De typer integraler, som vi finder i beregningen, er de ubegrænsede integraler og de bestemte integraler. Selvom bestemte integraler har mange flere applikationer end ubestemte integraler, er det nødvendigt først at lære at løse ubestemte integraler.
En af de mest attraktive anvendelser af bestemte integraler er beregningen af volumen af et solidt revolution. Begge typer integraler har de samme egenskaber af linearitet, og integrationsteknikkerne afhænger heller ikke af integraaltypen.
Solid af revolution
Men på trods af at de er meget ens, er der en hovedforskel; i den første type integral er resultatet en funktion (som ikke er specifik), mens i den anden type er resultatet et tal.
Grundlæggende typer integraler
Integralernes verden er meget bred, men inden for den kan vi skelne mellem to grundlæggende typer integraler, der har stor anvendelighed i hverdagen.
1- Ubegrænsede integraler
Hvis F '(x) = f (x) for alle x i f-domænet, siger vi, at F (x) er et antiderivativ, et primitivt eller et integral af f (x).
Lad os på den anden side observere, at (F (x) + C) '= F' (x) = f (x), hvilket indebærer, at integreringen af en funktion ikke er unik, da vi giver forskellige værdier til konstanten C, vil vi opnå forskellige stamfunktioner.
Af denne grund kaldes F (x) + C det ubegrænsede integral af f (x), og C kaldes integrationskonstanten, og vi skriver det på følgende måde
Ubegrænset integral
Som vi kan se, er det ubestemte integral af funktionen f (x) en familie af funktioner.
Hvis du f.eks. Vil finde det ubestemte integral af funktionen f (x) = 3x², skal du først finde et antiderivativ af f (x).
Det er let at se, at F (x) = x³ er et antiderivativ, da F '(x) = 3x². Derfor kan det konkluderes, at
∫f (x) dx = ∫3x²dx = x³ + C.
2- Definitive integraler
Lad y = f (x) være en reel, kontinuerlig funktion på et lukket interval, og lad F (x) være et antiderivativ af f (x). Det definitive integral af f (x) mellem grænserne a og b kaldes tallet F (b) -F (a) og betegnes som følger
Grundlæggende sætning af beregning
Formlen vist ovenfor er bedre kendt som "Det grundlæggende teorem for beregning." Her kaldes "a" den nedre grænse og "b" kaldes den øvre grænse. Som du kan se, er det definitive integral af en funktion et tal.
I dette tilfælde, hvis det definitive integral af f (x) = 3x² beregnes i intervallet, opnås et tal.
For at bestemme dette antal vælger vi F (x) = x³ som antiderivativ for f (x) = 3x². Derefter beregner vi F (3) -F (0), som giver os resultatet 27-0 = 27. Afslutningsvis er det definitive integral af f (x) i intervallet 27.
Det kan bemærkes, at hvis G (x) = x³ + 3 vælges, så er G (x) et antiderivativ af f (x) forskellig fra F (x), men dette påvirker ikke resultatet, da G (3) -G (0) = (27 + 3) - (3) = 27. Af denne grund vises konstant for integration ikke i de konkrete integraler.
En af de mest nyttige anvendelser af denne type integral er, at det giver os mulighed for at beregne arealet (volumen) af et plant tal (af et fast omdrejningstal), etablere passende funktioner og integrationsgrænser (og en rotationsakse).
Inden for de bestemte integraler kan vi finde forskellige udvidelser af det, såsom linieintegraler, overfladeintegraler, forkerte integraler, flere integraler, blandt andre, alle med meget nyttige applikationer inden for videnskab og teknik.
Referencer
- Casteleiro, JM (2012). Er det let at integrere? Selvstudie manual. Madrid: ESIC.
- Casteleiro, JM, & Gómez-Álvarez, RP (2002). Integreret beregning (Illustreret red.). Madrid: ESIC Redaktion.
- Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Precalculus Matematik. Prentice Hall PTR.
- Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Precalculus matematik: en problemløsende tilgang (2, Illustreret red.). Michigan: Prentice Hall.
- Kishan, H. (2005). Integreret beregning. Atlantic forlag og distributører.
- Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). Calculus (9. udgave). Prentice Hall.