VEKTORER I RUMMET: HVORDAN MAN TEGNER GRAFIK, APPLIKATIONER, ØVELSER - FYSISK - 2025

En vektor i rummet er alt det, der er repræsenteret ved et koordinatsystem, der er givet af x, y og z. Det meste af tiden er xy-planet det vandrette overfladeplan, og z-aksen repræsenterer højden (eller dybden).

De kartesiske koordinatakser vist i figur 1 deler rummet i 8 regioner kaldet oktanter, analogt med hvordan x - y akserne opdeler planet i 4 kvadranter. Vi vil derefter have 1. oktant, 2. oktant og så videre.

Figur 1. En vektor i rummet. Kilde: self made.

Figur 1 indeholder en repræsentation af en vektor v i rummet. Der kræves noget perspektiv for at skabe en illusion af tre dimensioner på skærmens plan, hvilket opnås ved at tegne et skråt udsyn.

For at tegne en 3D-vektor skal man bruge de stiplede linjer, der bestemmer på gitteret koordinaterne for projektionen eller "skygge" af v på xy-overfladen. Denne projektion begynder ved O og slutter ved det grønne punkt.

Når du er der, skal du fortsætte langs lodret til den nødvendige højde (eller dybde) i henhold til værdien af ​​z, indtil du når P. Vektoren tegnes fra O og slutter ved P, som i eksemplet er i 1. oktant.

Applikationer

Vektorer i rummet er vidt brugt i mekanik og andre grene af fysik og teknik, da de strukturer, der omgiver os, kræver geometri i tre dimensioner.

Positionsvektorer i rummet bruges til at placere objekter med hensyn til et referencepunkt kaldet OR-oprindelsen, derfor er de også nødvendige værktøjer i navigationen, men det er ikke alt.

Krafter, der virker på strukturer som bolte, beslag, kabler, stivere og mere, er vektoragtige og orienterede i rummet. For at kende dens virkning er det nødvendigt at kende dens adresse (og også dens anvendelsessted).

Og ofte kendes retningen for en styrke ved at kende to punkter i rummet, der hører til dens handlingslinje. På denne måde er styrken:

F = F u

Hvor F er størrelsen eller størrelsen af kraften, og u er enhedsvektor (modul 1) rettet langs linien handling F.

Notation og 3D-vektorrepræsentationer

Inden vi fortsætter med at løse nogle eksempler, vil vi kort gennemgå 3D-vektornotation.

I eksemplet i figur 1 har vektoren v, hvis oprindelsespunkt falder sammen med oprindelsen O, og hvis ende er punkt P, positive xyz-koordinater, mens y-koordinaten er negativ. Disse koordinater er: x ₁, y ₁, z ₁, som netop er koordinaterne for P.

Så hvis vi har en vektor, der er knyttet til oprindelsen, det vil sige, hvis udgangspunkt falder sammen med O, er det meget let at angive dets koordinater, hvilket vil være dem for det ekstreme punkt eller P. For at skelne mellem et punkt og en vektor, bruger vi de sidste fed skrift og parenteser, sådan:

v = <x ₁, y ₁, z ₁ >

Mens punkt P er angivet med parenteser:

P = (x ₁, y ₁, z ₁)

En anden repræsentation gør brug af enhedsvektorerne i, j og k, der definerer de tre pladsretninger på henholdsvis x-, y- og z-akserne.

Disse vektorer er vinkelret på hinanden og danner et ortonormalt grundlag (se figur 2). Dette betyder, at en 3D-vektor kan skrives i form af dem som:

v = v _x i + v _y j + v _z k

Vinkler og instruktørkosiner af en vektor

Figur 2 viser også direktør vinkler y ₁, γ ₂ og γ ₃ at vektoren v gør henholdsvis x-, y- og z-akserne. Når man kender disse vinkler og størrelsen af ​​vektoren, bestemmes den fuldstændigt. Derudover mødes regissørens vinkler med følgende forhold:

(cos y ₁) ² + (cos y ₂) ² + (cos y ₃) ² = 1

Figur 2. Enhedsvektorerne i, j og k bestemmer de 3 præferenceskrivningsretninger. Kilde: self made.

