SYNTETISK OPDELING: METODE OG LØSTE ØVELSER - MATEMATIK - 2025

Den syntetiske opdeling er en simpel måde at dele et polynomialt P (x) på en hvilken som helst af formen d (x) = x - c. F.eks. Kan polynomet P (x) = (x ⁵ + 3x ⁴ -7x ³ + 2x ² -8x + 1) repræsenteres som multiplikationen af ​​de to enkleste polynomer (x + 1) og (x ⁴ + 2x ³).

Det er et meget nyttigt værktøj, da det ud over at give os mulighed for at opdele polynomer, det også giver os mulighed for at evaluere et polynomialt P (x) på ethvert tal c, som igen fortæller os nøjagtigt, hvis nævnte tal er et nul på polynomet eller ej.

Takket være inddelingsalgoritmen ved vi, at hvis vi har to ikke-konstante polynomer P (x) og d (x), er der unikke polynomier q (x) og r (x), så det er rigtigt, at P (x) = q (x) d (x) + r (x), hvor r (x) er nul eller mindre end q (x). Disse polynomier er kendt som henholdsvis kvotient og resten eller resten.

I de tilfælde, hvor polynomet d (x) er af formen x- c, giver syntetisk opdeling os en kort måde at finde ud af, hvem q (x) og r (x) er.

Syntetisk opdelingsmetode

Lad P (x) = a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 +… + a ₁ x + a ₀ polynomet, som vi ønsker at opdele, og d (x) = xc divisoren. For at dele med den syntetiske opdelingsmetode fortsætter vi som følger:

1- Vi skriver koefficienterne for P (x) i den første række. Hvis der ikke vises nogen kraft af X, sætter vi nul som dens koefficient.

2- I den anden række til venstre for et _n placerer vi c, og vi tegner delelinjer som vist i følgende figur:

3- Vi sænker den førende koefficient til den tredje række.

I dette udtryk er b _n-1 = a _n

4- Vi multiplicerer c med den førende koefficient b _n-1 og vi skriver resultatet i den anden række, men en kolonne til højre.

5- Vi tilføjer kolonnen, hvor vi skriver det forrige resultat, og placerer resultatet under det beløb; det vil sige i samme kolonne, tredje række.

Når vi tilføjer, har vi som et resultat _n-1 + c * b _n-1, som vi nemt vil kalde b _n-2

6- Vi multiplicerer c med det forrige resultat og skriver resultatet til højre i den anden række.

7- Vi gentager trin 5 og 6, indtil vi når koefficienten ved ₀.

8- Vi skriver svaret; det vil sige kvotienten og resten. Da vi deler et polynomium i grad n med et polynomium i grad 1, har vi, at kvotienten ville være af grad n-1.

Koefficienterne for kvotientens polynom er numrene i den tredje række undtagen den sidste, der vil være resten eller resten af ​​opdelingen.

Løst øvelser

- Eksempel 1

Udfør følgende opdeling efter den syntetiske opdelingsmetode:

(x ⁵ + 3x ⁴ -7x ³ + 2x ² -8x + 1): (x + 1).

Løsning

Vi skriver først koefficienterne for udbyttet som følger:

Derefter skriver vi c på venstre side, i anden række, sammen med skillelinjer. I dette eksempel er c = -1.

Vi sænker den førende koefficient (i dette tilfælde b _n-1 = 1) og multiplicerer den med -1:

Vi skriver resultatet til højre i den anden række, som vist nedenfor:

Vi tilføjer numrene i den anden kolonne:

Vi ganges 2 med -1 og skriver resultatet i den tredje kolonne, anden række:

Vi tilføjer i den tredje kolonne:

Vi fortsætter på samme måde, indtil vi når den sidste kolonne:

Således har vi, at det sidste opnåede antal er resten af ​​opdelingen, og de resterende tal er koefficienterne for kvotientens polynom. Dette er skrevet som følger:

Hvis vi vil verificere, at resultatet er korrekt, er det nok at bekræfte, at følgende ligning er sandt:

P (x) = q (x) * d (x) + r (x)

Så vi kan kontrollere, at det opnåede resultat er korrekt.

