TRIANGLER: HISTORIE, ELEMENTER, KLASSIFICERING, EGENSKABER - VIDENSKAB - 2025

De trekanter er flade og lukkede geometriske figurer, der består af tre sider. En trekant bestemmes af tre linjer, der skærer hinanden ved to, og danner tre vinkler med hinanden. Den trekantede form, fuld af symbolik, er til stede i utallige objekter og som et konstruktionselement.

Trekantens oprindelse går tabt i historien. Fra det arkæologiske bevis vides det, at det primitive menneskehed kendte det godt, da de arkæologiske rester bekræfter, at det blev brugt i værktøjer og våben.

Figur 1. Trekanter. Kilde: Publicdomainpictures.

Det er også tydeligt, at de gamle egyptere havde et solidt kendskab til geometri og især den trekantede form. De blev afspejlet i de arkitektoniske elementer i dens monumentale bygninger.

I Rhind papyrus finder du formler til beregning af områderne med trekanter og trapezoider samt nogle volumener og andre begreber om rudimentær trigonometri.

På deres side er det kendt, at babylonierne var i stand til at beregne arealet af trekanten og andre geometriske figurer, som de brugte til praktiske formål, såsom landets opdelinger. De var også vidende om mange egenskaber ved trekanter.

Imidlertid var det de gamle grækere, der systematiserede mange af de geometriske begreber, der var fremherskende i dag, skønt meget af denne viden ikke var eksklusiv, da den helt sikkert blev delt med disse andre gamle civilisationer.

Trekantelementer

Elementerne i en hvilken som helst trekant er angivet i den følgende figur. Der er tre: Højdepunkter, sider og vinkler.

Figur 2. Notering af trekanter og deres elementer. Kilde: Wikimedia Commons, ændret af F. Zapata

-Vertices: er skæringspunkterne for de linjer, hvis segmenter bestemmer trekanten. I figuren ovenfor skærer linjen L _AC, der indeholder segmentet AC, eksempelvis linjen L _AB, der indeholder segmentet AB nøjagtigt i punkt A.

- Sider: mellem hvert par vertices tegnes et linjesegment, der udgør den ene side af trekanten. Dette segment kan betegnes med slutbrevene eller ved at bruge et specifikt bogstav til at kalde det. I eksemplet i figur 2 kaldes side AB også "c".

- Vinkler: Mellem hver side med en fælles toppunkt kommer en vinkel, hvis toppunkt falder sammen med trekanten. Generelt betegnes vinklen med et græsk bogstav som nævnt i starten.

For at opbygge en bestemt trekant med en given form og størrelse skal du bare bruge et af følgende datasæt:

-De tre sider, ganske tydelige i tilfælde af en trekant.

-To sider og vinklen mellem dem, og straks tegnes den resterende side.

-To (indvendige) vinkler og siden mellem dem. Som forlængelse tegnes de to manglende sider, og trekanten er klar.

Notation

Generelt i trekantnotation anvendes følgende konventioner: Højdepunkter er angivet med store bogstaver, sider med små bogstaver med små bogstaver og vinkler med græske bogstaver (se figur 2).

På denne måde benævnes trekanten i henhold til dets hjørner. For eksempel er trekanten til venstre i figur 2 trekant ABC, og den til højre er trekant A'B'C.

Det er også muligt at bruge andre notationer; for eksempel betegnes vinklen a i figur 2 som BAC. Bemærk, at bogstavet i toppunktet går i midten, og bogstaverne er skrevet i retning mod uret.

Andre gange bruges en caret til at betegne vinklen:

a = ∠A

Typer af trekanter

Der er flere kriterier for klassificering af trekanter. Den mest sædvanlige ting er at klassificere dem efter målene på deres sider eller efter deres mål på deres vinkler. Afhængigt af målene på deres sider, kan trekanterne være: skalaer, isosceles eller ligesidede:

-Scaleno: dens tre sider er forskellige.

-Isósceles: det har to lige sider og en anden side.

-Equilátero: de tre sider er lige.

Figur 3. Klassificering af trekanter ved deres sider. Kilde: F. Zapata

I henhold til målene på deres vinkler benævnes trekanterne sådan:

- Hindring, hvis en af ​​de indre vinkler er større end 90º.

- Akut vinkel, når de tre indre vinkler i trekanten er spids, det vil sige mindre end 90º

- Rektangel, hvis en af ​​dens indre vinkler er værd 90º. De sider, der danner 90º kaldes ben, og siden modsat den rigtige vinkel er hypotenusen.

Figur 4. Klassificering af trekanter efter deres indre vinkler. Kilde: F. Zapata.

