- Keplers love
- Hvorfor bevæger planeterne sig elliptisk rundt om solen?
- Størrelsen på en planets lineære hastighed er ikke konstant
- Areolær hastighed
- Dyrke motion
- Svar til)
- Svar B)
Den areolære hastighed er det område, der fejes pr. Tidsenhed og er konstant. Det er specifikt for hver planet og stammer fra beskrivelsen af Keplers anden lov i matematisk form. I denne artikel forklarer vi, hvad det er, og hvordan det beregnes.
Bommen, der repræsenterer opdagelsen af planeter uden for solsystemet, har genaktiveret interessen for planetbevægelse. Intet får os til at tro, at disse ekso-planeter følger andre love end dem, der allerede er kendt og gyldigt i solsystemet: Keplers love.
Johannes Kepler var astronomen, der uden hjælp af teleskopet og ved hjælp af observationer fra sin mentor Tycho Brahe skabte en matematisk model, der beskriver planetenes bevægelse omkring solen.
Han forlod denne model legemliggjort i de tre love, der bærer hans navn, og som stadig er lige så gyldige i dag som i 1609, da han etablerede de første to og i 1618, den dato, hvor han udråbte den tredje.
Keplers love
I nutidens parlance lyder Keplers tre love sådan:
1. Bane på alle planeter er elliptiske, og solen er i ét fokus.
2. Positionsvektoren fra solen til en planet fejer over lige store områder på lige tidspunkter.
3. Kvadratet af en planetens orbitalperiode er proportional med terningen af den beskrevne ellipses halvhovedakse.
En planet vil have en lineær hastighed, ligesom enhver kendt bevægelig genstand. Og der er endnu mere: når man skriver Keplers anden lov i matematisk form, opstår et nyt koncept kaldet areolar hastighed, typisk for hver planet.
Hvorfor bevæger planeterne sig elliptisk rundt om solen?
Jorden og de andre planeter bevæger sig rundt om solen takket være det faktum, at den udøver en kraft på dem: gravitationsattraktionen. Det samme sker med enhver anden stjerne og de planeter, der udgør sit system, hvis de har dem.
Dette er en kraft af den type, der er kendt som en central kraft. Vægt er en central kraft, som alle er fortrolige med. Objektet, der udøver den centrale kraft, det være sig solen eller en fjern stjerne, tiltrækker planeterne mod dens centrum og de bevæger sig i en lukket kurve.
I princippet kan denne kurve tilnærmes som en omkreds, hvilket også gjorde Nicolás Copernicus, en polsk astronom, der skabte den heliocentriske teori.
Den ansvarlige kraft er gravitationsattraktionen. Denne kraft afhænger direkte af masserne af stjernen og den aktuelle planet og er omvendt proportional med kvadratet på afstanden, der adskiller dem.
Problemet er ikke så let, for i et solsystem fungerer alle elementerne på denne måde, hvilket tilføjer sagen kompleksitet. Desuden er de ikke partikler, da stjerner og planeter har en målbar størrelse.
Af denne grund er det centrale punkt på bane eller kredsløb, som planeterne rejste, ikke nøjagtigt centreret om stjernen, men på et punkt, der er kendt som tyngdepunktet i solplanet-systemet.
Den resulterende bane er elliptisk. Følgende billede viser det ved at tage Jorden og Solen som et eksempel:
Figur 1. Jordens bane er elliptisk med solen placeret i en af fokuserne. Når Jorden og Solen er på deres maksimale afstand, siges Jorden at være i aphelion. Og hvis afstanden er minimal, taler vi om perihelion.
Aphelionen er den fjerneste position på Jorden fra solen, mens perihelionen er det nærmeste punkt. Ellipsen kan være mere eller mindre udfladet, afhængigt af stjerneplanetsystemets karakteristika.
Værdierne for aphelion og perihelion varierer årligt, da de andre planeter forårsager forstyrrelser. For andre planeter kaldes disse positioner henholdsvis apoaster og periaster.
Størrelsen på en planets lineære hastighed er ikke konstant
Kepler opdagede, at når en planet kredser om solen under sin bevægelse, fejer den ud lige områder på lige tidspunkter. Figur 2 viser grafisk betydningen af dette:
Figur 2. En planets positionsvektor med hensyn til solen er r. Når planeten beskriver sin bane, rejser den en ellipsbue i en tid Δt.
Matematisk den omstændighed, at A 1 er lig med A 2 udtrykkes på denne måde:
De tilbagelagte buer er små, så hvert område kan tilnærme sig en trekant:
Da Δs = v Δ t, hvor v er planetens lineære hastighed på et givet punkt, ved at erstatte, har vi:
Og da tidsintervallet Δt er det samme, får vi:
Eftersom r 2 > r 1, derefter v 1 > v 2, med andre ord, den lineære hastighed af en planet ikke er konstant. Faktisk går Jorden hurtigere, når den er i perihelion, end når den er i aphelion.
Derfor er den lineære hastighed på Jorden eller på en hvilken som helst planet omkring Solen ikke en størrelse, der tjener til at karakterisere bevægelsen af nævnte planet.
Areolær hastighed
Med følgende eksempel viser vi, hvordan man beregner den areolære hastighed, når nogle parametre for planetbevægelse er kendt:
Dyrke motion
En exo-planet bevæger sig rundt om sin sol efter en elliptisk bane ifølge Keplers love. Når det er ved periasteren, er dens radiusvektor r 1 = 4 · 10 7 km, og når det er ved apoasteren, er det r 2 = 15 · 10 7 km. Den lineære hastighed på dens periaster er v 1 = 1000 km / s.
Beregn:
A) Størrelsen af hastigheden ved apoastrofen.
B) Exo-planetens areolære hastighed.
C) Længden af ellipsens halvhovedakse.
Svar til)
Ligningen bruges:
hvor numeriske værdier er substitueret.
Hvert udtryk identificeres som følger:
v 1 = hastighed i apoastro; v 2 = hastighed ved periasteren; r 1 = afstand fra apoasteren, r 2 = afstand fra periasteren.
Med disse værdier får du:
Svar B)
- Serway, R., Jewett, J. (2008). Fysik til videnskab og teknik. Bind 1. Mexico. Cengage Learning Editors. 367-372.
- Stern, D. (2005). Keplers tre love om planetarisk bevægelse. Gendannes fra pwg.gsfc.nasa.gov
- Bemærk: den foreslåede øvelse blev taget og ændret fra følgende tekst i en McGrawHill-bog. Desværre er det et isoleret kapitel i pdf-format uden titlen eller forfatteren: mheducation.es/bcv/guide/capitulo/844817027X.pdf