RESULTAT VEKTOR: BEREGNING, EKSEMPLER, ØVELSER - FYSISK - 2025

Den resulterende vektor er den opnået ved en operation med vektorer, hvis resultat også er en vektor. Normalt er denne operation summen af ​​to eller flere vektorer, ved hjælp af hvilken der opnås en vektor, hvis virkning er ækvivalent.

På denne måde opnås vektorer som den resulterende hastighed, acceleration eller kraft. For eksempel når flere kræfter F ₁, F ₂, F ₃,… virke på et legeme. vektorsummen af ​​alle disse kræfter er lig med nettokraften (den resulterende), som matematisk udtrykkes som følger:

F ₁ + F ₂ + F ₃ +… = F _R eller F _N

Figur 1. Vægten af ​​sneen fordeles på taget, og dens virkning kan erstattes af en enkelt resulterende kraft påført på det passende sted. Kilde: Pixabay.

Den resulterende vektor, uanset om det er kræfter eller en hvilken som helst anden vektorstørrelse, findes ved at anvende reglerne for vektortilsætning. Da vektorerne har retning og forstand samt en numerisk værdi, er det ikke nok at tilføje modulerne til at have den resulterende vektor.

Dette gælder kun i de tilfælde, hvor de involverede vektorer er i samme retning (se eksempler). Ellers er det nødvendigt at anvende vektorsummetoder, som afhængigt af tilfældet kan være geometriske eller analytiske.

eksempler

Geometriske metoder til at finde den resulterende vektor er traversemetoden og parallelogrammetoden.

Hvad angår de analytiske metoder, er der komponentmetoden, hvormed vektoren, der er resultatet af ethvert vektorvektorsystem, kan findes, så længe vi har dens kartesiske komponenter.

Geometriske metoder til at tilføje to vektorer

Antag, at vektorerne u og v (vi betegner dem med fed skrift for at skelne dem fra skalarerne). I figur 2a) har vi dem placeret på flyet. I figur 2 b) er den blevet oversat til vektor v på en sådan måde, at dens oprindelse falder sammen med slutningen af u. Den resulterende vektor går fra oprindelsen af ​​den første (u) til spidsen af ​​den sidste (v):

Figur 2. Den resulterende vektor fra den grafiske sum af vektorer. Kilde: self made.

Den resulterende figur i dette tilfælde er en trekant (en trekant er en 3-sidet polygon). Hvis vi har to vektorer i samme retning, er proceduren den samme: placer den ene af vektorerne efter den anden og tegne en der går fra oprindelsen eller halen til den første til spidsen eller slutningen af ​​den sidste.

Bemærk, at rækkefølgen, hvor denne procedure udføres, ikke betyder noget, da summen af ​​vektorer er kommutative.

Bemærk også, at i dette tilfælde er modulet (længden eller størrelsen) af den resulterende vektor summen af ​​modulerne i de tilføjede vektorer, i modsætning til det foregående tilfælde, hvor modulet for den resulterende vektor er mindre end summen af deltagermoduler.

Parallelogrammetode

Denne metode er meget passende, når du skal tilføje to vektorer, hvis oprindelsespunkter falder sammen, f.eks. Med oprindelsen af ​​et xy-koordinatsystem. Antag, at dette er tilfældet for vores vektorer u og v (figur 3a):

Figur 3. Summen af ​​to vektorer ved hjælp af parallelogrammetoden med den resulterende vektor i turkisblå. Kilde: self made.

I figur 3b) er der konstrueret et parallelogram ved hjælp af stiplede linjer parallelt med u og v. Den resulterende vektor har sin oprindelse ved O og dens ende på det punkt, hvor de stiplede linjer skærer hinanden. Denne procedure svarer fuldstændigt til den, der er beskrevet i det foregående afsnit.

Øvelser

- Øvelse 1

Givet de følgende vektorer, find den resulterende vektor ved hjælp af traversemetoden.

