ØJEBLIKKELIG HASTIGHED: DEFINITION, FORMEL, BEREGNING OG ØVELSER - FYSISK - 2025

Den øjeblikkelige hastighed defineres som den øjeblikkelige ændring af tidsskiftet. Det er et koncept, der tilføjer stor præcision til studiet af bevægelse. Og det er et fremskridt med hensyn til gennemsnitshastigheden, hvis information er meget generel.

For at få den øjeblikkelige hastighed, lad os se på et så lille tidsinterval som muligt. Differentialberegning er det perfekte værktøj til at udtrykke denne idé matematisk.

Øjeblikkelig hastighed viser hastigheden på mobilen på hvert punkt på rejsen. Kilde: Pixabay.

Udgangspunktet er gennemsnitshastigheden:

Denne grænse er kendt som et derivat. I notifikationen om differentieret beregning har vi:

Så længe bevægelsen er begrænset til en lige linje, kan vektornotationen undlades.

Beregning af øjeblikkelig hastighed: geometrisk fortolkning

Følgende figur viser den geometriske fortolkning af det afledte koncept: det er hældningen for tangentlinjen til kurven x (t) vs. t på hvert punkt.

Den øjeblikkelige hastighed ved P er numerisk lig med hældningen for tangentlinjen til kurven x vs. t ved punkt P. Kilde: Kilde: す じ に く シ チ ュ ー.

Du kan forestille dig, hvordan du opnår grænsen, hvis punkt Q nærmer sig lidt efter punkt P. Der kommer et tidspunkt, hvor begge punkter er så tæt, at du ikke kan skelne det ene fra det andet.

Linjen, der slutter sig til dem, vil derefter gå fra at være fast (linje, der skærer hinanden på to punkter) til at være tangent (linje, der berører kurven på kun et punkt). For at finde den øjeblikkelige hastighed af en bevægelig partikel bør vi derfor have:

• Grafen over partiklens placering som en funktion af tiden. Ved at finde skråningen på tangentlinjen til kurven på hvert øjeblik, har vi den øjeblikkelige hastighed på hvert punkt, som partiklen optager.

O godt:

• Positionsfunktionen af ​​partiklen x (t), som er afledt for at opnå hastighedsfunktionen v (t), derefter evalueres denne funktion på hvert tidspunkt t, når det er bekvemt. Positionfunktionen antages at være differentierbar.

Nogle specielle tilfælde til beregning af øjeblikkelig hastighed

-Hældningen på tangentlinjen til kurven ved P er 0. En nulhældning betyder, at mobilen stoppes, og at dens hastighed naturligvis er 0.

-Hældningen af ​​tangentlinjen til kurven ved P er større end 0. Hastigheden er positiv. I grafen ovenfor betyder det, at mobilen bevæger sig væk fra O.

-Hældningen af ​​tangentlinjen til kurven ved P er mindre end 0. Hastigheden ville være negativ. I grafen ovenfor er der ingen sådanne punkter, men i dette tilfælde ville partiklen nærme sig O.

-Hældningen af ​​tangentlinjen til kurven er konstant ved P og alle andre punkter. I dette tilfælde er grafen en lige linje, og mobilen har ensartet retlinjet bevægelse MRU (dens hastighed er konstant).

Generelt er funktionen v (t) også en funktion af tiden, som igen kan have et derivat. Hvad hvis det ikke var muligt at finde derivaterne af funktionerne x (t) og v (t)?

I tilfælde af x (t) kan det være, at hældningen - den øjeblikkelige hastighed - skifter pludseligt. Eller gå straks fra nul til en anden værdi.

I så fald ville grafen x (t) præsentere punkter eller hjørner på steder med pludselige ændringer. Meget anderledes end tilfældet, der er repræsenteret i det forrige billede, hvor kurven x (t) er en glat kurve uden punkter, hjørner, diskontinuiteter eller pludselige ændringer.

Sandheden er, at for rigtige mobiler er de glatte kurver dem, der bedst repræsenterer objektets opførsel.

Bevægelsen generelt er ret kompliceret. Mobilerne kan stoppes et stykke tid, accelerere fra hvile for at have en hastighed og bevæge sig væk fra startpunktet, opretholde hastigheden et stykke tid, derefter bremse for at stoppe igen og så videre.

Igen kan de starte igen og fortsætte i samme retning. Enten betjenes baglæns og vend tilbage. Dette kaldes varieret bevægelse i en dimension.

Her er nogle eksempler på beregning af den øjeblikkelige hastighed, der vil gøre brugen af ​​de givne definitioner klarere:

Løst øvelser med øjeblikkelig hastighed

Øvelse 1

En partikel bevæger sig langs en lige linje med følgende bevægelseslov:

Alle enheder findes i det internationale system. Finde:

a) Partiklens position ved t = 3 sekunder.

b) Den gennemsnitlige hastighed i intervallet mellem t = 0 s og t = 3 s.

c) Gennemsnitshastigheden i intervallet mellem t = 0 s og t = 3 s.

d) Partiklenes øjeblikkelige hastighed fra det forrige spørgsmål ved t = 1 s.

svar

a) For at finde partiklens placering evalueres bevægelsesloven (positionsfunktion) ved t = 3:

x (3) = (-4/3).3 ³ + 2. 3 ² ₊ 6,3 - 10 m = -10 m

Der er ikke noget problem, at positionen er negativ. Tegnet (-) angiver, at partiklen er til venstre for oprindelsen O.

b) Ved beregningen af ​​gennemsnitshastigheden kræves partiets slut- og startposition på de angivne tidspunkter: x (3) og x (0). Positionen ved t = 3 er x (3) og er kendt fra det forrige resultat. Positionen ved t = 0 sekunder er x (0) = -10 m.

Da den endelige position er den samme som den oprindelige position, konkluderes det straks, at middelhastigheden er 0.

c) Den gennemsnitlige hastighed er forholdet mellem den tilbagelagte afstand og den tid, der er taget. Nu er afstanden modulet eller størrelsen af ​​forskydningen, derfor:

afstand = -x2 - x1- = --10 - (-10) - m = 20 m

Bemærk, at den tilbagelagte afstand altid er positiv.

v _{m = 20 m / 3 s = 6,7 m / s}

d) Her er det nødvendigt at finde det første derivat af positionen med hensyn til tid. Derefter evalueres det i t = 1 sekund.

x '(t) = -4 t ² + 4 t + 6

x '(1) = -4,1 ² + 4,1 + 6 m / s = 6 m / s

Øvelse 2

Nedenfor er grafen over placeringen af ​​en mobil som en funktion af tiden. Find den øjeblikkelige hastighed ved t = 2 sekunder.

Graf over position mod tid for en mobil. Kilde: self made.

Svar

Tegn tangentlinien til kurven ved t = 2 sekunder, og find derefter dens hældning ved at tage to punkter på linjen.

For at beregne den øjeblikkelige hastighed på det angivne punkt skal du tegne tangenslinjen til dette punkt og finde dens hældning. Kilde: self made.

I dette eksempel tager vi to punkter, der let kan visualiseres, hvis koordinater er (2 s, 10 m) og snittet med den lodrette akse (0 s, 7 m):

Referencer

1. Giancoli, D. Fysik. Principper med applikationer. 6 ^th Edition. Prentice Hall. 22-25.
2. Resnick, R. (1999). Fysisk. Bind 1. Tredje udgave på spansk. Mexico. Compañía Editorial Continental SA de CV 21-22.
3. Serway, R., Jewett, J. (2008). Fysik til videnskab og teknik. Bind 1. 7 ^ma. Edition. Mexico. Cengage Learning Editors. 23-25.