VEKTOR: EGENSKABER OG EGENSKABER, ELEMENTER, TYPER, EKSEMPLER - VIDENSKAB - 2025

De vektorer er matematiske enheder, der har en generelt ledsaget af en måleenhed -positiva- størrelsen og retningen godt. Sådanne egenskaber er meget passende til at beskrive fysiske mængder såsom hastighed, kraft, acceleration og mange flere.

Med vektorer er det muligt at udføre operationer som tilføjelse, subtraktion og produkter. Opdeling er ikke defineret for vektorer, og hvad angår produktet, er der tre klasser, som vi vil beskrive senere: prikprodukt eller punkt, vektorprodukt eller kryds og produkt af en skalar med en vektor.

Figur 1. Elementerne i en vektor. Kilde: Wikimedia Commons.

For fuldt ud at beskrive en vektor skal alle dens egenskaber angives. Størrelsen eller modulet er en numerisk værdi ledsaget af en enhed, mens retningen og sansen fastlægges ved hjælp af et koordinatsystem.

Lad os se på et eksempel: Antag, at et fly flyver fra en by til en anden med en hastighed på 850 km / t i NE-retning. Her har vi en fuldt specificeret vektor, da størrelsen er tilgængelig: 850 km / t, mens retningen og sansen er NE.

Vektorer er normalt repræsenteret grafisk af orienterede linjesegmenter, hvis længde er proportional med størrelsen.

Selvom der kræves en referencelinie, der normalt er den vandrette akse for at specificere retningen og forstanden, selvom nord også kan betragtes som en reference, er dette tilfældet med flyets hastighed:

Figur 2. En hastighedsvektor. Kilde: F. Zapata.

Figuren viser planets hastighedsvektor, betegnet som v i fed skrift, for at skelne det fra en skalær mængde, som kun kræver en numerisk værdi og en enhed skal specificeres.

Elementer af en vektor

Som vi har sagt, er vektorens elementer:

-Magnitude eller modul, nogle gange også kaldet vektorens absolutte værdi eller norm.

-Adresse

-Følelse

I eksemplet i figur 2 er modulet af v 850 km / t. Modulet betegnes som v uden fed, eller som - v -, hvor bjælkerne repræsenterer den absolutte værdi.

Retningen af v er specificeret i forhold til nord. I dette tilfælde er det 45º nord for øst (45 º NØ). Endelig informerer pilens spids om følelsen af v.

I dette eksempel er vektorens oprindelse tegnet sammenfaldende med koordinatsystemets oprindelse O, dette er kendt som en sammenkoblet vektor. På den anden side, hvis oprindelsen af ​​vektoren ikke falder sammen med referencesystemets, siges det at være en fri vektor.

Det skal bemærkes, at for at specificere vektoren fuldstændigt, skal disse tre elementer bemærkes, ellers ville beskrivelsen af ​​vektoren være ufuldstændig.

Rektangulære komponenter i en vektor

Figur 3. Rektangulære komponenter af en vektor i planet. Kilde: Wikimedia Commons. uranther

På billedet har vi tilbage vores eksempelvektor v, der er i xy-planet.

Det er let at se, at fremspringene af v på x- og y-koordinatakserne bestemmer en højre trekant. Disse fremspring er v _{y og} v _x og kaldes rektangulære komponenter af v.

En måde at betegne v med dets rektangulære komponenter på er sådan: v =x, v _og >. Disse parenteser bruges i stedet for parenteser for at understrege det faktum, at det er en vektor og ikke en periode, da parenteser i dette tilfælde ville blive brugt.

Hvis vektoren er i tredimensionelt rum, er der behov for en yderligere komponent, så:

v =x, v _y, v _z >

Kende de rektangulære komponenter størrelsen af vektoren beregnes, svarende til at finde hypotenusen i den højre trekant, hvis ben er v _x og v _{og ,.} Ved hjælp af Pythagorean-sætningen følger det, at:

Polær form af en vektor

Når størrelsen på vektoren - v - og vinklen θ, som den skaber med referenceaksen, generelt den vandrette akse, er kendt, specificeres vektoren også. Vektoren siges derefter at udtrykkes i polær form.

De rektangulære komponenter i dette tilfælde beregnes let:

I henhold til ovenstående ville de rektangulære komponenter af hastighedsvektoren v i planet være:

typer

Der er flere typer vektorer. Der er vektorer med hastighed, position, forskydning, kraft, elektrisk felt, momentum og mange flere. Som vi allerede har sagt, er der i fysik et stort antal vektormængder.

Med hensyn til vektorer, der har visse egenskaber, kan vi nævne følgende typer vektorer:

-Nul: dette er vektorer, hvis størrelse er 0, og som er betegnet som 0. Husk, at det fed skrift bogstav symboliserer de tre grundlæggende karakteristika for en vektor, mens det normale bogstav kun repræsenterer modulet.

For eksempel skal summen af ​​kræfter på et legeme i statisk ligevægt være en nullvektor.

