De frie vektorer er dem, der er fuldt ud specificeret af dens størrelse, retning og sans, uden at det er nødvendigt at indikere et anvendelsessted eller en bestemt oprindelse.
Da uendelige vektorer kan tegnes på denne måde, er en fri vektor ikke en enkelt enhed, men et sæt parallelle og identiske vektorer, der er uafhængige af, hvor de er.
Figur 1. Forskellige frie vektorer. Kilde: self made.
Lad os sige, at vi har adskillige vektorer i styrke 3 rettet lodret opad eller i størrelse 5 og skråtstillet til højre, som i figur 1.
Ingen af disse vektorer anvendes specifikt på noget tidspunkt. Så er nogen af de blå eller grønne vektorer repræsentative for deres respektive gruppe, da deres egenskaber - modul, retning og sans - ikke ændres overhovedet, når de overføres til et andet sted i planet.
En fri vektor betegnes normalt i trykt tekst med et fedt med små bogstaver, for eksempel v. Eller med et lille bogstav og en pil over det, hvis det er håndskrevet tekst .
Fordelen, som frie vektorer har, er, at de kan flyttes gennem planet eller gennem rummet og opretholde deres egenskaber, da enhver repræsentant for sættet er lige så gyldigt.
Derfor bruges de ofte i fysik og mekanik. For at indikere den lineære hastighed af et fast stof, der oversætter, er det for eksempel ikke nødvendigt at vælge et bestemt punkt på objektet. Så hastighedsvektoren opfører sig som en fri vektor.
Et andet eksempel på en fri vektor er parret af kræfter. Et par består af to kræfter med samme størrelse og retning, men af modsatte retninger, der påføres på forskellige punkter på et fast stof. Virkningen af et par er ikke at bevæge objektet, men at forårsage en rotation takket være det producerede øjeblik.
Figur 2 viser et par kræfter, der påføres et ratt. Gennem kræfterne F 1 og F 2, er drejningsmomentet skabes der roterer svinghjulet omkring sit centrum og i retning med uret.
Figur 2. Et par kræfter, der påføres et ratt, giver det med uret. Kilde: Bielasko.
Du kan foretage nogle ændringer i drejningsmomentet og stadig få den samme roterende effekt, for eksempel at øge kraften, men reducere afstanden imellem dem. Eller oprethold kraft og afstand, men anvend drejningsmomentet på et andet par punkter på rattet, det vil sige drej drejningsmomentet rundt om midten.
Parret eller parets øjeblik er en vektor, hvis modul er Fd og er rettet vinkelret på svinghjulets plan. I eksemplet vist ved konvention har rotationen med uret en negativ retning.
Egenskaber og egenskaber
I modsætning til den frie vektor v, er vektorerne AB og CD faste (se figur 3), da de har et specificeret startpunkt og ankomstpunkt. Men da de er teamlinse med hinanden og til gengæld med vektor v, er de repræsentative for den frie vektor v.
Figur 3. Frie vektorer, teamlinsevektorer og faste vektorer. Kilde: self made.
De frie vektorers hovedegenskaber er følgende:
-Enhver vektor AB (se figur 2) er som sagt repræsentativ for den frie vektor v.
-Modulet, retningen og sansen er de samme i enhver repræsentant for den frie vektor. I figur 2 repræsenterer vektorer AB og CD den frie vektor v og er teamlinse.
-Giv et punkt P i rummet, det er altid muligt at finde en repræsentant for den frie vektor v, hvis oprindelse er i P, og denne repræsentant er unik. Dette er den vigtigste egenskab ved frie vektorer og den, der gør dem så alsidige.
-En nullfri vektor betegnes som 0 og er sættet af alle vektorer, der mangler størrelse, retning og fornemmelse.
-Hvis vektor AB repræsenterer den frie vektor v, repræsenterer vektor BA den frie vektor - v.
-Notationen V 3 vil blive brugt til at betegne sættet af alle frie vektorer i rummet og V 2 til at udpege alle frie vektorer i planet.
Løst øvelser
Med frie vektorer kan følgende handlinger udføres:
-Sum
-Subtraktion
-Multiplikation af skalar med en vektor
-Scalar produkt mellem to vektorer.
- Kryds produkt mellem to vektorer
-Linær kombination af vektorer
Og mere.
- Øvelse 1
En studerende prøver at svømme fra et punkt på bredden af en flod til et andet, der er direkte modsat. For at opnå dette svømmer det direkte med en hastighed på 6 km / t, i en vinkelret retning, men strømmen har imidlertid en hastighed på 4 km / t, der afleder den.
Beregn svømmerens resulterende hastighed, og hvor meget han afbøjes af strømmen.
Løsning
Svømmerens resulterende hastighed er vektorsummen af hans hastighed (med hensyn til floden, trukket lodret opad) og flodens hastighed (trukket fra venstre mod højre), som udføres som angivet i figuren herunder:
Størrelsen af den resulterende hastighed svarer til hypotenusen for den viste højre trekant, derfor:
v = (6 2 + 4 2) ½ km / t = 7,2 km / t
Retningen kan beregnes ved hjælp af vinklen i forhold til vinkelret på kysten:
α = arctg (4/6) = 33,7º eller 56,3º i forhold til kysten.
Øvelse 2
Find øjeblikket for det par kræfter, der er vist på figuren:
Løsning
Øjeblikket beregnes af:
M = r x F
Enhedens i øjeblikket er lb-f.ft. Da parret befinder sig i skærmens plan, rettes øjeblikket vinkelret på det, enten udad eller indad.
Da drejningsmomentet i eksemplet har en tendens til at dreje det objekt, hvorpå det påføres (som ikke er vist på figuren) med uret, betragtes dette øjeblik som at pege mod indersiden af skærmen og med et negativt tegn.
Øjeblikket er M = Fdsen a, hvor a er vinklen mellem kraften og vektoren r. Du er nødt til at vælge et punkt med hensyn til at beregne øjeblikket, som er en gratis vektor. Referencesystemets oprindelse vælges, derfor går r fra O til anvendelsesstedet for hver styrke.
M 1 = M 2 = -Fdsen60º = -500. 20.sen 60º lb-f. ft = -8660,3 lb-f. fod
Nettomomentet er summen af M 1 og M 2: -17329,5 lb-f. fod.
Referencer
- Beardon, T. 2011. En introduktion til vektorer. Gendannes fra: nrich.maths.org.
- Bedford, 2000. A. Engineering Mechanics: Statics. Addison Wesley. 38-52.
- Figueroa, D. Series: Physics for Sciences and Engineering. Bind 1. Kinematik 31-68.
- Fysisk. Modul 8: Vektorer. Gendannes fra: frtl.utn.edu.ar
- Hibbeler, R. 2006. Mekanik til ingeniører. Statisk 6. udgave. Continental Publishing Company. 15-53.
- Lommeregner for vektoroptagelse. Gendannet fra: 1728.org
- Vektorer. Gendannet fra: en.wikibooks.org