NORMAL VEKTOR: BEREGNING OG EKSEMPEL - FYSISK - 2025

Den normale vektor er en, der definerer retningen vinkelret på en bestemt geometrisk enhed, der kan overvejes, som f.eks. Kan være ved en kurve, et plan eller en overflade.

Det er et meget nyttigt koncept i placeringen af ​​en bevægelig partikel eller en overflade i rummet. I den følgende graf er det muligt at se, hvordan den normale vektor til en vilkårlig kurve C er:

Figur 1. En kurve C med vektoren normal til kurven i punkt P. Kilde: Svjo

Overvej et punkt P på kurve C. Punktet kan repræsentere en bevægelig partikel, der bevæger sig langs en C-formet bane.Tangenslinjen til kurven ved punkt P tegnes med rødt.

Bemærk, at vektor T er tangent til C på hvert punkt, mens vektor N er vinkelret på T og peger på midten af ​​en imaginær cirkel, hvis bue er et segment af C. Vektorer er betegnet med fed skrift i trykt tekst, for skelne dem fra andre ikke-vektormængder.

Vektoren T indikerer altid, hvor partiklen bevæger sig, derfor angiver den partikelhastigheden. På den anden side peger vektoren N altid i den retning, i hvilken partiklen roterer, på denne måde indikerer den konkaviteten af ​​kurven C.

Hvordan får man den normale vektor til et plan?

Den normale vektor er ikke nødvendigvis en enhedsvektor, det vil sige en vektor, hvis modul er 1, men i så fald kaldes den en normal enhedsvektor.

Figur 2. Til venstre er et plan P og de to vektorer normale for nævnte plan. Til højre er enhedsvektorerne i de tre retninger, der bestemmer plads. Kilde: Wikimedia Commons. Se side for forfatter

I mange applikationer er det nødvendigt at kende vektoren normal til et plan i stedet for en kurve. Denne vektor afslører orienteringen af ​​det nævnte plan i rummet. Overvej for eksempel planet P (gult) i figuren:

Der er to normale vektorer til dette plan: n ₁ og n ₂. Brugen af ​​den ene eller den anden afhænger af den kontekst, hvor nævnte plan findes. At få den normale vektor til et plan er meget simpelt, hvis ligningen af ​​planet er kendt:

Her udtrykkes vektoren N udtrykt i form af de vinkelrette enhedsvektorer i, j og k, rettet langs de tre retninger, der bestemmer xyz-rummet, se figur 2 til højre.

Den normale vektor fra vektorproduktet

En meget enkel procedure til at finde den normale vektor gør brug af vektorproduktets egenskaber mellem to vektorer.

Som det er kendt, bestemmer tre forskellige punkter og ikke kollinære med hinanden et plan P. Nu er det muligt at opnå to vektorer u og v, der hører til nævnte plan med disse tre punkter.

Når vektorerne er opnået, er vektorproduktet u x v en operation, hvis resultat igen er en vektor, som har egenskaben til at være vinkelret på det plan, der bestemmes af u og v.

Kendt denne vektor betegnes den som N, og ud fra den vil det være muligt at bestemme ligningens plan takket være ligningen angivet i det foregående afsnit:

N = u x v

Følgende figur illustrerer den beskrevne procedure:

Figur 3. Med to vektorer og deres vektorprodukt eller kryds bestemmes ligningen for det plan, der indeholder de to vektorer. Kilde: Wikimedia Commons. Ingen maskine-læselig forfatter leveret. M.Romero Schmidtke antog (baseret på krav om ophavsret).

Eksempel

Find ligningen for planet bestemt af punkterne A (2,1,3); B (0,1,1); C (4.2.1).

Løsning

Denne øvelse illustrerer proceduren beskrevet ovenfor. Ved at have 3 point vælges et af dem som den fælles oprindelse for to vektorer, der hører til det plan, der er defineret af disse punkter. For eksempel indstilles punkt A som oprindelsen og vektorerne AB og AC konstrueres.

Vektor AB er vektoren, hvis oprindelse er punkt A, og hvis slutpunkt er punkt B. Koordinaterne for vektor AB bestemmes ved henholdsvis at trække koordinaterne fra B fra koordinaterne for A:

Vi fortsætter på samme måde med at finde vektoren AC:

Beregning af vektorproduktet

Der er flere procedurer til at finde krydsproduktet mellem to vektorer. Dette eksempel bruger en mnemonisk procedure, der bruger følgende figur til at finde vektorprodukter mellem enhedsvektorerne i, j og k:

Figur 4. Graf for at bestemme vektorproduktet mellem enhedsvektorerne. Kilde: self made.

For at begynde med er det godt at huske, at vektorprodukterne mellem parallelle vektorer er nul, derfor:

i x i = 0; j x j = 0; k x k = 0

Og da vektorproduktet er en anden vektor vinkelret på de deltagende vektorer, bevæger sig i retning af den røde pil, har vi:

Hvis du skal bevæge dig i den modsatte retning til pilen, skal du tilføje et tegn (-):

I alt er det muligt at fremstille 9 vektorprodukter med enhedsvektorerne i, j og k, hvoraf 3 er null.

AB x AC = (-2 i + 0 j -2 k) x (2 i + j -2 k) = -4 (i x i) -2 (i x j) +4 (i x k) +0 (j x i) + 0 (j x j) - 0 (j x k) - 4 (k x i) -2 (k x j) + 4 (k x k) = -2 k -4j -4 j +2 i = 2 i -8 j -2 k

Ligning af flyet

Vektoren N er bestemt af vektorproduktet, der tidligere er beregnet:

N = 2 i -8 j -2 k

Derfor er a = 2, b = -8, c = -2, det søgte plan er:

Værdien af ​​d skal stadig bestemmes. Dette er let, hvis værdierne for et af de tilgængelige punkter A, B eller C er substitueret i ligningen af ​​planet. Valg af C for eksempel:

x = 4; y = 2; z = 1

rester:

Kort sagt, det søgte kort er:

Den nysgerrige læser spekulerer måske på, om det samme resultat ville være opnået, hvis det i stedet for at udføre AB x AC var valgt at gøre AC x AB. Svaret er ja, planet bestemt af disse tre punkter er unikt og har to normale vektorer, som vist i figur 2.

Hvad angår det punkt, der er valgt som vektorenes oprindelse, er der ikke noget problem at vælge nogen af ​​de to andre.

Referencer

1. Figueroa, D. (2005). Serie: Fysik til videnskab og teknik. Bind 1. Kinematik. Redigeret af Douglas Figueroa (USB). 31- 62.
2. At finde det normale til et fly. Gendannes fra: web.ma.utexas.edu.
3. Larson, R. (1986). Beregning og analytisk geometri. Mc Graw Hill. 616-647.
4. Linjer og fly i R 3. Gendannes fra: math.harvard.edu.
5. Normal vektor. Gendannes fra mathworld.wolfram.com.