- Derivatet som hældning af tangentlinjen til en kurve
- Derivatet som øjeblikkelig hastighed for et bevægeligt objekt
- Algebraisk funktion
- Omgå regler
- Afledt af en konstant
- Afledt af en magt
- Afledt af tilføjelse og subtraktion
- Afledt af et produkt
- Afledt af en kvotient
- Kæderegel
- Referencer
De algebraiske derivater består af studiet af derivatet i tilfælde af algebraiske funktioner. Oprindelsen til begrebet afledt dateres tilbage til det gamle Grækenland. Udviklingen af denne opfattelse var motiveret af behovet for at løse to vigtige problemer, det ene i fysik og det andet i matematik.
I fysik løser derivatet problemet med at bestemme den øjeblikkelige hastighed af et bevægeligt objekt. I matematik giver det dig mulighed for at finde tangentlinjen til en kurve på et givet punkt.
Selvom der virkelig er mange flere problemer, der løses ved hjælp af derivatet såvel som dets generaliseringer, er resultater, der kom efter introduktionen af dets koncept.
Pionerer inden for differentieringsberegningen er Newton og Leibniz. Inden vi giver den formelle definition, vil vi udvikle ideen bag den fra et matematisk og fysisk synspunkt.
Derivatet som hældning af tangentlinjen til en kurve
Antag, at grafen for en funktion y = f (x) er en kontinuerlig graf (uden toppe eller toppunkt eller huller), og lad A = (a, f (a)) være et fast punkt på det. Vi ønsker at finde ligningen på linjetangensen til grafen for funktionen f ved punkt A.
Lad os tage et hvilket som helst andet punkt P = (x, f (x)) på grafen, tæt på punkt A, og tegne den secantelinie, der passerer gennem A og P. En secant linje er en linje, der skærer grafen for en kurve med en eller flere point.
For at få den tangenslinie, som vi ønsker, behøver vi kun at beregne hældningen, da vi allerede har et punkt på linjen: punkt A.
Hvis vi bevæger punkt P langs grafen og kommer nærmere og tættere på punkt A, vil den tidligere nævnte secantlinie nærme sig tangenslinjen, som vi ønsker at finde. Ved at tage grænsen, når "P har tendens til A", vil begge linjer falde sammen, derfor er deres skråninger også.
Hældningen af den sikrede linje er givet af
At sige, at P nærmer sig A, svarer til at sige, at "x" nærmer sig "a". Hældningen af tangentlinjen til grafen for f ved punkt A vil således være lig med:
Ovenstående udtryk betegnes med f '(a) og defineres som derivatet af en funktion f ved punktet "a". Vi ser derfor, at derivatet af en funktion på et punkt analytisk er en grænse, men geometrisk er det skråningen af tangentlinjen til grafen for funktionen på punktet.
Nu vil vi se på denne opfattelse fra fysikens synspunkt. Vi vil nå frem til det samme udtryk for den forrige grænse, skønt på en anden vej og således opnå enstemmighed i definitionen.
Derivatet som øjeblikkelig hastighed for et bevægeligt objekt
Lad os se på et kort eksempel på, hvad øjeblikkelig hastighed betyder. Når det f.eks. Siges, at en bil for at nå en destination gjorde det med en hastighed på 100 km i timen, hvilket betyder, at den på en time kørte 100 km.
Dette betyder ikke nødvendigvis, at bilen i hele timen altid var 100 km, bilens hastighedsmåler i nogle øjeblikke kunne markere mindre eller mere. Hvis du havde behov for at stoppe ved et trafiklys, var din hastighed på det tidspunkt 0 km. Efter en time var rejsen imidlertid 100 km.
Dette er, hvad der kaldes gennemsnitshastighed og gives af kvoten på den tilbagelagte afstand og den forløbne tid, som vi lige har set. Øjeblikkelig hastighed er derimod den, der markerer nålen på en bils hastighedsmåler på et givet øjeblik (tid).
Lad os se på dette nu mere generelt. Antag, at et objekt bevæger sig langs en linje, og at denne forskydning er repræsenteret af ligningen s = f (t), hvor variablen t måler tid og variablen s forskydningen under hensyntagen til dens begyndelse ved øjeblikket t = 0, på hvilket tidspunkt det også er nul, det vil sige f (0) = 0.
Denne funktion f (t) kaldes positionsfunktionen.
Der søges et udtryk for objektets øjeblikkelige hastighed på et fast øjeblik "a". Ved denne hastighed betegner vi det med V (a).
Lad det være et øjeblik tæt på øjeblikket "a". I tidsintervallet mellem “a” og “t” gives ændringen i objektets position ved f (t) -f (a).
Den gennemsnitlige hastighed i dette tidsinterval er:
Hvilket er en tilnærmelse af den øjeblikkelige hastighed V (a). Denne tilnærmelse vil være bedre, når t kommer nærmere "a". Dermed, 
Bemærk, at dette udtryk er det samme som det, der blev opnået i forrige tilfælde, men fra et andet perspektiv. Dette er, hvad der er kendt som derivatet af en funktion f på et punkt "a" og er betegnet med f '(a), som nævnt ovenfor.
Bemærk, at hvis vi foretager ændringen h = xa, har vi det, når “x” har en tendens til “a”, “h” har en tendens til 0, og den forrige grænse omdannes (ækvivalent) til:
Begge udtryk er ækvivalente, men nogle gange er det bedre at bruge det ene i stedet for det andet, afhængigt af tilfældet.
