ELLIPSOID: KARAKTERISTIKA OG EKSEMPLER - ARTE - 2025

Den ellipsoide er en overflade i rummet, der tilhører gruppen af Quadric overflader og hvis generelle ligning er af formen:

Det er den tredimensionelle ækvivalent af en ellipse, kendetegnet ved at have elliptiske og cirkulære spor i nogle særlige tilfælde. Sporene er kurverne opnået ved krydsning af ellipsoiden med et plan.

Figur 1. Tre forskellige ellipsoider: øverst en kugle, hvor de tre halvakser er lige, nederst til venstre en sfæroid, med to lige halvakse og en anden, og til sidst nederst til højre, en triaksial sfæoid med tre forskellige akser længde. Kilde: Wikimedia Commons. Ag2gaeh / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0)

Foruden ellipsoiden er der fem flere firkanter: en-ark og to-ark hyperboloid, to typer paraboloid (hyperbolisk og elliptisk) og den elliptiske kegle. Dens spor er også koniske.

Ellipsoiden kan også udtrykkes ved standardligningen i kartesiske koordinater. En ellipsoid, der er centreret ved oprindelsen (0,0,0) og udtrykt på denne måde, ligner ellipsen, men med en yderligere betegnelse:

Værdierne for a, b og c er reelle tal større end 0 og repræsenterer de tre halvakser på ellipsoiden.

Ellipsoide egenskaber

- Standard ligning

Standardligningen i kartesiske koordinater for ellipsen centreret ved punktet (h, k, m) er:

- Parametriske ligninger af ellipsoiden

I sfæriske koordinater kan ellipsoiden beskrives som følger:

x = en synd θ. cos φ

y = b synd θ. sen φ

z = c cos θ

Halveakserne på ellipsoiden forbliver a, b og c, mens parametrene er vinklerne θ og φ i den følgende figur:

Figur 2. Det sfæriske koordinatsystem. Ellipsoiden kan parametreres ved hjælp af de viste vinkler theta og phi som parametre. Kilde: Wikimedia Commons. Andeggs / Public domain.

- Spor af ellipsoiden

Den generelle ligning af en overflade i rummet er F (x, y, z) = 0 og sporene på overfladen er kurverne:

- x = c; F (c, y, z) = 0

- y = c; F (x, c, z) = 0

- z = c; F (x, y, c) = 0

I tilfælde af en ellipsoid er sådanne kurver ellipser og undertiden cirkler.

- Volumen

Volumen V af ellipsoiden er angivet med (4/3) π gange produktet af dets tre halvakser:

V = (4/3) π. abc

Specielle tilfælde af ellipsoiden

-En ellipsoid bliver en kugle, når alle halvakser har samme størrelse: a = b = c ≠ 0. Dette giver mening, da ellipsoiden er som en kugle, der er strækket forskelligt langs hver akse.

-Sfæroiden er en ellipsoid, hvor to af halvakslerne er identiske, og den tredje er forskellig, for eksempel kan det være a = b ≠ c.

Kugleformen kaldes også en ellipsoid af revolution, fordi den kan frembringes ved roterende ellipser omkring en akse.

Hvis rotationsaksen falder sammen med hovedaksen, er sfæroiden prolat, men hvis den falder sammen med mindre akse, er den skrå:

Figur 3. Skub kugleformet til venstre og spaltkugleformet til højre. Kilde: Wikimedia Commons.

Målet for udfladning af sfæroid (ellipticitet) er angivet ved forskellen i længde mellem de to halvakser, udtrykt i brøkform, det vil sige det er enhedens udfladning, givet af:

f = (a - b) / a

I denne ligning repræsenterer a den semi-større akse og b den semi-minor akse. Husk, at den tredje akse er lig med en af ​​disse for en sfæroid. Værdien af ​​f er mellem 0 og 1, og for en sfæroid skal den være større end 0 (hvis den var lig 0, ville vi simpelthen have en kugle).

