DIREKTØRVEKTOR: LIGNING AF LINJEN, LØSTE ØVELSER - FYSISK - 2025

En instruktørvektor forstås at være en, der definerer retningen på en linje, enten i planet eller i rummet. Derfor kan en vektor, der er parallel med linjen, betragtes som en retningsvektor for den.

Dette er muligt takket være et aksiom af euklidisk geometri, der siger, at to punkter definerer en linje. Derefter definerer det orienterede segment dannet af disse to punkter også en instruktørvektor for linien.

Figur 1. Direktørvektor for en linje. (Egen uddybning)

Givet et punkt P, der hører til linjen (L) og givet en instruktorvektor u for den linje, bestemmes linjen fuldstændigt.

Ligning af linjen og instruktørvektoren

Figur 2. Ligning af linjen og instruktørvektoren. (Egen uddybning)

Givet et punkt P af koordinater P: (Xo, I) og en vektor u- leder af en linje (L), skal hvert punkt Q i koordinaterne Q: (X, Y) tilfredsstille, at vektoren PQ er parallel med u. Denne sidste betingelse er garanteret, hvis PQ er proportional med u:

PQ = t⋅ u

i ovenstående udtryk er t en parameter, der hører til de reelle tal.

Hvis de kartesiske komponenter i PQ og u skrives, skrives ovennævnte ligning som følger:

(X-Xo, Y-Yo) = t⋅ (a, b)

Hvis komponenterne i vektoralighed udlignes, opnås følgende par af ligninger:

X - Xo = god Y - I = b⋅t

Parametrisk ligning af linjen

X- og Y-koordinaterne for et punkt, der hører til linjen (L), der passerer gennem et koordinatpunkt (Xo, Yo) og er parallelt med instruktorvektoren u = (a, b), bestemmes ved at tildele reelle værdier til den variable parameter t:

{X = Xo + a⋅t; Y = I + btt}

Eksempel 1

For at illustrere betydningen af ​​den parametriske ligning af linjen tager vi som instruktionsvektor

u = (a, b) = (2, -1)

og som et kendt punkt på linjen punktet

P = (Xo, I) = (1, 5).

Den parametriske ligning af linjen er:

{X = 1 + 2⋅t; Y = 5 - 1⋅t; -∞

For at illustrere betydningen af ​​denne ligning vises figur 3, hvor parameteren t ændrer dens værdi, og punktet Q for koordinater (X, Y) indtager forskellige positioner på linjen.

Figur 3. PQ = t u. (Egen uddybning)

Linjen i vektorform

Givet et punkt P på linjen og dens instruktorvektor u, kan ligningens ligning skrives i vektorform:

OQ = OP + λ⋅ u

I ovenstående ligning er Q ethvert punkt, men tilhører linjen, og λ er et reelt tal.

Linjens vektorligning gælder for ethvert antal dimensioner, selv en hyperlinie kan defineres.

I det tredimensionelle tilfælde for en instruktorvektor u = (a, b, c) og et punkt P = (Xo, Yo, Zo) er koordinaterne for et generisk punkt Q = (X, Y, Z), der hører til linjen:

(X, Y, Z) = (Xo, Yo, Zo) + X (a, b, c)

Eksempel 2

Overvej igen den linje, der har som en instruktionsvektor

u = (a, b) = (2, -1)

og som et kendt punkt på linjen punktet

P = (Xo, I) = (1, 5).

Vektorligningen af ​​nævnte linje er:

(X, Y) = (1, 5) + X (2, -1)

Kontinuerlig form af linjen og direktørvektoren

Med udgangspunkt i den parametriske form, rydning og ligning af parameteren λ, har vi:

(X-Xo) / a = (Y-Yo) / b = (Z-Zo) / c

Dette er den symmetriske form for linjens ligning. Bemærk, at a, b og c er komponenterne i direktørvektoren.

Eksempel 3

Overvej linjen, der har som en instruktionsvektor

u = (a, b) = (2, -1)

og som et kendt punkt på linjen punktet

P = (Xo, I) = (1, 5). Find dens symmetriske form.