Forekomst af trekanter

Når to trekanter har samme form og har samme størrelse, siges de at være kongruente. Selvfølgelig er kongruens relateret til lighed, så hvorfor i geometri taler vi om "to kongruente trekanter" i stedet for "to lige trekanter"?

Det foretrækkes at bruge udtrykket "kongruens" for at holde sig til sandheden, da to trekanter kan have samme form og størrelse, men orienteres forskelligt i planet (se figur 3). Set fra geometri ville de ikke længere være det samme.

Figur 5. Congruente trekanter, men ikke nødvendigvis lige, da deres orientering i planet er forskellig. Kilde: F. Zapata.

Congruence kriterier

To trekanter er kongruente, hvis noget af følgende forekommer:

-De tre sider måler det samme (igen er dette det mest indlysende).

-De har to identiske sider og med den samme vinkel mellem dem.

-Både har to identiske indre vinkler, og siden mellem disse vinkler måler det samme.

Som det ses, handler det om de to trekanter, der opfylder de nødvendige betingelser, så når deres bygning er deres form og størrelse nøjagtigt den samme.

Kongruenskriterierne er meget nyttige, da utallige stykker og mekaniske dele i praksis skal fremstilles i serie på en sådan måde, at deres målinger og form er nøjagtig de samme.

Trekanters lighed

En trekant ligner en anden, hvis de har samme form, selvom de har forskellige størrelser. For at sikre, at formen er den samme, kræves det, at de indvendige vinkler har den samme værdi, og at siderne er proportionale.

Figur 6. To lignende trekanter: deres størrelser er forskellige, men deres proportioner er de samme. Kilde: F. Zapata.

Trekanterne i figur 2 er også ens, ligesom dem i figur 6. På denne måde:

Hvad angår siderne, har følgende lighedstal:

Ejendomme

De grundlæggende egenskaber ved trekanter er som følger:

-Summen af ​​de indre vinkler i enhver trekant er altid 180º.

-For en hvilken som helst trekant er summen af ​​dets ydre vinkler lig med 360 °.

- En ekstern vinkel i en trekant er lig med summen af ​​de to indvendige vinkler, der ikke støder op til nævnte vinkel.

teoremer

Thales 'første sætning

De tilskrives den græske filosof og matematiker Thales of Miletus, der udviklede adskillige teoremer relateret til geometri. Den første af dem siger følgende:

Figur 7. Thales 'sætning. Kilde: F. Zapata.

Med andre ord:

a / a´ = b / b´ = c / c´

Thales 'første sætning gælder for en trekant, for eksempel har vi den blå trekant ABC til venstre, som er skåret af de røde paralleller til højre:

Figur 8. Thales 'sætning og lignende trekanter.

Den lilla trekant AB'C 'ligner den blå trekant ABC, derfor kan følgende ifølge Thales' teorem skrives:

AB´ / AC´ = AB / AC

Og det er i overensstemmelse med det, der tidligere blev forklaret inden for segmentet af ligheden mellem trekanter. For øvrig kan parallelle linjer også være lodrette eller parallelle med hypotenusen, og lignende trekanter opnås på samme måde.

Thales 'andet sætning

Dette sætning henviser også til en trekant og en cirkel med centrum O, såsom dem der er vist nedenfor. I dette figur er AC en diameter på omkredsen, og B er et punkt på den, hvor B er forskellig fra A og B.

Thales 'anden sætning siger, at:

Figur 9. Thales 'anden sætning. Kilde: Wikimedia Commons. Inductiveload.

Pythagoræas sætning

Dette er en af ​​de mest berømte teoremer i historien. Det skyldes den græske matematiker Pythagoras fra Samos (569 - 475 f.Kr.) og gælder for en højre trekant. Siger det så:

Hvis vi tager et eksempel den blå trekant i figur 8 eller den lilla trekant, da begge er rektangler, kan det siges, at:

AC ² = AB ² + BC ² (blå trekant)

AC´ ² = AB´ ² + BC´ ² (lilla trekant)

Området med en trekant

Arealet af trekanten er angivet af produktet fra dens base a og dens højde h, divideret med 2. Og ved trigonometri kan denne højde skrives som h = b sinθ.

Figur 10. Arealet af trekanten. Kilde: Wikimedia Commons.

Eksempler på trekanter

Eksempel 1

Det siges, at Thales ved hjælp af hans første teorem formåede at måle højden på Den Store Pyramide i Egypten, et af de 7 vidundere i den antikke verden, ved at måle skyggen, den projicerede på jorden, og skyggen projiceret af en stav, der blev drevet i jorden.