- Frie og sammenkoblede: frie vektorer er dem, hvis oprindelses- og ankomstpunkter er et hvilket som helst par af punkter i planet eller rummet, i modsætning til sammenkoblede vektorer, hvis oprindelse er sammenfaldende med det i det referencesystem, der bruges til at beskrive dem.

Parret eller det øjeblik, der er produceret af et par kræfter, er et godt eksempel på en fri vektor, da parret ikke finder anvendelse på et bestemt punkt.

- Equipolentes: de er to frie vektorer, der har identiske egenskaber. Derfor har de samme størrelse, retning og sans.

- Coplanar eller coplanar: vektorer, der hører til det samme plan.

- Modsætninger: vektorer med samme størrelse og retning, men modsatte retninger. Vektoren overfor en vektor v er vektoren - v, og summen af ​​begge er nulvektoren: v + (- v) = 0.

- Samtidig: vektorer, hvis handlingslinjer alle passerer gennem det samme punkt.

- Sliders: er de vektorer, hvis applikationspunkt kan glide langs en bestemt linje.

- Collinear: vektorer, der er placeret på samme linje.

- Unitary: de vektorer, hvis modul er 1.

Ortogonale enhedsvektorer

Der er en meget nyttig type vektor i fysik kaldet en ortogonal enhedsvektor. Den ortogonale enhedsvektor har et modul, der er lig med 1, og enhederne kan være en hvilken som helst, for eksempel dem med hastighed, position, kraft eller andre.

Der er et sæt specielle vektorer, der hjælper med let at repræsentere andre vektorer og udføre operationer med dem: de er de ortogonale enhedsvektorer i, j og k, enhed og vinkelret på hinanden.

I to dimensioner er disse vektorer rettet langs den positive retning af både x-aksen og y-aksen. Og i tre dimensioner tilføjes en enhedsvektor i retning af den positive z-akse. De er repræsenteret som følger:

i = <1, 0,0>

j = <0,1,0>

k = <0,0,1>

En vektor kan repræsenteres af enhedsvektorerne i, j og k som følger:

v = v _x i + v _y j + v _z k

For eksempel kan hastighedsvektoren v i de foregående eksempler skrives som:

v = 601,04 i + 601,04 j km / t

Komponenten i k er ikke nødvendig, da denne vektor er i planet.

Vector tilføjelse

Summen af ​​vektorer vises meget ofte i forskellige situationer, for eksempel når du ønsker at finde den resulterende kraft på et objekt, der er påvirket af forskellige kræfter. For at begynde skal du antage, at vi har to frie vektorer u og v i planet, som vist i følgende figur til venstre:

Figur 4. Grafisk sum af to vektorer. Kilde: Wikimedia Commons. Lluc cabanach.

Den overføres straks omhyggeligt til vektoren v uden at ændre dens størrelse, retning eller sans, så dens oprindelse falder sammen med slutningen af u.

Vektorsummen kaldes w og trækkes fra u, der slutter i v, i henhold til den rigtige figur. Det er vigtigt at bemærke, at størrelsen af ​​vektoren w ikke nødvendigvis er summen af ​​størrelserne på v og u.

Hvis du tænker nøje over det, er den eneste gang størrelsen af ​​den resulterende vektor summen af ​​størrelserne af tilføjelserne, når begge tilføjelser er i samme retning og har samme forstand.

Og hvad sker der, hvis vektorerne ikke er frie? Det er også meget let at tilføje dem. Måden at gøre det på er ved at tilføje komponent til komponent eller analysemetode.

Lad os som et eksempel overveje vektorerne i den følgende figur, den første ting er at udtrykke dem på en af ​​de kartesiske måder, der tidligere er forklaret:

Figur 5. Summen af ​​to sammenkoblede vektorer. Kilde: Wikimedia Commons.

v = <5.1>

u = <2,3>

For at få x-komponenten af ​​sumvektoren w, tilføj de respektive x-komponenter af v og u: w _x = 5 + 2 = 7. Og for at opnå w _y en analog fremgangsmåde følges: w _y = 1 + 3. Dermed:

u = <7.4>

Egenskaber ved vektortilsætning

- Summen af ​​to eller flere vektorer resulterer i en anden vektor.

-Det er kommutativt, rækkefølgen af ​​tilføjelser ændrer ikke summen på en sådan måde, at:

u + v = v + u

- Det neutrale element i summen af ​​vektorer er nullvektoren: v + 0 = v

- Subtraktion af to vektorer defineres som summen af ​​det modsatte: v - u = v + (-u)

Vectoreksempler

Som vi har sagt, der er adskillige vektormængder i fysik. Blandt de bedst kendte er:

-Position

-Displacement

-Gennemsnitshastighed og øjeblikkelig hastighed

-Acceleration

-Kraft

-Mængde af bevægelse

-Torque eller et øjeblik af en styrke

-Impuls

-Elektrisk felt

-Magnetfelt

-Magnetisk øjeblik

På den anden side er de ikke vektorer, men skalarer:

-Vejr

-Masse

-Temperatur

-Bind

-Massefylde

-Mekanisk arbejde

-Energi

-Hed

-Strøm

-Spænding

-Elektrisk strøm

Andre operationer mellem vektorer

Ud over tilføjelse og subtraktion af vektorer er der tre andre meget vigtige operationer mellem vektorer, fordi de giver anledning til nye meget vigtige fysiske mængder:

-Produktion af en skalar ved hjælp af en vektor.

