og mellem den anden og den første en anden værdi kan findes, og så videre på ubestemt tid.

Figur 1. Kurven repræsenterer en kontinuerlig fordeling og stængerne en diskret. Kilde: pixabay

Antag f.eks. Den variable vægt i en gruppe, hvor den tungeste vejer 95 kg og den laveste vejer 48 kg; det ville være variablen og antallet af mulige værdier er uendelig.

For eksempel kan mellem 50,00 kg og 50,10 kg være 50,01. Men mellem 50,00 og 50,01 kan være målene 50,005. Det er en kontinuerlig variabel. På den anden side, hvis der i de mulige målinger af vægt blev fastlagt en præcision på en enkelt decimal, ville den anvendte variabel være diskret.

Kontinuerlige variabler hører til kategorien af ​​kvantitative variabler, fordi de har en numerisk værdi knyttet til dem. Med denne numeriske værdi er det muligt at udføre matematiske operationer, der spænder fra aritmetiske til uendelige beregningsmetoder.

eksempler

De fleste af fysiske variabler er kontinuerlige variabler, blandt dem kan vi navngive: længde, tid, hastighed, acceleration, energi, temperatur og andre.

Kontinuerlige variabler og diskrete variabler

I statistikker kan forskellige typer variabler defineres, både kvalitative og kvantitative. Kontinuerlige variabler hører til sidstnævnte kategori. Hos dem er det muligt at udføre aritmetiske og beregningsoperationer.

For eksempel er variablen h, svarende til personer med en højde mellem 1,50 m og 1,95 m, en kontinuerlig variabel.

Lad os sammenligne denne variabel med denne: antallet af gange, en møntkast kastes op, hvilket vi vil kalde n.

Variablen n kan tage værdier mellem 0 og uendelig, men n er ikke en kontinuerlig variabel, da den ikke kan tage værdien 1.3 eller 1.5, fordi der mellem værdierne 1 og 2 ikke er nogen anden. Dette er et eksempel på en diskret variabel.

Kontinuerlig variabel træning

Overvej følgende eksempel: en maskine fremstiller tændstikker og pakker dem i kassen. To statistiske variabler er defineret:

Den nominelle matchlængde er 5,0 cm med en tolerance på 0,1 cm. Antallet af kampe pr. Boks er 50 med en tolerance på 3.

a) Angiv det interval af værdier, som L og N kan tage.

b) Hvor mange værdier kan L tage?

c) Hvor mange værdier kan n ikke tage?

Angiv i begge tilfælde, om det er en diskret eller kontinuerlig variabel.

Løsning

Værdierne af L er i området; det vil sige, at værdien af ​​L er i intervallet, og variablen L kan tage uendelige værdier mellem disse to målinger. Det er derefter en kontinuerlig variabel.

Værdien af ​​variabel n er i intervallet. Variablen n kan kun tage 6 mulige værdier i toleranceintervallet, det er derefter en diskret variabel.

Træning af

Hvis de værdier, der er taget af variablen ud over at være kontinuerlige, har en vis sandsynlighed for forekomst, der er forbundet med dem, er det en kontinuerlig tilfældig variabel. Det er meget vigtigt at skelne, hvis variablen er diskret eller kontinuerlig, da de sandsynlige modeller, der gælder for den ene og den anden, er forskellige.

En kontinuerlig tilfældig variabel er fuldstændigt defineret, når de værdier, den kan antage, og sandsynligheden for, at hver enkelt af dem har forekomme, er kendt.

- Øv 1 af sandsynligheder

Matchmakeren gør dem på en sådan måde, at pindernes længde altid er mellem værdierne 4,9 cm og 5,1 cm og nul uden for disse værdier. Der er sandsynlighed for at få en pind, der måler mellem 5.00 og 5.05 cm, selvom vi også kunne udtrække en på 5.0003 cm. Er disse værdier lige sandsynlige?

Løsning

Antag, at sandsynlighedstætheden er ensartet. Sandsynligheden for at finde et match med en bestemt længde er anført nedenfor:

-Til en match er i området har sandsynlighed = 1 (eller 100%), da maskinen ikke trækker kampe uden for disse værdier.

-Findingen af ​​et match, der er mellem 4,9 og 5,0, har sandsynlighed = ½ = 0,5 (50%), da det er halvdelen af ​​længden.

-Og sandsynligheden for, at kampen har længde mellem 5,0 og 5,1, er også 0,5 (50%)

-Det er kendt, at der ikke er matchstikker, der har en længde mellem 5,0 og 5,2. Sandsynlighed: nul (0%).

