KLASSIFICERING AF REELLE TAL - VIDENSKAB - 2025

Det vigtigste klassifikation af reelle tal er opdelt i naturlige tal, hele tal, rationale tal og irrationelle tal. Reelle tal er repræsenteret med bogstavet R.

Der er mange måder, hvorpå de forskellige reelle tal kan konstrueres eller beskrives, lige fra enklere former til mere komplekse, afhængigt af det matematiske arbejde, der skal udføres.

Hvordan klassificeres reelle tal?

- Naturlige tal

Naturlige tal er repræsenteret med bogstavet (n) og er dem, der bruges til at tælle (0,1,2,3,4…). For eksempel "der er femten roser i haven", "Befolkningen i Mexico er 126 millioner mennesker" eller "Summen af to og to er fire ". Det skal bemærkes, at nogle klassificeringer inkluderer 0 som et naturligt tal, og andre ikke.

To børn, der laver en sum af to naturlige tal.

Naturlige tal inkluderer ikke dem, der har en decimal. Derfor "Befolkning i Mexico er 126,2 millioner mennesker" eller "Temperaturen er 24,5 grader celsius" kunne ikke betragtes som naturlige tal.

I almindelig parlance, som for eksempel i folkeskoler, kan naturlige tal kaldes tællende tal for at udelukke negative heltal og nul.

Naturlige tal er de baser, som mange andre sæt numre kan konstrueres ved udvidelse: hele tal, rationelle tal, reelle tal og komplekse tal, blandt andre.

Egenskaber ved naturlige tal, såsom opdelingen og fordelingen af ​​primære tal, studeres i talteori. Problemer, der er relateret til tælling og bestilling, såsom optælling og opdeling, studeres i kombinatorik.

De har flere egenskaber, såsom: tilføjelse, multiplikation, subtraktion, opdeling osv.

Ordinære og kardinalnumre

Naturlige tal kan være ordinære eller kardinal.

Kardinalnumrene er dem, der bruges som naturlige tal, som vi nævnte tidligere i eksemplerne. "Jeg har to cookies", "Jeg er far til tre børn", "Boksen indeholder to gratis cremer".

Ordinaler er dem, der udtrykker orden eller angiver en position. For eksempel er i løbet rækkefølgen af ​​løberne anført der starter med vinderen og afslutter med den sidste, der nåede målstregen.

På denne måde siges det, at vinderen er den "første", den næste "den anden", den næste den "tredje" og så videre indtil den sidste. Disse tal kan repræsenteres med et bogstav i øverste højre del for at forenkle skrivningen (1., 2., 3., 4. osv.).

- Heltal

Hele tal består af disse naturlige tal og deres modsætninger, det vil sige de negative tal (0, 1, -1, 2, -2, 50, -50…). Som naturlige tal inkluderer disse heller ikke de, der har en decimal.

Et eksempel på hele tal ville være "30º siden i gennemsnit i Tyskland", "Jeg blev på 0 i slutningen af ​​måneden", "For at gå ned i kælderen skal du trykke på -1 elevator-knappen".

Til gengæld kan hele tal ikke skrives med en brøkdel. For eksempel er tal som 8.58 eller √2 ikke hele tal.

Hele tal repræsenteres med bogstavet (Z). Z er en undergruppe af gruppen af ​​rationelle tal Q, som igen danner gruppen af ​​reelle tal R. Ligesom naturlige tal er Z en uendelig tællbar gruppe.

Hele tal udgør den mindste gruppe og det mindste sæt af de naturlige tal. I algebraisk taleteori kaldes heltal til tider irrationelle heltal for at skelne dem fra algebraiske heltal.

- Rationelle tal

Sættet med rationelle tal er repræsenteret ved bogstavet (Q) og inkluderer alle de tal, der kan skrives som en brøkdel af hele tal.

Det vil sige, dette sæt inkluderer naturlige tal (4/1), hele tal (-4/1) og nøjagtige decimaltal (15,50 = 1550/100).

Fordelingen af ​​1/6 af osten er et rationelt antal.

Desimal udvidelse af et rationelt antal slutter altid efter et endeligt antal cifre (eks: 15,50), eller når den samme begrænsede række af cifre begynder at gentage igen og igen (eks: 0.3456666666666666…). Derfor er numrene inkluderet i sættet med rationelle tal. rene aviser eller blandede aviser.

Derudover repræsenterer enhver gentagelse eller terminal decimal et rationelt tal. Disse udsagn gælder ikke kun for base 10, men også for enhver anden heltalbase.

Et reelt tal, der ikke er rationelt, kaldes irrationelt. Irrationelle tal inkluderer for eksempel √2, π og e. Da hele sættet med rationelle tal er tællbart, og gruppen af ​​reelle tal ikke kan tælles, kan det siges, at næsten alle reelle tal er irrationelle.

Rationelle tal kan formelt defineres som ækvivalensklasser for par af heltal (p, q), således at q ≠ 0 eller den ækvivalente relation defineret af (p1, q1) (p2, q2) kun hvis p1, q2 = p2q1.

Rationelle tal udgør sammen med tilføjelse og multiplikation felter, der udgør hele tal og er indeholdt i enhver gren, der indeholder heltal.

- Irrationelle tal

Irrationelle tal er alle reelle tal, der ikke er rationelle tal; irrationelle tal kan ikke udtrykkes som brøk. Rationelle tal er tal, der består af brøkdele af hele tal.

Som en konsekvens af Cantors test, der siger, at alle reelle tal er utallige, og at rationelle tal er tællbare, kan det konkluderes, at næsten alle reelle tal er irrationelle.

Når radius for længde af to linjesegmenter er et irrationelt antal, kan det siges, at disse linjesegmenter er uundværlige; hvilket betyder, at der ikke er en tilstrækkelig længde, så hver af dem kunne "måles" med en bestemt heltalsmultipel af det.

Blandt de irrationelle tal er radius π af en cirkelomkrets til dens diameter, Euler-nummeret (e), det gyldne tal (φ) og kvadratroten af ​​to; Desuden er alle firkantede rødder med naturlige tal irrationelle. Den eneste undtagelse fra denne regel er perfekte firkanter.

Det kan ses, at når irrationelle tal udtrykkes på en positionsmæssig måde i et talesystem (som for eksempel i decimalnumre), slutter de ikke eller gentages.

Dette betyder, at de ikke indeholder en sekvens af cifre, hvilken gentagelse, hvorpå en linje af repræsentationen foretages.

Forenkling af det irrationelle tal pi.

For eksempel: decimalrepræsentationen af ​​tallet π begynder med 3.14159265358979, men der er ikke et begrænset antal cifre, der kan repræsentere π nøjagtigt, og de kan heller ikke gentages.

Beviset for, at decimaludvidelsen af ​​et rationelt tal skal afsluttes eller gentages, er anderledes end beviset for, at en decimaludvidelse skal være et rationelt tal; Selvom de er basale og lidt lange, tager disse prøver noget arbejde.

Normalt tager matematikere normalt ikke forestillingen om at "slutte eller gentage" for at definere begrebet et rationelt tal.

Irrationelle tal kan også behandles via ikke-kontinuerlige fraktioner.

Referencer

1. Klassificer reelle tal. Gendannes fra chilimath.com.
2. Naturligt antal. Gendannet fra wikipedia.org.
3. Klassificering af tal. Gendannes fra ditutor.com.
4. Gendannet fra wikipedia.org.
5. Irrationelt antal. Gendannet fra wikipedia.org.