-Punktproduktet eller prikproduktet mellem vektorer

-Og kryds- eller vektorproduktet mellem to vektorer.

Produkt af en skalar og en vektor

Overvej Newtons anden lov, der siger, at styrken F og accelerationen a er proportional. Proportionalitetskonstanten er objektets masse m, derfor:

F = m. til

Masse er en skalar; for deres del er kraft og acceleration vektorer. Da kraft opnås ved at multiplicere masse med acceleration, er det resultatet af produktet af en skalar og en vektor.

Denne type produkt resulterer altid i en vektor. Her er et andet eksempel: mængden af ​​bevægelse. Lad P være momentumvektoren, v hastighedsvektoren, og som altid er m massen:

P = m. v

Prik produkt eller prik produkt mellem vektorer

Vi har anbragt mekanisk arbejde på listen over mængder, der ikke er vektorer. Arbejde i fysik er imidlertid resultatet af en operation mellem vektorer kaldet skalarprodukt, indre produkt eller prikprodukt.

Lad vektorerne v og u, definér prik- eller skalaproduktet imellem som:

v ∙ u = - v - ∙ - u -.cos θ

Hvor θ er vinklen mellem de to. Fra den viste ligning følger det øjeblikkeligt, at resultatet af prikproduktet er en skalar, og også at hvis begge vektorer er vinkelret, er deres dotprodukt 0.

Tilbage til mekanisk arbejde W, dette er det skalære produkt mellem kraftvektoren F og forskydningsvektoren ℓ.

Når der er tilgængelige vektorer med hensyn til deres komponenter, er prikproduktet også meget let at beregne. Hvis v =x, v _y, v _z > y u =x, u _y, u _z >, prikproduktet mellem de to er:

v ∙ u = v _x u _x + v _y u _y + v _z u _z

Punktproduktet mellem vektorer er kommutativt, derfor:

v ∙ u = u ∙ v

Kryds produkt eller vektorprodukt mellem vektorer

Hvis v og u er vores to eksempelvektorer, definerer vi vektorproduktet som:

v x u = w

Det følger straks, at krydsproduktet resulterer i en vektor, hvis modul er defineret som:

Hvor θ er vinklen mellem vektorerne.

Krydsproduktet er ikke kommutativt, derfor v x u ≠ u x v. Faktisk er v x u = - (u x v).

Hvis de to eksempelvektorer udtrykkes som enhedsvektorer, letter beregningen af ​​vektorproduktet:

v = v _x i + v _y j + v _z k

u = u _x i + u _y j + u _z k

Kryds produkter mellem enhedsvektorer

Krydsproduktet mellem identiske enhedsvektorer er nul, da vinklen mellem dem er 0º. Men mellem forskellige enhedsvektorer er vinklen mellem dem 90º og sin 90º = 1.

Følgende diagram hjælper med at finde disse produkter. I pilens retning har den en positiv retning og i den modsatte retning negativ:

i x j = k, j x k = i; k x i = j; j x i = -k; k x j = -i; i x k = -j

Anvendelse af den distribuerende egenskab, der stadig er gyldig for produkterne mellem vektorer plus egenskaberne for enhedsvektorer, har vi:

v x u = (v _x i + v _y j + v _z k) x (u _x i + u _y j + u _z k) =

Løst øvelser

- Øvelse 1

Givet vektorerne:

v = -5 i + 4 j + 1 k

u = 2 i -3 j + 7 k

Hvad skal vektoren w være for at summen v + u + w skal være 6 i +8 j -10 k ?

Løsning

Derfor skal det opfyldes, at:

Svaret er: w = 9 i +7 j - 18 k

- Øvelse 2

Hvad er vinklen mellem vektorerne v og u i øvelse 1?

Løsning

Vi bruger dot-produktet. Fra definitionen har vi:

v ∙ u = -10-12 + 7 = -15

Udskiftning af disse værdier:

Referencer

1. Figueroa, D. (2005). Serie: Fysik til videnskab og teknik. Bind 1. Kinematik. Redigeret af Douglas Figueroa (USB).
2. Giancoli, D. 2006. Fysik: Principper med applikationer. 6th. Ed Prentice Hall.
3. Rex, A. 2011. Fundamentals of Physics. Pearson.
4. Sears, Zemansky. 2016. Universitetsfysik med moderne fysik. 14th. Udgave 1.
5. Serway, R., Jewett, J. 2008. Physics for Science and Engineering. Bind 1. 7. Ed. Cengage Learning.