Derivatet af en funktion f på ethvert punkt "x", der hører til dens domæne, defineres derefter på en mere generel måde som
Den mest almindelige notation til at repræsentere derivatet af en funktion y = f (x) er den, vi lige har set (f 'eller y'). En anden bredt noteret notering er imidlertid Leibniz's notation, der er repræsenteret som et af følgende udtryk:
Da derivatet i det væsentlige er en grænse, kan den eller måske ikke eksistere, da grænser ikke altid findes. Hvis den findes, siges den pågældende funktion at være differentierbar på det givne tidspunkt.
Algebraisk funktion
En algebraisk funktion er en kombination af polynomer ved hjælp af tilføjelse, subtraktion, produkter, kvotienter, kræfter og radikaler.
Et polynom er et udtryk for formen
P n = a n x n + a n-1 x n-1 + a n-2 x n-2 +… + a 2 x 2 + a 1 x + a 0
Hvor n er et naturligt tal og alle et i, med i = 0,1,…, n, er rationelle tal og n ≠ 0. I dette tilfælde siges graden af dette polynom at være n.
Følgende er eksempler på algebraiske funktioner:
Eksponentielle, logaritmiske og trigonometriske funktioner er ikke inkluderet her. De afledningsregler, som vi ser næste, er gyldige for funktioner generelt, men vi vil begrænse os selv og anvende dem i tilfælde af algebraiske funktioner.
Omgå regler
Afledt af en konstant
Angiver, at derivatet af en konstant er nul. Det vil sige, hvis f (x) = c, så er f '(x) = 0. For eksempel er derivatet af den konstante funktion 2 lig med 0.
Afledt af en magt
Hvis f (x) = x n, så er f '(x) = nx n-1. For eksempel er derivatet af x 3 3x 2. Som en konsekvens af dette opnår vi, at derivatet af identitetsfunktionen f (x) = x er f '(x) = 1x 1-1 = x 0 = 1.
Et andet eksempel er følgende: lad f (x) = 1 / x 2, derefter f (x) = x -2 og f '(x) = - 2x -2-1 = -2x -3.
Denne egenskab er også gyldige rødder, da rødder er rationelle beføjelser, og ovenstående også kan anvendes i dette tilfælde. For eksempel er derivatet af en firkantet rod givet af
Afledt af tilføjelse og subtraktion
Hvis f og g er differentierbare funktioner i x, er summen f + g også differentierbar, og det er tilfreds med, at (f + g) '(x) = f' (x) + g '(x).
Tilsvarende har vi det (fg) '(x) = f' (x) -g '(x). Med andre ord er derivatet af en sum (subtraktion) summen (eller subtraktionen) af derivaterne.
Eksempel
Hvis h (x) = x 2 + x-1, så
h '(x) = (x 2) + (x)' - (1) '= 2x + 1-0 = 2x + 1.
Afledt af et produkt
Hvis f og g er differentierbare funktioner i x, er produktet fg også differentierbart i x, og det er sandt, at
(fg) '(x) = f' (x) g (x) + f (x) g '(x).
Som en konsekvens følger det, at hvis c er en konstant, og f er en differentierbar funktion i x, så er cf også differentierbar i x og (cf) '(x) = cf' (X).
Eksempel
Hvis f (x) = 3x (x 2 +1), så
f '(x) = (3x)' (x 2 +1) + (3x) (x 2 +1) '= 3 (x)' (x 2 +1) + 3x
= 3 (1) (x 2 +1) + 3x = 3 (x 2 +1) + 3x (2x) = 3x 2 + 3 + 6x 2
= 9x 2 +3.
Afledt af en kvotient
Hvis f og g kan differentieres ved x og g (x) ≠ 0, er f / g også differentierbar ved x, og det er rigtigt, at
Eksempel: Hvis h (x) = x 3 / (x 2 -5x), så
h '(x) = / (x 5 -5x) 2 = / (x 5 -5x) 2.
Kæderegel
Denne regel giver mulighed for at udlede sammensætningen af funktioner. Angiv følgende: Hvis y = f (u) kan differentieres ved u, yu = g (x) kan differentieres ved x, så er kompositfunktionen f (g (x)) differentierbar ved x, og det er rigtigt, at '= f '(g (x)) g' (x).
Det vil sige, at derivatet af en sammensat funktion er produktet af derivatet af den eksterne funktion (eksternt derivat) og derivatet af den interne funktion (internt derivat).
Eksempel
Hvis f (x) = (x 4 -2x) 3, så
f '(x) = 3 (x 4 -2x) 2 (x 4 -2x)' = 3 (x 4 -2x) 2 (4x 3 -2).
Der er også resultater til beregning af derivatet af det inverse af en funktion såvel som generalisering til derivater af højere orden. Ansøgningerne er omfattende. Blandt dem skiller det sig ud i optimeringsproblemer og maksimale og minimale funktioner.
Referencer
- Alarcon, S., González, M., & Quintana, H. (2008). Diferential calculus. ITM.
- Cabrera, VM (1997). Beregning 4000. Redaktionel Progreso.
- Castaño, HF (2005). Matematik inden beregning. University of Medellin.
- Eduardo, NA (2003). Introduktion til Calculus. Tærskeludgaver.
- Fuentes, A. (2016). BASIC MATH. En introduktion til calculus. Lulu.com.
- Purcell, EJ, Rigdon, SE, & Varberg, DE (2007). Beregning. Pearson Uddannelse.
- Saenz, J. (2005). Differentialberegning (Anden udgave). Barquisimeto: Hypotenuse.
- Thomas, GB, & Weir, MD (2006). Beregning: flere variabler. Pearson Uddannelse.