- Eksempel 2

Udfør følgende opdeling af polynomer ved den syntetiske opdelingsmetode

(7x ^3- x + 2): (x + 2)

Løsning

I dette tilfælde har vi, at udtrykket x ² ikke vises, så vi vil skrive 0 som dens koefficient. Således ville polynomiet være 7x ³ + 0x ² -x + 2.

Vi skriver deres koefficienter i træk, dette er:

Vi skriver værdien af ​​C = -2 på venstre side af den anden række og tegner opdelingslinjer.

Vi sænker den førende koefficient b _n-1 = 7 og multiplicerer den med -2 ​​og skriver resultatet i den anden række til højre.

Vi tilføjer og fortsætter som tidligere forklaret, indtil vi når den sidste periode:

I dette tilfælde er resten r (x) = - 52, og den opnåede kvotient er q (x) = 7x ² -14x + 27.

- Eksempel 3

En anden måde at bruge syntetisk opdeling er følgende: Antag, at vi har et polynomialt P (x) af grad n, og vi vil vide, hvad værdien er ved at evaluere den ved x = c.

Ved divisionsalgoritmen kan vi skrive polynomet P (x) på følgende måde:

I dette udtryk er q (x) og r (x) henholdsvis kvotienten og resten. Nu, hvis d (x) = x- c, når vi evaluerer ved c i polynomet, får vi følgende:

Derfor er det kun tilbage at finde ar (x), og vi kan gøre dette takket være den syntetiske opdeling.

For eksempel har vi polynomet P (x) = x ⁷ -9x ⁶ + 19x ⁵ + 12x ⁴ -3x ³ + 19x ² -37x-37, og vi vil vide, hvad dets værdi er ved at evaluere det på x = 5. For at gøre dette udfører vi opdeling mellem P (x) og d (x) = x -5 ved hjælp af den syntetiske opdelingsmetode:

Når operationerne er udført, ved vi, at vi kan skrive P (x) på følgende måde:

P (x) = (x ⁶ -4x ⁵ –x ⁴ + 7x ³ + 32x ² + 179x + 858) * (x-5) + 4253

Derfor skal vi ved evaluering af det:

P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (5-5) + 4253

P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (0) + 4253

P (5) = 0 + 4253 = 4253

Som vi kan se, er det muligt at bruge syntetisk opdeling til at finde værdien af ​​et polynom ved at evaluere det ved c snarere end blot at erstatte c for x.

Hvis vi forsøgte at evaluere P (5) på den traditionelle måde, ville vi blive tvunget til at udføre nogle beregninger, der ofte bliver kedelige.

- Eksempel 4

Opdelingsalgoritmen for polynomier er også sandt for polynomier med komplekse koefficienter, og som en konsekvens heraf har vi, at den syntetiske opdelingsmetode også fungerer for sådanne polynomer. Vi vil se et eksempel nedenfor.

Vi vil bruge den syntetiske opdelingsmetode for at vise, at z = 1+ 2i er et nul på polynomet P (x) = x ³ + (1 + i) x ² - (1 + 2i) x + (15 + 5i); det vil sige, at resten af ​​divisionen P (x) med d (x) = x - z er lig med nul.

Vi fortsætter som før: i den første række skriver vi koefficienterne for P (x), derefter i den anden skriver vi z og tegner opdelingslinjer.

Vi udfører opdelingen som før; dette er:

Vi kan konstatere, at resten er nul; derfor konkluderer vi, at z = 1+ 2i er et nul på P (x).

Referencer

1. Baldor Aurelio. Algebra Grupo Redaktionelle Patria.
2. Demana, Waits, Foley & Kennedy. Precalculus: Grafisk, numerisk, algebraisk 7. ed. Pearson-uddannelse.
3. Flemming W & Varserg D. Algebra og trigonometri med analytisk geometri. Prentice hall
4. Michael Sullivan. Precalculus 4. udg. Pearson Uddannelse.
5. Rød. Armando O. Algebra 1 6. udg. Athenæumet.