Dette er oversigten over proceduren efterfulgt af Tales:

Figur 11. Skema til måling af højden på Den Store Pyramide ved lighed af trekanter. Kilde: Wikimedia Commons. dake

Thales antog korrekt at solens stråler strejker parallelt. Med dette i tankerne forestillede han sig den store højre trekant til højre.

Der D er pyramidens højde, og C er afstanden over jorden målt fra centrum til skyggen, som pyramiden støber på ørkenbundet. Det kan være besværligt at måle C, men det er bestemt lettere end at måle pyramidens højde.

Til venstre er den lille trekant med benene A og B, hvor A er højden på staven, der drives lodret ned i jorden, og B er den skygge, den kaster. Begge længder er målbare, ligesom C (C er lig med længden af ​​skyggen + halvdelen af ​​pyramiden).

Således ligner trekanter:

A / B = D / C

Og højden på den store pyramide viser sig at være: D = C. (A / B)

Eksempel 2

Staverne i civil konstruktion er strukturer lavet af tynde lige stænger af træ eller metal på tværs, som bruges som støtte i mange bygninger. De er også kendt som fagværker, fagstole eller fagstole.

I dem er trekanterne altid til stede, da stængerne er forbundet med hinanden på punkter, der kaldes knudepunkter, som kan fastgøres eller artikuleres.

Figur 12. Trekanten er til stede i rammen af ​​denne bro. Kilde: PxHere.

Eksempel 3

Metoden kendt som triangulering tillader opnåelse af placeringen af ​​utilgængelige punkter ved at kende andre afstande, der er lettere at måle, forudsat at der dannes en trekant, der inkluderer det ønskede sted mellem dets hjørner.

I den følgende figur vil vi for eksempel vide, hvor skibet befinder sig i havet, betegnet som B.

Figur 13. Trianguleringsplan for at lokalisere skibet. Kilde: Wikimedia Commons. Colette

Først måles afstanden mellem to punkter på kysten, som i figuren er A og C. Dernæst skal vinklerne a og β bestemmes ved hjælp af en teodolit, en anordning, der bruges til at måle lodrette og vandrette vinkler.

Med al denne information er der indbygget en trekant, hvis øverste toppunkt er skibet. Det gjenstår at beregne vinklen γ ved hjælp af egenskaberne for trekanterne og afstandene AB og CB ved hjælp af trigonometri til at bestemme skibets placering i havet.

Øvelser

Øvelse 1

I den viste figur er solens stråler parallelle. På denne måde kaster det 5 meter høje træ en 6 meter lang skygge på jorden. På samme tid er bygningens skygge 40 meter. Efter Thales 'første sætning, find bygningens højde.

Figur 14. Skema til den løste øvelse 1. Kilde: F. Zapata.

Løsning

Den røde trekant har sider på henholdsvis 5 og 6 meter, mens den blå har højde H - bygningens højde - og base 40 meter. Begge trekanter ligner derfor:

Øvelse 2

Du skal kende den vandrette afstand mellem to punkter A og B, men de er placeret på meget ujævn jord.

Cirka midtpunktet (P _m) af nævnte terræn skiller sig en fremtrædende plads på 1,75 meter højt ud. Hvis målebåndet angiver 26 meters længde målt fra A til fremtrædende plads og 27 meter fra B til samme punkt, skal du finde afstanden AB.

Figur 15. Skema til den løste øvelse 2. Kilde: Jiménez, R. Mathematics II. Geometri og trigonometri.

Løsning

Pythagorean-sætningen anvendes på en af ​​de to højre trekanter i figuren. Start med den til venstre:

Hypotenuse = c = 26 meter

Højde = a = 1,75 meter

AP _m = (26 ² - 1,75 ²) ^1/2 = 25,94 m

Påfør nu Pythagoras i trekanten til højre, denne gang c = 27 meter, a = 1,75 meter. Med disse værdier:

BP _m = (27 ² - 1,75 ²) ^1/2 = 26,94 m

Afstanden AB findes ved at tilføje disse resultater:

AB = 25,94 m + 26,94 m = 52,88 m.

Referencer

1. Baldor, JA 1973. Plane and Space Geometry. Mellemamerikansk kultur.
2. Barredo, D. Geometrien af ​​trekanten. Gendannes fra: ficus.pntic.mec.es.
3. Jiménez, R. 2010. Matematik II. Geometri og trigonometri. Anden version. Pearson.
4. Wentworth, G. Plane Geometry. Gendannet fra: gutenberg.org.
5. Wikipedia. Trekant. Gendannes fra: es. wikipedia.org.