Henvisningen ellipsoid

Planeterne og generelt stjernerne er normalt ikke perfekte kugler, fordi rotationsbevægelsen omkring deres akser fladgør kroppen ved polerne og buler det ved ækvator.

Det viser sig, at Jorden viser sig at være som en skrå sfæroid, skønt den ikke er så overdrevet som den i den forrige figur, og for sin del er gasgiganten Saturn den fladeste af planeterne i solsystemet.

Så en mere realistisk måde at repræsentere planeterne er at antage, at de er som en sfæoid eller ellipsoid af revolution, hvis semi-hovedakse er den ækvatoriale radius og den semi-mindre akse den polare radius.

Omhyggelige målinger foretaget på kloden har gjort det muligt at opbygge reference ellipsoiden til Jorden som den mest præcise måde at arbejde det matematisk på.

Stjernerne har også roterende bevægelser, der giver dem mere eller mindre flade former. Den hurtige stjerne Achernar, den ottende lyseste stjerne på nattehimlen, i den sydlige stjernebilledet Eridanus er bemærkelsesværdigt elliptisk sammenlignet med de fleste. Det er 144 lysår fra os.

På den anden ekstreme måde fandt forskere for et par år siden det mest sfæriske objekt nogensinde fundet: stjernen Kepler 11145123, 5000 lysår væk, dobbelt så stor som vores sol og en forskel mellem semi-akserne på kun 3 km. Som forventet spinder det også langsommere.

Med hensyn til Jorden er det heller ikke en perfekt sfæroid på grund af dens robuste overflade og lokale tyngdekraftsvariationer. Af denne grund er der mere end én referencesfæroid tilgængelig, og på hvert sted vælges den mest passende til den lokale geografi.

Hjælp fra satellitter er uvurderlige til at skabe stadig mere nøjagtige modeller af jordens form, takket være dem vides det for eksempel, at sydpolen er tættere på ækvator end nordpolen.

Figur 4. Haumea, den trans-Neptuniske dværgplanet har en ellipsoid form. Kilde: Wikimedia Commons.

Numerisk eksempel

På grund af Jordens rotation genereres en centrifugalkraft, der giver den formen af ​​en aflang ellipsoid i stedet for en kugle. Jordens ækvatorradius er kendt for at være 3963 miles, og den polare radius er 3942 miles.

Find ligningen af ​​det ækvatoriale spor, den for denne ellipsoide og målet for dens udfladning. Sammenlign også med ellipticiteten af ​​Saturn med nedenstående data:

-Saturn Ækvatorial radius: 60.268 km

-Polar radius af Saturn: 54.364 km

Løsning

Et koordinatsystem er påkrævet, som vi antager centreret om oprindelsen (Jordens centrum). Vi antager den lodrette z-akse og det spor, der svarer til ækvator, ligger på xy-planet, svarende til z = 0-planet.

I ækvatorplanet er halvakslene a og b lige, derfor a = b = 3963 miles, mens c = 3942 miles. Dette er et specielt tilfælde: en sfæroid centreret ved det punkt (0,0,0) som nævnt ovenfor.

Ækvatorialsporet er en cirkel med radius R = 3963 miles, centreret ved oprindelsen. Det beregnes ved at oprette z = 0 i standardligningen:

Og standardligningen for den terrestriske ellipsoid er:

f _Jorden = (a - b) / a = (3963-3942) miles / 3963 miles = 0,0053

f _Saturn = (60268-54363) km / 60268 km = 0,0980

Bemærk, at ellipticiteten f er en størrelsesfri mængde.

Referencer

1. ArcGIS til desktop. Kugler og kugler. Gendannes fra: desktop.arcgis.com.
2. BBC World. Mysteriet med det mest sfæriske objekt nogensinde opdaget i universet. Gendannes fra: bbc.com.
3. Larson, R. Calculus og analytisk geometri. Sjette udgave. Bind 2. McGraw Hill.
4. Wikipedia. Ellipsoide. Gendannet fra: en.wikipedia.org.
5. Wikipedia. Klumpformet. Gendannet fra: en.wikipedia.org.