Linjens symmetriske eller kontinuerlige form er:

(X - 1) / 2 = (Y - 5) / (- 1)

Generel form for linjens ligning

Den generelle form for linjen i XY-planet er kendt som ligningen, der har følgende struktur:

A⋅X + B⋅Y = C

Udtrykket for den symmetriske form kan omskrives til at have den generelle form:

b⋅X - a⋅Y = b⋅Xo - a⋅Yo

sammenlignet med linjens generelle form er det:

A = b, B = -a og C = b⋅Xo - a⋅Yo

Eksempel 3

Find den generelle form for den linje, hvis direktørvektor er u = (2, -1)

og det passerer gennem punktet P = (1, 5).

For at finde den generelle form kan vi bruge de givne formler, men en alternativ sti vil blive valgt.

Vi begynder med at finde den dobbelte vektor w af direktørvektoren u, defineret som den vektor, der opnås ved at udveksle komponenterne i u og multiplicere den anden med -1:

w = (-1, -2)

den dobbelte vektor w svarer til en 90 ° rotation med uret af instruktorvektoren v.

Vi multiplicerer skaleret med w (X, Y) og med (Xo, Yo) og sætter lige:

(-1, -2) • (X, Y) = (-1, -2) • (1, 5)

-X-2Y = -1 -2,5 = -11

endelig tilbage:

X + 2Y = 11

Standardform for linjens ligning

Det er kendt som standardformen for linjen i XY-planet, en der har følgende struktur:

Y = m⋅X + d

hvor m repræsenterer hældningen og d afskæringen med Y-aksen.

Givet retningsvektoren u = (a, b) er hældningen m b / a.

Yd opnås ved at erstatte X og Y med det kendte punkt Xo, I:

I = (b / a) Xo + d.

Kort sagt, m = b / a og d = I - (b / a) Xo

Bemærk, at hældningen m er kvotienten mellem y-komponenten i instruktorvektoren og x-komponenten deraf.

Eksempel 4

Find standardformen på den linje, hvis direktørvektor er u = (2, -1)

og det passerer gennem punktet P = (1, 5).

m = -½ og d = 5 - (-½) 1 = 11/2

Y = (-1/2) X + 11/2

Løst øvelser

- Øvelse 1

Find en direktørvektor for linjen (L), der er skæringspunktet mellem planet (Π): X - Y + Z = 3 og planet (Ω): 2X + Y = 1.

Skriv derefter den kontinuerlige form af ligningen på linjen (L).

Løsning

Fra ligningen af ​​planet (Ω) -afstand Y: Y = 1 -2X

Derefter erstatter vi i ligningen af ​​planet (Π):

X - (1 - 2X) + Z = 3 ⇒ 3X + Z = 4 ⇒ Z = 4 - 3X

Derefter parameteriserer vi X, vi vælger parameteriseringen X = λ

Dette betyder, at linjen har en vektorligning givet af:

(X, Y, Z) = (X, 1 - 2λ, 4 - 3λ)

som kan omskrives som:

(X, Y, Z) = (0, 1, 4) + X (1, ​​-2, -3)

med hvilket det er klart, at vektoren u = (1, -2, -3) er en retningsvektor på linjen (L).

Den kontinuerlige form af linjen (L) er:

(X - 0) / 1 = (Y - 1) / (- 2) = (Z - 4) / (- 3)

- Øvelse 2

Givet planet 5X + a Y + 4Z = 5

og linjen, hvis ligning er X / 1 = (Y-2) / 3 = (Z -2) / (- 2)

Bestem værdien af ​​en sådan, at planet og linjen er parallelle.

Løsning 2

Vektoren n = (5, a, 4) er en vektor, der er normal for planet.

Vektoren u = (1, 3, -2) er en retningsvektor på linjen.

Hvis linjen er parallel med planet, er n • v = 0.

(5, a, 4) • (1, 3, -2) = 5 +3 a -8 = 0 ⇒ a = 1.

Referencer

1. Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Precalculus Matematik. Prentice Hall PTR.
2. Kolman, B. (2006). Lineær algebra. Pearson Uddannelse.
3. Leal, JM, & Viloria, NG (2005). Plananalytisk geometri. Mérida - Venezuela: Redaktionel Venezolana CA
4. Navarro, Rocio. Vektorer. Gendannes fra: books.google.co.ve.
5. Pérez, CD (2006). Forkalkulation. Pearson Uddannelse.
6. Prenowitz, W. 2012. Grundlæggende begreber om geometri. Rowman & Littlefield.
7. Sullivan, M. (1997). Forkalkulation. Pearson Uddannelse.