Løst øvelser

- Øvelse 1

I figur 2 vinklerne y ₁, γ ₂ og γ ₃, at vektoren v af modul 50 danner med koordinatakserne er henholdsvis: 75.0º, 60.0º og 34.3º. Find de kartesiske komponenter i denne vektor og repræsenter den med hensyn til enhedsvektorerne i, j og k.

Løsning

Projektionen af ​​vektoren v på x-aksen er v _x = 50. cos 75º = 12,941. På samme måde er projektionen af v på y-aksen v _y = 50 cos 60 º = 25 og til sidst på z-aksen er v _z = 50. cos 34,3 º = 41,3. Nu v kan udtrykkes som:

v = 12,9 i + 25,0 j + 41,3 k

- Øvelse 2

Find spændingerne i hvert af kablerne, der holder spanden i figuren, der er i ligevægt, hvis dens vægt er 30 N.

Figur 3. Stressdiagram for øvelse 2.

Løsning

På spanden, frit løsrevne indikerer, at T _D (grøn) udligner vægten W (gul), derfor T _D = W = 30 N.

Ved knuden er vektoren T _D lodret lodret nedad, derefter:

T _D = 30 (- k) N.

Følg disse trin for at etablere de resterende spændinger:

Trin 1: Find koordinaterne for alle punkter

A = (4,5,0,3) (A er på væggens plan xz)

B = (1,5,0,0) (B er på x-aksen)

C = (0, 2,5, 3) (C er i væggens plan og z)

D = (1,5, 1,5, 0) (D er på det vandrette xy-plan)

Trin 2: Find vektorerne i hver retning ved at trække koordinaterne til slutningen og begyndelsen

DA = <3; -1.5; 3>

DC = <-1,5; en; 3>

DB = <0; -1.5; 0>

Trin 3: Beregn moduler og enhedsvektorer

En enhedsvektor opnås ved udtrykket: u = r / r, hvor r (med fed) er vektoren og r (ikke med fed skrift) er modulet til nævnte vektor.

DA = (3 ² + (-1,5) ² + 3 ²) ^½ = 4,5; DC = ((-1,5) ² + 1 ² + 3 ²) ^½ = 3,5

u _DA = <3; -1.5; 3> 4,5 = <0,67; -0,33; 0,67>

u _DC = <-1,5; en; 3> 3,5 = <-0,43; 0,29; 0,86>

u _DB = <0; -en; 0>

u _D = <0; 0; -1>

Trin 4: Udtrykk alle spændinger som vektorer

T _DA = T _DA u _DA = T _DA <0,67; -0,33; 0,67>

T _DC = T _DC u _{DC =} T _DC <-0,43; 0,29; 0,86>

T _DB = T _DB u _DB = T _DB <0; -en; 0>

T _D = 30 <0; 0; -1>

Trin 5: Anvend den statiske ligevægtsbetingelse og løst ligningssystemet

Endelig anvendes betingelsen for statisk ligevægt på spanden, således at vektorsummen af ​​alle kræfter på knuden er nul:

T _DA + T _DC + T _DB + T _D = 0

Da spændingerne er i rummet, vil det resultere i et system med tre ligninger for hver komponent (x, y og z) af spændingerne.

0,67 T _DA -0,43 T _DC + 0 T _DB = 0

-0,33 T _DA + 0,29 T _DC - T _DB = 0

0,67 T _DA + 0,86 T _DC +0 T _DB - 30 = 0

Opløsningen er: T _DA = 14,9 N; T _DA = 23,3 N; T _DB = 1,82 N

Referencer

1. Bedford, 2000. A. Engineering Mechanics: Statics. Addison Wesley. 38-52.
2. Figueroa, D. Series: Physics for Sciences and Engineering. Bind 1. Kinematik 31-68.
3. Fysisk. Modul 8: Vektorer. Gendannes fra: frtl.utn.edu.ar
4. Hibbeler, R. 2006. Mekanik til ingeniører. Statisk 6. udgave. Continental Publishing Company. 15-53.
5. Lommeregner for vektoroptagelse. Gendannet fra: 1728.org