IKKE-KOPLANÆRE VEKTORER: DEFINITION, BETINGELSER, ØVELSER - FYSISK - 2025

De ikke - coplanære vektorer er dem, der ikke deler det samme plan. To frie vektorer og et punkt definerer et enkelt plan. En tredje vektor deler måske ikke det plan, og hvis det ikke gør det, er de ikke-koplanære vektorer.

Ikke-planlagte vektorer kan ikke repræsenteres i to-dimensionelle rum som en tavle eller papirark, fordi nogle af dem er indeholdt i den tredje dimension. For at repræsentere dem korrekt skal du bruge perspektiv.

Figur 1. Coplanar og ikke-coplanar vektorer. (Egen uddybning)

Hvis vi ser på figur 1, er alle de viste objekter strengt i skærmens plan, men takket være perspektiv er vores hjerne i stand til at forestille sig et plan (P), der kommer ud af det.

På det plan (P) er vektorerne r, s, u, mens vektorerne v og w ikke er i det plan.

Derfor er vektorerne r, s, u coplanære eller coplanære i forhold til hinanden, da de deler det samme plan (P). Vektorer v og w deler ikke et plan med nogen af ​​de andre viste vektorer, derfor er de ikke-planlagte.

Coplanarvektorer og ligning af flyet

Et plan er unikt defineret, hvis der er tre punkter i tredimensionelt rum.

Antag, at disse tre punkter er punkt A, punkt B og punkt C, der definerer planet (P). Med disse punkter er det muligt at konstruere to vektorer AB = u og AC = v, der er ved konstruktion koplanar med planet (P).

Korsproduktet (eller krydsproduktet) af disse to vektorer resulterer i en tredje vektor vinkelret (eller normal) på dem og derfor vinkelret på planet (P):

n = u X v => n ⊥ u og n ⊥ v => n ⊥ (P)

Ethvert andet punkt, der hører til planet (P), skal tilfredsstille, at vektoren AQ er vinkelret på vektoren n; Dette svarer til at sige, at dot-produktet (eller dot-produktet) af n med AQ skal være nul:

n • AQ = 0 (*)

Den foregående betingelse svarer til at sige, at:

AQ • (u X v) = 0

Denne ligning sikrer, at punkt Q hører til planet (P).

Kartesisk ligning af planet

Ovenstående ligning kan skrives i kartesisk form. For at gøre dette skriver vi koordinaterne for punkterne A, Q og komponenterne i den normale vektor n:

Så komponenterne i AQ er:

Betingelsen for at vektoren AQ skal indeholde i planet (P) er betingelsen (*), som nu er skrevet sådan:

Beregning af dot-produkt forbliver:

Hvis den er udviklet og arrangeret, forbliver den:

Det forrige udtryk er den kartesiske ligning af et plan (P) som en funktion af komponenterne i en vektor, der er normal for (P), og koordinaterne for et punkt A, der hører til (P).

Betingelserne for at tre vektorer skal være ikke-planlagte

Som det ses i det foregående afsnit, garanterer betingelsen AQ • (u X v) = 0, at vektoren AQ er koplanær til u og v.

Hvis vi kalder vektoren AQ w, kan vi bekræfte, at:

w, u og v er coplanære, hvis og kun hvis w • (u X v) = 0.

Ikke-coplanaritetstilstand

Hvis tripleproduktet (eller blandet produkt) af tre vektorer er forskellig fra nul, er disse tre vektorer ikke-coplanære.

Hvis w • (u X v) ≠ 0, er vektorerne u, v og w ikke-koplanære.

Hvis de kartesiske komponenter i vektorerne u, v og w introduceres, kan betingelsen for ikke-coplanaritet skrives sådan:

Tredobbeltproduktet har en geometrisk fortolkning og repræsenterer volumen af ​​parallelepiped genereret af de tre ikke-coplanære vektorer.

Figur 2. Tre ikke-coplanære vektorer definerer en parallelepiped, hvis volumen er modulet til det tredobbelte produkt. (Egen uddybning)

Årsagen er som følger; Når to af de ikke-coplanære vektorer multipliceres vektorielt, opnås en vektor, hvis størrelse er området for det parallellogram, som de genererer.

Når denne vektor derefter multipliseres skaleret med den tredje ikke-koplanære vektor, hvad vi har, er projektionen til en vektor vinkelret på det plan, som de to første bestemmer ganget med det område, de bestemmer.

Med andre ord har vi arealet af parallelogrammet genereret af de første to ganget med højden af ​​den tredje vektor.

Alternativ tilstand af ikke-coplanaritet

Hvis du har tre vektorer, og en af ​​dem ikke kan skrives som en lineær kombination af de to andre, er de tre vektorer ikke-koplanære. Det vil sige, tre vektorer u, v og w er ikke-coplanære, hvis betingelsen:

a u + ß v + y w = 0

Det tilfredsstilles kun, når α = 0, β = 0 og γ = 0.

Løst øvelser

- Øvelse 1

Der er tre vektorer

u = (-3, -6, 2); v = (4, 1, 0) og w = (-1, 2, z)

Bemærk, at z-komponenten i vektoren w er ukendt.

Find det interval af værdier, som z kan tage, så de tre vektorer garanteres ikke at dele det samme plan.

Løsning

w • (u X v) = -3 (z - 0) + 6 (4 z - 0) + 2 (8 + 1) = -3z + 24z + 18 = 21z + 18

Vi sætter dette udtryk lig med værdien nul

21 z + 18 = 0

og vi løser for z

z = -18 / 21 = -6/7

Hvis variablen z tog værdien -6/7, ville de tre vektorer være koplanære.

Så værdierne for z, der garanterer, at vektorerne er ikke-koplanære, er de i følgende interval:

z ∈ (-∞, -6 / 7) U (-6/7, ∞)

- Øvelse 2

Find volumen på parallelepiped vist i følgende figur:

Løsning

For at finde volumenet af parallelepiped vist i figuren bestemmes de kartesiske komponenter i tre samtidige ikke-coplanære vektorer ved koordinatsystemets oprindelse. Den første er vektoren u på 4m og parallel med X-aksen:

u = (4, 0, 0) m

Den anden er vektoren v i XY-planet i størrelse 3m, der danner 60º med X-aksen:

v = (3 * cos 60º, 3 * sin 60º, 0) = (1,5, 2,6, 0,0) m

Og den tredje er vektoren w på 5m, og hvis fremspring i XY-planet danner 60º med X-aksen, derudover danner 30 ° med Z-aksen.

w = (5 * sin 30º * cos 60º, 5 * sin 30º * sin 60º, 5 * sin 30º)

Når beregningerne er udført, har vi: w = (1,25, 2,17, 2,5) m.

Referencer

1. Figueroa, D. Series: Physics for Sciences and Engineering. Bind 1. Kinematik. 31-68.
2. Fysisk. Modul 8: Vektorer. Gendannes fra: frtl.utn.edu.ar
3. Hibbeler, R. 2006. Mekanik til ingeniører. Statisk 6. udgave. Continental Publishing Company 28-66.
4. McLean, W. Schaum-serien. Mekanik til ingeniører: Statik og dynamik. 3. udgave. McGraw Hill. 1-15.
5. Wikipedia. Vector. Gendannet fra: es.wikipedia.org