Figur 4. Vektorer for at finde deres resulterende ved hjælp af den polygonale metode. Øvelse 1. Kilde: egen uddybning.

Løsning

Traversemetoden er den første af de viste metoder. Husk, at summen af ​​vektorer er kommutative (rækkefølgen af ​​tilføjelser ændrer ikke summen), så du kan starte med en hvilken som helst af vektorerne, for eksempel u (figur 5a) eller r (figur 5b):

Figur 5. Summen af ​​vektorer ved hjælp af den polygonale metode. Kilde: self made.

Figur opnåede en polygon, og den resulterende vektor (i blåt) kaldes R. Hvis du starter med en anden vektor, kan den form, der er dannet, være anderledes, som vist i eksemplet, men den resulterende vektor er den samme.

Øvelse 2

I nedenstående figur ved vi, at modulerne i vektorerne u og v er henholdsvis u = 3 arbitrære enheder og v = 1,8 vilkårlige enheder. Vinklen, som u foretager med den positive x-akse, er 45º, mens v er 60 ° med y-aksen, som det ses på figuren. Find den resulterende vektor, størrelse og retning.

Løsning

I det foregående afsnit blev den resulterende vektor fundet ved anvendelse af parallelogrammetoden (i turkis i figuren).

En nem måde at finde den resulterende vektor analytisk er at udtrykke addendvektorerne med hensyn til deres kartesiske komponenter, hvilket er en let opgave, når man kender modul og vinkel, såsom vektorerne i dette eksempel:

u _x = u. cos 45º = 3 x cos 45º = 2,12; u _y = u. sin 45º = 3x sin 45º = 2,12

v _x = v. sin 60º = 1,8 x sin 60º = 1,56; v _y = -v. cos 60º = -1,8 x cos 60º = - 0,9

Vektorerne u og v er vektorer, der hører til planet, og har derfor to komponenter hver. Vektor u er i den første kvadrant, og dens komponenter er positive, mens vektor v er i den fjerde kvadrant; dens x-komponent er positiv, men dens projektion på den lodrette akse falder på den negative y-akse.

Beregning af de kartesiske komponenter i den resulterende vektor

Den resulterende vektor findes ved at tilføje algebraisk de respektive x- og y-komponenter for at opnå deres kartesiske komponenter:

R _x = 2,12 + 1,56 = 3,68

R _y = 2,12 + (-0,9) = 1,22

Når de kartesiske komponenter er specificeret, er vektoren fuldt kendt. Den resulterende vektor kan udtrykkes med notationen i parentes:

R = <3,68; 1.22> vilkårlige enheder

Beslagsnotation bruges til at skelne en vektor fra et punkt i planet (eller i rummet). En anden måde at udtrykke den resulterende vektor analytisk er ved at bruge enhedsvektorerne i og j i planet (i, j og k i rummet):

R = 3,68 i + 1,22 j vilkårlige enheder

Da begge komponenter i den resulterende vektor er positive, hører vektor R til den første kvadrant, som allerede er set grafisk før.

Størrelse og retning af den resulterende vektor

Når man kender de kartesiske komponenter, beregnes størrelsen af ​​R gennem den Pythagoreiske teorem, da den resulterende vektor R sammen med dets komponenter R _x og R _og danner en højre trekant:

Størrelse eller modul: R = (3,68 ² + 1,22 ²) ^½ = 3,88

Retning q, der tager den positive x-akse som reference: q = arctan (R _y / R _x) = arctg (1,22 / 3,68) = 18,3 º

Referencer

1. Tilføjelse af vektorer og regler. Hentet fra: newt.phys.unsw.edu.au
2. Figueroa, D. Series: Physics for Sciences and Engineering. Bind 1. Kinematik 31-68.
3. Fysisk. Modul 8: Vektorer. Gendannes fra: frtl.utn.edu.ar
4. Hibbeler, R. 2006. Mekanik til ingeniører. Statisk 6. udgave. Continental Publishing Company. 15-53.
5. Lommeregner for vektoroptagelse. Hentet fra: www.1728.org