Sandsynlighed for at finde en tandstikker i et bestemt interval

Lad os nu observere følgende sandsynligheder P for at opnå pinde, hvis længde er mellem l ₁ og l ₂:

-P, at en kamp har en længde mellem 5,00 og 5,05 betegnes som P ():

-P, at bakken har længde mellem 5,00 og 5,01 er:

-P, at bakken har en længde mellem 5.000 og 5.001 er endnu mindre:

Hvis vi fortsat reducerer intervallet for at komme nærmere og nærmere 5.00, er sandsynligheden for, at en tandstikker er nøjagtigt 5,00 cm, nul (0%). Hvad vi har, er sandsynligheden for at finde et match inden for et bestemt interval.

Sandsynlighed for at finde flere tandstikkere i et givet interval

Hvis begivenhederne er uafhængige, er sandsynligheden for, at to tandstikkere er inden for et bestemt område, produktet af deres sandsynligheder.

-Sandsynligheden for, at to spisepinde er mellem 5,0 og 5,1, er 0,5 * 0,5 = 0,25 (0,25%)

-Sandsynligheden for, at 50 tandstikkere er mellem 5,0 og 5,1, er (0,5) ^ 50 = 9 × 10 ^ -16, det vil sige næsten nul.

-Sandsynligheden for, at 50 tandstikkere er mellem 4,9 og 5,1, er (1) ^ 50 = 1 (100%)

- Øvelse 2 af sandsynligheder

I det foregående eksempel blev antagelsen antaget, at sandsynligheden er ensartet i det givne interval, men dette er ikke altid tilfældet.

Når det gælder den faktiske maskine, der fremstiller tandstikkere, er chancen for, at tandstikkeren er i centrumværdien, større end den er ved en af ​​de ekstreme værdier. Fra et matematisk synspunkt er dette modelleret med en funktion f (x) kendt som sandsynlighedstætheden.

Sandsynligheden for, at målet L er mellem a og b, beregnes ved hjælp af det definitive integral af funktionen f (x) mellem a og b.

Antag som et eksempel, at vi ønsker at finde funktionen f (x), der repræsenterer en ensartet fordeling mellem værdierne 4.9 og 5.1 fra øvelse 1.

Hvis sandsynlighedsfordelingen er ens, er f (x) lig med konstanten c, som bestemmes ved at tage integralen mellem 4,9 og 5,1 af c. Da dette integral er sandsynligheden, skal resultatet være 1.

Figur 2. Ensartet sandsynlighedstæthed. (Egen uddybning)

Hvilket betyder, at c er værd 1 / 0,2 = 5. Det vil sige, den ensartede sandsynlighedsdensitetsfunktion er f (x) = {5, hvis 4,9≤x≤5,1 og 0 uden for dette interval. En ensartet sandsynlighedstæthedsfunktion er vist i figur 2.

Bemærk, hvordan i intervaller med den samme bredde (for eksempel 0,02) sandsynligheden er den samme i midten som i slutningen af ​​området for den kontinuerlige variabel L (tandstikkelængde).

En mere realistisk model ville være en sandsynlighedsdensitetsfunktion som følgende:

Figur 3. Ikke-ensartet sandsynlighedsdensitetsfunktion. (Egen uddybning)

I figur 3 kan det ses, hvordan sandsynligheden for at finde tandstikker mellem 4,99 og 5,01 (bredde 0,02) er større end den for at finde tandstikker mellem 4,90 og 4,92 (bredde 0,02)

Referencer

1. Dinov, Ivo. Diskrete tilfældige variabler og sandsynlighedsfordelinger. Hentet fra: stat.ucla.edu
2. Diskrete og kontinuerlige tilfældige variabler. Hentet fra: ocw.mit.edu
3. Diskrete tilfældige variabler og sandsynlighedsfordelinger. Hentet fra: hjemmeside.divms.uiowa.edu
4. H. Pishro. Introduktion til sandsynlighed. Gendannes fra: sandsynlighed kurs.com
5. Mendenhall, W. 1978. Statistik for ledelse og økonomi. Grupo Redaktion Iberoamericana. 103-106.
6. Tilfældige variabler Problemer og sandsynlighedsmodeller. Gendannes fra: ugr.es.
7. Wikipedia. Kontinuerlig variabel. Gendannes fra wikipedia.com
8. Wikipedia. Statistikvariabel. Gendannes fra wikipedia.com.